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Länge (Mathematik)
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Die Länge ist in der Mathematik eine Eigenschaft, die Strecken, Wegen und Kurven zugeordnet werden kann. Die Länge einer Kurve wird auch als Bogenlänge bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis |
Längen von Strecken
Sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B zwei Punkte im Anschauungsraum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R^3 mit den jeweiligen Koordinaten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a_1,a_2,a_3) bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (b_1,b_2,b_3)
, so ist die Länge der Strecke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): AB
nach dem Satz des Pythagoras gleich
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}.
Es gibt im wesentlichen zwei Sichtweisen, wie man derartige Formeln verallgemeinern kann:
- Man interpretiert die Länge der Strecke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): AB
als die Länge des Vektors Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overrightarrow{AB} und definiert Längenmaße für Vektoren. Der entsprechende verallgemeinerte Längenbegriff für Vektoren heißt Norm.
- Noch allgemeiner ist der Ansatz, statt Streckenlängen den Abstand der Endpunkte zu betrachten. Allgemeine Abstandsbegriffe heißen Metriken.
Längen von Wegen
Ein Weg ist eine stetige Abbildung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma: [a,b]\to X
von einem Intervall in einen topologischen Raum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X
. Um Wegen eine Länge zuschreiben zu können, muss dieser Raum jedoch eine Zusatzstruktur aufweisen. Im einfachsten Fall ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X
die Ebene Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R^2 oder der Anschauungsraum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R^3 mit dem üblichen Längenbegriff für Strecken; Verallgemeinerungen sind möglich für riemannsche Mannigfaltigkeiten oder beliebige metrische Räume. Man bezeichnet dann die Länge des Weges Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma\, als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L(\gamma)\,
.
Wege in der Ebene und im Raum
Ein Weg in der Ebene bzw. im Raum ist durch zwei bzw. drei Koordinatenfunktionen gegeben:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t\mapsto(x(t),y(t))
bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t\mapsto(x(t),y(t),z(t)) für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\leq t\leq b
. Für stückweise stetig differenzierbare Wege ist die Länge des Weges durch das Integral über die Länge des Ableitungsvektors gegeben:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L = \int_a^b\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2}\,\mathrm dt
bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2+\dot z(t)^2}\,\mathrm dt.
Motivation
Der ebene Weg Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} f(t)=(x(t),y(t)) \end{matrix}
wird zunächst durch kleine Geradenstücke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta s approximiert, welche in zwei Komponenten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y parallel zu den Koordinatenachsen zerlegt werden. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\Delta s)^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2
. Die Gesamtlänge des Weges wird durch die Summe aller Geradenstücke approximiert:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L = \sum \Delta s = \sum \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 } = \sum \sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}\Delta t
Gehen wir von der Konvergenz des Sachverhaltes aus und geben das Ergebnis ohne exakte Grenzwertberechnung an, so ist die Länge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L
die Summe aller infinitesimal kleinen Geradenstücke, also
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L = \int \mathrm{d}s =\int \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2} \,\mathrm{d}t
.
Physikalisch kann der Integrand auch als Betrag der Momentangeschwindigkeit und die Integrationsvariable als die Zeit aufgefasst werden.
Beispiele
- Die Kreislinie mit Radius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t\mapsto(r\cdot\cos t,r\cdot\sin t)
für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0\leq t\leq2\pi
- hat die Länge
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_0^{2\pi}\sqrt{r^2\sin^2t+r^2\cos^2t}\,\mathrm dt=\int_0^{2\pi}r\,\mathrm dt=2\pi r.
- Ein Stück einer Schraubenlinie mit Radius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r
und Ganghöhe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t\mapsto\Big(r\cdot\cos t,r\cdot\sin t,\frac{t\cdot h}{2\pi}\Big)
für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0\leq t\leq2\pi
- hat die Länge
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_0^{2\pi}\sqrt{r^2\sin^2t+r^2\cos^2t+\Big(\frac h{2\pi}\Big)^2}\,\mathrm dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{r^2+\Big(\frac h{2\pi}\Big)^2}\,\mathrm dt=\sqrt{(2\pi r)^2+h^2}.
Spezialfälle
Länge eines Funktionsgraphen
Sei die Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f:x \rightarrow f(x)
eine differenzierbare Funktion auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a,b] \in \mathbb{R} dann berechnet sich die Länge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L zwischen den Punkten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} A(a|f(a)) \end{matrix} und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} B(b|f(b)) \end{matrix} wie folgt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+(f'(x))^2}\, \mathrm{d}x \qquad (*)
Beispiel: Der Umfang eines Kreises lässt sich mit Hilfe von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} (*)\end{matrix}
berechnen. Ein Kreis mit dem Radius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r erfüllt die Gleichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x^2+y^2 = r^2 bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=\sqrt{r^2-x^2}. Die Ableitung lautet: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}
.
Wendet man die Formel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} (*)\end{matrix}
an, so folgt:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L = 2 \int_{-r}^{r} \sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\, \mathrm{d}x = 2r \int_{-r}^{r} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{r^2-x^2}}\,=2r \arcsin(1) - 2r \arcsin(-1) = 2 \pi r
Polarkoordinaten
Ist ein ebener Weg in Polarkoordinatendarstellung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r(\varphi)
gegeben, also
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi\mapsto(r(\varphi)\cos\varphi,r(\varphi)\sin\varphi)
für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi_0\leq \varphi\leq \varphi_1
, so erhält man aus der Produktregel
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\varphi}=r^\prime(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi
und
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\varphi}=r^\prime(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi
, somit also
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2 = \left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)
.
Die Länge des Weges in Polarkoordinatendarstellung ist daher
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L=\int_{\varphi_0}^{\varphi_1}\sqrt{\left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)}\,\mathrm{d}\varphi
.
Wege in riemannschen Mannigfaltigkeiten
Ist allgemein Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma\colon[a,b]\to M
ein stückweise differenzierbarer Weg in einer riemannschen Mannigfaltigkeit, so kann man die Länge von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma definieren als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L(\gamma) = \int_a^b\|\dot\gamma(t)\|\,\mathrm dt.
Rektifizierbare Wege in beliebigen metrischen Räumen
Es sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (X,d)
ein metrischer Raum und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma\colon[0,1]\to X ein Weg in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X
. Dann heißt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma
rektifizierbar, wenn das Supremum
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L(\gamma)=\sup\left\{\left.\sum_{i=0}^{k-1}d(\gamma(t_i),\gamma(t_{i+1}))\right| k\in\mathbb N,0=t_0<t_1<\ldots<t_{k-1}<t_k=1\right\}
endlich ist. In diesem Falle nennt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L(\gamma)
die Länge des Weges Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma
.
Die Länge eines rektifizierbaren Weges ist also das Supremum der Längen aller Approximationen des Weges durch Streckenzüge. Für die oben betrachteten differenzierbaren Wege stimmen die beiden Definitionen der Länge überein.
Es gibt stetige Wege, die nicht rektifizierbar sind, beispielsweise die Koch-Kurve oder andere Fraktale sowie fast sicher die Pfade eines Wiener-Prozesses.
Längen von Kurven
Definition der Länge einer Kurve
Die zu einem Weg Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma: [a,b]\to X
gehörende Bildmenge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma= \gamma([a,b])\, wird als Kurve (auch Spur des Weges Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma\,
) bezeichnet. Der Weg Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma\,
wird auch als Parameterdarstellung oder Parametrisierung der Kurve Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma\, bezeichnet. Zwei verschiedene Wege können dasselbe Bild haben, dieselbe Kurve kann also durch verschiedene Wege parametrisiert werden. Es ist naheliegend, die Länge einer Kurve als die Länge eines dazugehörigen Weges zu definieren; das setzt aber voraus, dass die Länge für jede Parametrisierung denselben Wert liefert. Anschaulich ist das klar, und es lässt sich tatsächlich für injektive Parametrisierungen zeigen. Insbesondere gilt:
Seien Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma_1: [a_1,b_1]\to \R^n
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma_2: [a_2,b_2]\to \R^n zwei injektive Parametrisierungen derselben Kurve Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma\,
, also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma_1([a_1,b_1]) = \gamma_2([a_2,b_2]) = \Gamma\, . Dann gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L\left(\gamma_1\right) = L\left(\gamma_2\right) = L\left(\Gamma\right) .
Parametrisierung einer Kurve nach der Weglänge
Wie bereits gesagt, gibt es für eine Kurve verschiedene Parametrisierungen. Eine besondere Parametrisierung ist dabei die Parametrisierung nach der Weglänge (oder Bogenlänge).
Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma
eine rektifizierbare Kurve mit der Parametrisierung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma: \left\{\begin{matrix} [a,b] & \to & \R^n \\ \tau & \mapsto & \gamma(\tau) \end{matrix}\right.
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma_t
für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t\in[a,b] die Teilkurve mit der Parametrisierung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma|[a,t]
, so bezeichnet man die Funktion
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s(t): \left\{\begin{matrix} [a,b] & \to & \R \\ t & \mapsto & L\left(\Gamma_t \right) \end{matrix}\right.
als Weglängenfunktion von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma . Diese Weglängenfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s(t)
ist stetig und monoton wachsend, für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma injektiv sogar streng monoton wachsend und daher auch bijektiv. In diesem Fall existiert eine Umkehrfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t(s)
. Die Funktion
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat{\gamma}: \left\{\begin{matrix} [0,L(\gamma)] & \to & \R^n \\ s & \mapsto & \gamma(t(s)) \end{matrix}\right.
wird dabei als die Parametrisierung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma
mit der Bogenlänge als Parameter bezeichnet.
Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma
stetig differenzierbar und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \dot{\gamma}(\tau)\neq 0
für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau\in[a,b]
, so besteht die Besonderheit der Parametrisierung nach der Bogenlänge darin, dass auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat{\gamma}
stetig differenzierbar ist und für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s\in[0,L(\Gamma)]
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left\|\frac{\mathrm{d}\hat{\gamma}(s)}{\mathrm{d}s}\right\|=1
gilt.
Siehe auch
Literatur
- Wolfgang Ebeling, Institut für Algebraische Geometrie, Universität Hannover: Vorlesungsskript Analysis II. [1]
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