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Kreuzprodukt
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Das Kreuzprodukt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec a\times\vec b
(auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) zweier Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec a und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec b in einem dreidimensionalen Vektorraum ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec a und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec b
.
Die Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec a
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec b bilden mit dem Vektor ihres Kreuzprodukts ein Rechtssystem. Kreuz- und Skalarprodukt sind über das Spatprodukt miteinander verknüpft.
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Mathematische Darstellung
Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}
Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3
kann man das Kreuzprodukt von a und b so definieren:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\times\vec{b} = \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \sin(\theta) \cdot \vec{e}
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): sin(\theta)\,
der Sinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \theta ist, und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{e} der zu beiden Vektoren senkrechte Einheitsvektor und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vert\vec{a}\vert
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vert\vec{b}\vert
die jeweiligen Längen (Beträge) der Vektoren sind.
Orientierung
Es gibt zwei Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{e} , die senkrecht auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec a
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec b stehen und die entsprechende Länge haben; diese weisen in entgegengesetzte Richtungen. Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes Rechtssystem), d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x, y und z) als auch die Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec a
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec b
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\times\vec{b}
verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft Rechte-Hand-Regel genannt).
Komponentenweise Berechnung
Für den euklidischen Raum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R^3
mit der Standardbasis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}
und dem kanonischen Skalarprodukt gibt es eine Formel für das Kreuzprodukt.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \det \begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3\end{pmatrix} \\ \det \begin{pmatrix}a_3 & b_3 \\ a_1 & b_1\end{pmatrix} \\ \det \begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}
Zahlenwerte kann man einfach einsetzen:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 \\ 3 \cdot (-7) - 1 \cdot 9 \\ 1 \cdot 8 - 2 \cdot (-7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -30 \\ 22 \end{pmatrix}
Eine Merkregel für diese Formel beruht auf einer „symbolischen Determinantenschreibweise“. Dabei erzeugt man eine Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 3 \times e
-Matrix in deren ersten Spalte die Symbole Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): i
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): j
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec a und die dritte von denen des Vektors Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec b gebildet. Diese Determinante berechnet man nach der Regel von Sarrus. Der dabei auftretende Faktor von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): i bildet die erste Komponente des Kreuzprodukts, der von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): j die zweite und der von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k die dritte.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \det \begin{pmatrix}i & a_1 & b_1 \\ j & a_2 & b_2 \\ k & a_3 & b_3\end{pmatrix} = i \cdot a_2 \cdot b_3 + a_1 \cdot b_2 \cdot k + b_1 \cdot j \cdot a_3 - k \cdot a_2 \cdot b_1 - a_3 \cdot b_2 \cdot i - b_3 \cdot j \cdot a_1 = (a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2) \cdot i + (b_1 \cdot a_3 - a_1 \cdot b_3) \cdot j + (a_1 \cdot b_2 - \cdot a_2 \cdot b_1) \cdot k
Unter Zuhilfenahme des total antisymmetrischen Tensors dritter Stufe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon_{ijk}
(Levi-Civita-Tensor) lassen sich die Komponenten wie folgt berechnen:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_i = (\vec{a}\times\vec{b})_i = \sum_{j,k} \epsilon_{ijk} a_j b_k
Graphische Darstellung
Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als:
Der Betrag von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec a\times\vec b
entspricht der Fläche des von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec a und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec b aufgespannten Parallelogramms.
Bilinearität
Das Kreuzprodukt ist eine bilineare Abbildung. Als solche gelten zwei Distributivgesetze:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\times(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\times\vec{b} + \vec{a}\times\vec{c}
und
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\vec{a} + \vec{b})\times\vec{c} = \vec{a}\times\vec{c} + \vec{b}\times\vec{c}
.
Ferner gilt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\times\vec{0} = \vec{0}.
Ferner gilt das Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
sei aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}
.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\lambda\vec{a})\times\vec{b} = \lambda(\vec{a}\times\vec{b}) = \vec{a}\times(\lambda\vec{b})
.
Andere wichtige Eigenschaften
Für das Kreuzprodukt gilt das Kommutativgesetz nicht, sondern:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\times\vec{b} = - (\vec{b}\times\vec{a})
Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Man sagt: Das Kreuzprodukt ist antikommutativ oder auch schiefsymmetrisch.
Für das Quadrat der Norm erhält man:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\vec{a}\times\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2 - \langle\vec{a};\vec{b}\rangle^2
oder einfacher:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\vec{a}\times\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2
.
Für den zwischen den Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{b}
aufgespannten nicht überstumpfen Winkel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \phi
gilt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot \sin(\phi)
.
Sind die Vektoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{b}
parallel, so ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor, insbesondere gilt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\times\vec{a} = \vec{0}.
Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ, aber es gilt die Jacobi-Identität.
Kreuzprodukt der Einheitsvektoren
Für jeden der kanonischen Einheitsvektoren im R3, sprich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{e_1} , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{e_2}
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{e_3}
, gilt, dass er sich als Kreuzprodukt der jeweils zwei verbleibenden Vektoren darstellen lässt.
Beispiel:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{e_1} \times \vec{e_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{e_3}
Graßmann-Identität
Die Graßmann-Identität (auch Graßmannscher Entwicklungssatz nach Hermann Graßmann, auch BAC-CAB Regel genannt) ist geeignet, um physikalische Vektorberechnungen zu vereinfachen. Sie lautet:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})
,
Ein Merksatz für diese Formel ist “ABC = BAC minus CAB” oder gesprochen "erst Backen, dann cabben" (sprich kappen, im Sinne von abschneiden, weist auch auf das Minus hin).
Anmerkung: Die Graßmann-Identität gilt nur für Vektoren, die bezüglich der Multiplikation kommutieren. Also nicht für vektorwertige Operatoren (wie z.B. für den Nabla-Operator).
Dort muss die allgemeinere Regel angewendet werden:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}
Jacobi-Identität
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c}) +\vec{b}\times (\vec{c}\times\vec{a}) +\vec{c}\times (\vec{a}\times\vec{b}) =\vec{0}
Lagrange-Identität
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d}) - (\vec{b}\cdot\vec{c})(\vec{a}\cdot\vec{d})
Verallgemeinerung
Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale euklidische Räume, die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpft, sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt.
Motivation
Das Kreuzprodukt ergibt sich formal als Determinante einer Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 3 \times 3 -Matrix:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix} = \vec{e_x} \cdot (a_2b_3 - b_2a_3) + \vec{e_y} (b_1a_3-a_1b_3) + \vec{e_z} (a_1b_2-b_1a_2)
.
Sei nun V ein n-dimensionaler euklidischer K-Vektorraum und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1 , ..., Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_{n-1}
Vektoren von V. Dann definiert man das Kreuzprodukt als formale Determinante
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1 \times \ldots \times a_{n-1} := \det(E, a_1, \ldots, a_{n-1})
,
wobei die ai als Koordinatenvektoren bezüglich einer Orthonormalbasis aufgefasst werden und E der Spaltenvektor ist, dessen Komponenten die Basisvektoren sind. Da das nicht Elemente von K (sondern von V) sind, ist das eine formale Determinante, die z.B. durch Entwicklung nach der ersten Spalte berechnet werden kann und einen Vektor in V liefert.
Eine noch weitergehende Verallgemeinerung des Kreuzproduktes stellt das äußere Produkt von Linearformen (beziehungsweise noch allgemeiner von (alternierenden) Multilinearformen) dar. Dabei kann dann eine beliebige Zahl von Vektoren verknüpft werden, das Ergebnis ist allerdings im Allgemeinen kein Vektor mehr.
Anwendungen
Etliche physikalische Größen können mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnet werden. Beispiele dafür sind das Drehmoment, die Lorentzkraft oder der Poynting-Vektor.
Weblinks
- http://www-lehre.informatik.uni-osnabrueck.de/~cg/1997/skript/11_3_Kreuzprodukt_und.html
- Java-Applet der Universität von Syracuse zum Vektor- oder Kreuzprodukt
- Rechte-Hand-Regeln
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