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Die Kramers-Kronig-Beziehungen (nach Hendrik Anthony Kramers und Ralph Kronig) setzen Real- und Imaginärteil bestimmter meromorpher Funktionen in Form einer Integralgleichung miteinander in Beziehung. Sie stellen einen Spezialfall der Hilbert-Transformation dar.

Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Formulierung 2 Motivation 3 Anwendungen 4 Literatur

Mathematische Formulierung

Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}

eine meromorphe Funktion, deren Polstellen in der unteren Halbebene liegen. Ferner sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{Re}\, F|_\mathbb{R}
eine gerade, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{Im}\, F|_\mathbb{R}
eine ungerade Funktion und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lim_{|z| \rightarrow \infty} |F(z)| = 0

. Dann gelten für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x \in \mathbb{R}

die folgenden, als Kramers-Kronig-Beziehungen bezeichnete Gleichungen:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{Im}\, F(x) = -\frac{2}{\pi} \cdot \;\mathrm{CH}\, \int_{0}^{+\infty} \frac{x\cdot\mathrm{Re}\,F(t)}{t^2-x^2}\mathrm{d}t

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{Re}\, F(x) = \frac{2}{\pi} \cdot \;\mathrm{CH}\, \int_{0}^{+\infty} \frac{t\cdot\mathrm{Im}\,F(t)}{t^2-x^2}\mathrm{d}t

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{CH}

bezeichnet den Cauchyschen Hauptwert des auftretenden Integrals.

Motivation

Es sei eine stetige Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

vorgegeben. Dazu soll eine in der oberen Halbebene  holomorphe Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F: \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{C}
so konstruiert werden, dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{Re}\, F|_\mathbb{R} = f
gilt; im Grunde soll also ein Randwertproblem gelöst werden, wobei die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen erfüllt werden müssen und eine stetige Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
auf dem Rand Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}
vorgegeben ist.

Eine holomorphe Funktion kann nach dem Residuensatz dargestellt werden als:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F(z) = \frac{1}{2 \pi i} \left( \int_{HK_r} \frac{F(t)}{t - z} \mathrm{d}t + \int_{-r}^r \frac{F(t)}{t - z} \mathrm{d}t \right)

, wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): HK_r

den (positiv orientierten) Halbkreis in der oberen Halbebene mit Zentrum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0
und Radius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r > 0 
bezeichnet. Fällt nun Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F
im Unendlichen schnell genug ab, so reduziert sich im Grenzübergang Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r \rightarrow \infty
die Darstellung zu einem Integral über der reellen Achse, also:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(t)}{t-z} \mathrm{d}t

Im Falle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{Im}\, z \rightarrow 0

und unter der zusätzliche Voraussetzung, dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
eine gerade Funktion ist, ergibt sich schließlich

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Im \, F(z) = - \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{Re}\,F(t)}{t-z} \mathrm{d}t = - \frac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \frac{z \cdot \mathrm{Re}\,F(t)}{t^2-z^2} \mathrm{d}t

, wobei das auftretende Integral als Cauchyscher Hauptwert zu interpretieren ist und mit der Hilbert-Transformation von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

übereinstimmt.

Diese Gleichung entspricht der einen Kramers-Kronig-Beziehung.

Anwendungen

Die Kramers-Kronig-Beziehungen finden dort Anwendung, wo eine reelle reellwertige gerade Funktion zu einer holomorphen Funktion ergänzt werden soll, was meistens der Vereinfachung der auftretenden Rechnungen dient, insbesondere bei Wellenfunktionen, also hauptsächlich in der Signalverarbeitung und in der Optik. Physikalisch wird dieses Instrument verwendet in Form einer Dispersions-Relation, die die elektromagnetische Absorption mit der Dispersion und damit mit der Brechzahl in Beziehung bringt.

Dadurch lässt sich die Kreisfrequenz-abhängige Absorption als eine Funktion der Kreisfrequenz-abhängigen Permittivität (Dielektrizitätskonstante) ε(ω) ausdrücken:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{Re}(\varepsilon(\omega))=1+\frac{2}{\pi} \cdot \;\mathrm{CH}\, \int \limits_{0}^{\infty} {{\Omega \cdot \operatorname{Im}(\varepsilon(\Omega))} \over {\Omega^2-\omega^2}} \,\mathrm{d}\Omega

Eine alternative Betrachtungsweise ergibt sich mit dem Absorptionskoeffizienten α, der Brechzahl n und der Lichtgeschwindigkeit c:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n(\omega)=1+\frac{c}{\pi} \cdot \;\mathrm{CH}\, \int \limits_{0}^{\infty} {{\alpha(\Omega)} \over {\Omega^2-\omega^2}} \,\mathrm{d}\Omega

Dadurch lässt sich vor allem in der nichtlinearen Optik aus einer einfachen Absorptionsmessung die komplexe Form der Brechzahl ableiten.

Literatur

• Mansoor Sheik-Bahae: Nonlinear Optics Basics. Kramers-Kronig Relations in Nonlinear Optics, in: Robert D. Guenther (Hrsg.): Encyclopedia of Modern Optics, Academic Press, Amsterdam 2005, ISBN 0-12-227600-0

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