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Krümmung
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Krümmung ist ein Begriff verschiedener Fachgebiete der Mathematik. Je nach Art des gekrümmten Gegenstandes wird er unterschiedlich definiert.
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Krümmung einer Kurve
Unter der Krümmung einer Kurve versteht man in der Geometrie und Mathematik die Richtungsänderung pro Längeneinheit. Die Krümmung einer Kurve in einem Punkt P bezeichnet die Abweichung der Kurve in der unmittelbaren Umgebung des Punktes P von einer Geraden. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{r}(s)
sei der Ortsvektor eines Punktes auf der Kurve als Funktion der Bogenlänge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s
. Die Krümmung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\kappa\,}
der Kurve ist dann definiert als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa = \left|\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}s^2}\right| \quad \mbox{mit} \quad \mathrm{d}s = |\mathrm{d}\vec{r}|.
Beispiele: Die Krümmung einer Geraden ist überall gleich null. Ein Kreis mit dem Radius r hat überall die Krümmung 1/r. Bei allen anderen Kurven wechselt die Krümmung von Kurvenpunkt zu Kurvenpunkt.
Ebenso wie die Windung (Torsion) ist die Krümmung eine bewegungsinvariante Größe, die den lokalen Verlauf einer Kurve beschreibt. Beide Größen kommen als Koeffizienten in den frenetschen Formeln vor.
Den Kehrwert der Krümmung nennt man Krümmungsradius.
Im Sonderfall einer ebenen Kurve (ihre Windung beträgt null) ist die Krümmung gleichbedeutend mit: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa = \left|\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s}\right|,
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi
der Neigungswinkel der Kurventangente ist.
Berechnung der Krümmung für ebene Kurven
Die oben gegebene allgemeine Definition ist für die praktische Berechnung der Krümmung oft unhandlich. Im Spezialfall einer ebenen Kurve können folgende Formeln verwendet werden:
- Fall 1: Die Kurve ist in Parameterdarstellung gegeben, also durch zwei Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x(t)
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y(t)
.
Dann ist die Krümmung im Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x(t),y(t))
gleich
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa = \left|\frac{\dot x(t) \ddot y(t) - \ddot x(t) \dot y(t)}{\big(\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2\big)^{3/2}}\right|
.
(Die Punkte bezeichnen dabei Ableitungen nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t .)
- Fall 2: Die Kurve ist der Graph einer Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
.
Die Krümmung im Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x,f(x))
ergibt sich aus
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa = \left|\frac{f''(x)}{\left(1 + f'(x)^2\right)^{3/2}}\right|
.
- Fall 3: Die Kurve ist in Polarkoordinaten gegeben, also durch eine Gleichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r = f(\varphi)
.
In diesem Fall erhält man für die Krümmung im Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (r\cos\varphi,r\sin\varphi)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa = \left|\frac{(f(\varphi))^2 + 2 (f'(\varphi))^2 - f(\varphi) f''(\varphi)} {\left[(f(\varphi))^2 + (f'(\varphi))^2\right]^{3/2}}\right|
.
Berechnung der Krümmung für Raumkurven
Die Kurve im dreidimensionalen Raum (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3 ) sei durch eine Funktion des Parameters t gegeben.
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{r} = \vec{r}(t)
Die Krümmung lässt sich mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung berechnen:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa = \frac{||\vec{r}\,'(t) \times \vec{r}\,''(t)||}{||\vec{r}\,'(t)||^3}
Krümmung einer Fläche
Einer gewölbten Fläche merkt man ihre Krümmung an einer nach außen quadratisch zunehmenden Abweichung der Fläche von ihrer Tangentialebene an. Eine verstärkte Krümmung macht sich dann als stärkere Abweichung von der Ebene bemerkbar.
In der Differentialgeometrie weist man jedem Punkt einer gekrümmten Fläche zwei Krümmungsradien zu, einen maximalen (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R_1 ) und einen minimalen (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R_2 ). Die Kehrwerte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_1 = 1/R_1
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_2 = 1/R_2 werden als Hauptkrümmungen bezeichnet. Die entsprechenden Krümmungsrichtungen stehen immer senkrecht aufeinander. Die gaußsche Krümmung (GK) und die mittlere Krümmung (MK) berechnen sich daraus wie folgt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): GK = \frac{1}{R_1} \cdot \frac{1}{R_2} = k_{1} \cdot k_{2}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): MK = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{2} (k_{1} + k_{2})
Die zugehörige Gaußsche Schmiegungskugel vereinfacht z. B. Berechnungen am Erdellipsoid erheblich.
Krümmung in der riemannschen Geometrie
Für eine riemannsche Mannigfaltigkeit kann eine Krümmung definiert werden, die ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum auskommt. Sie misst, inwieweit die lokale Geometrie der Mannigfaltigkeit von den Gesetzen der euklidischen Geometrie abweicht.
Die Krümmung zeigt sich beispielsweise, wenn man das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Radius innerhalb der Mannigfaltigkeit ermittelt und zu dem Wert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2\pi , den man in einem euklidischen Raum erhält, in Verhältnis setzt.
Bemerkenswert ist, dass man zum Beispiel auf der Oberfläche eines Torus eine Metrik definieren kann, die keine Krümmung aufweist. Dies lässt sich aus der Tatsache ableiten, dass man einen Torus aus einer ebenen Fläche bilden kann. Das Koordinatensystem, welches auf der Oberfläche benutzt wird, ergibt sich durch die Abbildung der ebenen Fläche, aus der der Torus gebildet wurde.
Anwendung in der Relativitätstheorie
Hauptartikel: Raumkrümmung
In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitation durch eine Krümmung der Raum-Zeit beschrieben, die von den Massen der Himmelskörper verursacht wird. Körper und Lichtstrahlen bewegen sich auf den durch diese Krümmung bestimmten geodätischen Bahnen. Diese Bahnen erwecken den Anschein, dass eine Kraft auf die entsprechenden Körper ausgeübt wird.
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