Glossar mathematischer Attribute

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In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen, surjektiv), kann aber auch ein Substantiv involvieren (vom Grad 3). Dieses Glossar soll insbesondere in Fällen, in denen ein und dasselbe Attribut auf Objekte ganz verschiedenen Typs angewandt wird, zur schnellen Orientierung dienen, Querverbindungen aufzeigen und vor möglichen Verwechslungen bewahren.

Inhaltsverzeichnis A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

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A

abelsch

Eine Gruppe heißt abelsch (nach Niels Henrik Abel), wenn die Gruppenverknüpfung kommutativ ist.

abgeschlossen

In der abstrakten Algebra heißt eine Menge abgeschlossen bezüglich einer auf ihren Elementen definierten Operation (z.B. einer zweistelligen Verknüpfung), wenn das Ergebnis der Operation, angewandt auf beliebige Elemente der Menge, wieder ein Element dieser Menge ist.
Eine Teilmenge eines topologischen Raums heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement eine offene Menge ist.
Siehe auch das Stichwort algebraisch abgeschlossen.

abundant

Eine natürliche Zahl x heißt abundant, wenn ihre echte Teilersumme (die Summe aller Teiler ohne die Zahl selbst) größer ist als die Zahl x selbst. Vergleiche die Attribute defizient und vollkommen in diesem Glossar.

abzählbar

Eine Menge bezeichnet man als abzählbar (oder abzählbar unendlich), wenn sie mit der Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist. Je nach Definition können auch endliche Mengen abzählbar heißen. Mächtigere Mengen heißen überabzählbar.

adaptiert

Ein stochastischer Prozess Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X,\;

der auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\Omega, \mathcal F, P)
mit zugehöriger Filtrierung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\mathcal F_t)_t
definiert ist, heißt adaptiert, wenn die Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_t\;
für jedes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t\;
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal F_t

-messbar ist.

adjungiert

In der linearen Algebra heißt ein Endomorphismus g eines k-Vektorraums W adjungiert zu einem Endomorphismus f eines k-Vektorraums V bezüglich einer Paarung <_,_>: V × W → k, falls für alle v in V und alle w in W gilt:

<fv, w> = <v, gw>.

Im Fall endlichdimensionaler Vektorräume entspricht dem adjungierten Endomorphismus die transponierte Matrix (im Fall eine Bilinearform) bzw. die konjugiert-transponierte Matrix (im Fall einer Sesquilinearform). Ist ein Endomorphismus gleich seinem adjungierten Endomorphismus, so heißt er selbstadjungiert oder symmetrisch (für Bilinearformen) bzw. hermitesch (für Sesquilinearformen).

Siehe auch: Adjungierte Matrix, Adjungierter Operator

In der Kategorientheorie heißen Paare (F: C → D, G: D → C) von Funktoren zwischen Kategorien C und D adjungiert, wenn für alle Objekte X von C und Y von D gilt:

Mor_D(FX, Y) = Mor_C(X, GY).

siehe auch: Adjunktion (Kategorientheorie)

Nicht mit den ersten beiden genannten Begriffen verwandt ist die Adjunktion von Unbestimmten zu einem Körper oder Ring, siehe Adjunktion (Algebra)
In der Theorie der Liegruppen bzw. algebraischen Gruppen nennt man die Konjugationsdarstellung der Gruppe auf ihrer Liealgebra, die im Fall von Matrizengruppen durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G\times\mathfrak g\to\mathfrak g,\quad \mathrm{Ad}(g)(Y)=gYg^{-1}

gegeben ist, die adjungierte Darstellung.

In der Theorie der Liealgebren ist die adjungierte Darstellung die Darstellung der Liealgebra auf sich selbst, die durch die Lieklammer gegeben ist:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathfrak g,\quad\mathrm{ad}(X)(Y)=[X,Y].

affin

Eine Funktion der Form Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=ax+b

heißt affin-linear, siehe auch affine Abbildung.

Ein affiner Raum ist ein "Vektorraum ohne Ursprung", d.h. es zu je zwei Punkten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A,B

einen Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overrightarrow{AB}
gibt, so dass die Verschiebung um diesen Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A
auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B
abbildet. Die Menge dieser Verschiebungen bildet einen Vektorraum, aber im affinen Raum selbst gibt es keinen ausgezeichneten Punkt wie den Ursprung eines Vektorraums. Beispielsweise sind Geraden und Ebenen im Anschauungsraum affine Räume.

Ein affines Schema ist ein Schema, das isomorph zum Spektrum eines Ringes ist. Ein Spezialfall ist:
Eine affine algebraische Varietät ist eine algebraische Varietät, die sich als abgeschlossene Menge in einen affinen Raum einbetten lässt.

ähnlich

In der Geometrie sind zwei Figuren ähnlich, wenn sie durch Verschiebung, Drehung, Spiegelung und isotrope Streckung ineinander übergeführt werden können. Ähnlichkeit erweitert also Kongruenz (Geometrie) um die Möglichkeit der Streckung.
In der linearen Algebra heißen zwei quadratische Matrizen A und B ähnlich, wenn sie dieselbe lineare Abbildung bei Verwendung unterschiedlicher Basen beschreiben. Sie lassen sich durch eine invertierbare Matrix S ineinander überführen, A = S B S^-1. Ähnlichkeit ist hier ein Spezialfall von Äquivalenz.

algebraisch

Eine Gleichung heißt algebraisch, wenn sie durch eine endliche Anzahl elementarer Rechenoperationen formuliert werden kann. Man spricht auch von polynomialen Gleichungen.
Eine Funktion heißt algebraisch, wenn alle Paare aus Punkt und Funktionswert Lösung derselben algebraischen Gleichung sind. Andernfalls heißt die Funktion transzendent.
In der Funktionentheorie heißt eine hebbare Singularität auch algebraisch.
Eine komplexe Zahl heißt algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Die Menge der algebraischen Zahlen bildet einen algebraischen Abschluss der Menge Q.
Ein Element einer Körpererweiterung heißt algebraisch, wenn es Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus dem zu erweiternden Körper ist, siehe algebraisches Element.

algebraisch abgeschlossen

Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom vom Grad >= 1 mit Koeffizienten aus K eine Nullstelle in K hat. Der Körper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, der der reellen Zahlen nicht. Siehe auch algebraischer Abschluss.

alternierend

Die Grundbedeutung von alternierend ist "abwechselnd". In vielen Fällen sind damit abwechselnde Vorzeichen gemeint.

Die alternierende Quersumme einer natürlichen Zahl in Dezimaldarstellung erhält man, indem man, von rechts nach links, die Ziffern abwechselnd subtrahiert und addiert.
Die alternierende harmonische Folge ist die Folge der Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1,\ -\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ -\frac{1}{4},\ \frac{1}{5},\cdots

Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, bei der die Reihenglieder abwechselnd positiv und negativ sind. Ein einfaches Beispiel einer alternierenden Reihe ist die aus der alternierenden harmonischen Folge gebildete alternierende harmonische Reihe.

Eine alternierende Multilinearform ist eine Multilinearform, die ihr Vorzeichen wechselt, wenn man zwei beliebige Argumente vertauscht.

Die alternierende Gruppe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A_n

ist die Gruppe der geraden Permutationen einer Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

-elementigen Menge.

In der Graphentheorie ist ein alternierender Pfad (bezüglich einer Paarung) ein Pfad, dessen Kanten abwechselnd zur Paarung und nicht zur Paarung gehören.

analytisch

In der Theorie analytischer Funktionen heißt eine Menge analytisch, wenn sie als Nullstellengebilde von analytischen Funktionen darstellbar ist.
In der Deskriptiven Mengenlehre heißt eine Teilmenge eines Polnischen Raums (z. B. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R

oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R^n

) analytisch, wenn sie das Bild einer Borel-Menge unter einer stetigen Abbildung ist.

In der Funktionentheorie heißt eine Funktion einer oder mehrerer komplexer Veränderlicher analytisch, wenn sie lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Das ist (im Gegensatz zur reellen Analysis) äquivalent dazu, dass die Funktion unendlich oft komplex differenzierbar ist, und das wiederum ist (erneut im Gegensatz zur reellen Analysis) äquivalent dazu, dass die Funktion stetig und differenzierbar, also holomorph oder regulär ist. Tatsächlich werden in der Funktionentheorie, das heißt in der komplexen Analysis, die Begriffe analytisch, holomorph und regulär äquivalent gebraucht.
Auch in der reellen Analysis heißt eine Funktion analytisch wenn sie lokal durch eine Potenzreihe gegeben ist.

antisymmetrisch

Eine Relation R heißt antisymmetrisch, wenn aus xRy und yRx folgt, dass x und y gleich sind. Dies ist eine der definierenden Eigenschaften einer partiellen Ordnung.
Eine multilineare Abbildung heißt antisymmetrisch, wenn ihr Wert beim Vertauschen zweier ihrer Argumente das Vorzeichen wechselt.

äquivalent

Zwei Aussagen heißen äquivalent, wenn sie unter gleichen Voraussetzungen denselben Wahrheitswert haben. Insbesondere heißen zwei Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben.
Zwei Elemente einer Menge heißen äquivalent, wenn sie in der gleichen Äquivalenzklasse bezüglich einer Äquivalenzrelation liegen.
In der linearen Algebra heißen zwei m×n Matrizen A und B äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen S und T gibt, so dass A = S·B·T. Äquivalente Matrizen beschreiben bezüglich geeigneter Basen die gleiche lineare Abbildung; Matrizen sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Rang haben. Falls die äquivalenten Matrizen A und B quadratisch sind (m=n) und T=S^-1>gewählt werden kann, sind A und B sogar ähnlich.
Zwei Darstellungen heißen äquivalent, wenn sie bis auf Basenwechsel aus den gleichen linearen Abbildungen bestehen.

assoziativ

Eine zweistellige Verknüpfung * heißt assoziativ, wenn für alle Elemente a, b und c der Grundmenge stets die Gleichung a*(b*c) = (a*b)*c gilt. Die Assoziativität der Verknüpfung erlaubt, die Klammern wegzulassen und einfach a*b*c zu schreiben.

Eine Menge A und eine zweistellige Verknüpfung * auf A, deren Ergebnisse alle in A liegen, wird als Magma bezeichnet. Ist diese Verknüpfung darüber hinaus auch assoziativ spricht man von einer Halbgruppe.

asymmetrisch

Eine Relation R heißt asymmetrisch, wenn aus xRy stets nicht yRx folgt. Dies ist eine der Eigenschaften einer strikten partiellen Ordnung.

auflösbar

Eine Gruppe heißt auflösbar, wenn es eine absteigende Folge

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G=G_0\triangleright G_1\triangleright\ldots\triangleright G_n=1

von Normalteilern gibt, deren Quotienten G_k/G_k+1 abelsch sind.

Eine Liealgebra heißt auflösbar, wenn es eine absteigende Folge

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathfrak g=\mathfrak g_0\supseteq\mathfrak g_1\supseteq\ldots\supseteq\mathfrak g_n=0

von Idealen gibt (d.h. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathfrak g_{k+1}

soll ein Ideal in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathfrak g_k
sein), deren Quotienten abelsch sind.

ausgeartet

Eine bilineare Abbildung b (eine Bilinearform) heißt ausgeartet, wenn es einen Vektor x ≠ 0 gibt, der für jeden Vektor y die Gleichung b(x, y) = 0 erfüllt. Für das Gegenteil gibt es die Begriffe regulär oder perfekt, meist sagt man aber schlicht "nicht ausgeartet".

B

befreundet

Ein Paar natürlicher Zahlen heißt befreundet, wenn die Summe der echten Teiler der einen Zahl die jeweils andere ergibt. Beispiel: 220 und 284 (1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284, 1+2+4+71+142 = 220). Siehe befreundete Zahl.

beschränkt

Eine Teilmenge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U

eines metrischen Raums Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (X, d)
heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
gibt, so dass der Abstand zweier Elemente von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U
stets kleinergleich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
ist, wenn also die Abstände in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U
beschränkt sind.

Als Spezialfall davon heißt eine Menge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U

reeller Zahlen beschränkt, wenn es zwei reelle Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b
gibt, so dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U
eine Teilmenge des abgeschlossenen Intervalls Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a, b]
ist.

bijektiv

Eine Funktion heißt bijektiv oder umkehrbar eindeutig (engl.: bijective oder one-to-one and onto), wenn sie injektiv und surjektiv ist, also verschiedenen Elementen der Definitionsmenge verschiedene Elemente der Wertemenge zuordnet, wobei jedes Element der Wertemenge erreicht wird. Bijektive Funktionen sind invertierbar. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.

bilinear

Eine Funktion f: V×W → X zu gegebenen Vektorräumen heißt bilinear, wenn sie bei festgehaltenem ersten Argument linear im zweiten Argument und bei festgehaltenem zweiten linear im ersten Argument ist. Wenn W=V ist und der X dem Vektorraum unterliegende Körper, heißt f Bilinearform. Über dem Körper der komplexen Zahlen betrachtet man oft sesquilineare statt bilinearer Funktionen.

C

chaotisch

Als mathematischer Begriff (s. Chaostheorie) Ausdruck eines schlecht gestellten (engl. "ill posed") inversen Problems. Mittels einfacher, meist sogar deterministischer Regeln kann ein komplexes Objekt erzeugt werden, jedoch ist der Rückschluss vom Objekt auf die erzeugenden Regeln nicht oder nur schlecht möglich.

charakteristisch

In der Mengenlehre hat die charakteristische Funktion einer Teilmenge, auch Indexfunktion genannt, den Wert 1 auf der Teilmenge und 0 außerhalb.
Charakteristisches Polynom und charakteristische Gleichung einer Matrix oder eines Operators, siehe Eigenvektor.
In der Gruppentheorie ist eine charakteristische Untergruppe einer Gruppe G eine Untergruppe H, die unter jedem Automorphismus von G fest bleibt. Das heißt, eine Untergruppe H von G heißt charakteristisch, wenn für jeden Automorphismus (bijektiven Gruppenhomomorphismus von G nach G) f gilt, dass f(H) Teilmenge von H ist.

D

definit

Siehe positiv definit und negativ definit.

defizient

Eine natürliche Zahl heißt defizient, wenn ihre echte Teilersumme (die Summe aller Teiler ohne die Zahl selbst) kleiner ist als die Zahl selbst. Vergleiche auch die Attribute abundant und vollkommen in diesem Glossar.

diagonaldominant

Eine Matrix heißt diagonaldominant, falls das Zeilensummenkriterium erfüllt ist, d.h. falls der Betrag jedes Diagonalelementes größer ist als die Summe der Beträge der restlichen jeweiligen Zeilenelemente.

diagonalisierbar

Eine Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix S gibt, so dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S^{-1} A S = D = \operatorname{diag}\left(\lambda_1,\cdots\lambda_n\right)

eine Diagonalmatrix ist (Die Matrizen A und D sind ähnlich). Dies ist beispielsweise dann der Fall, wenn das Charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

dicht

Eine Teilmenge M liegt dicht in einem topologischen Raum R, wenn es keine abgeschlossene Teilmenge von R außer R selbst gibt, die M enthält. Mit anderen Worten, M ist dicht (in R), wenn der Abschluss von M mit R übereinstimmt. Beispiel: die Menge der rationalen Zahlen Q liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen R (und macht diese dadurch separabel).
Die Teilordnung einer Menge S heißt dicht, wenn es zu jedem x und y aus S mit x < y ein z aus S gibt, so dass x < z < y. Beispiel: die übliche Ordnung der rationalen oder der reellen Zahlen ist dicht. Siehe Ordnungstopologie.

differenzierbar

Die Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x₀, falls der Limes des Differenzenquotienten an der Stelle x₀ existiert.

Dimension

In der linearen Algebra ist die Dimension eines Vektorraums die Anzahl seiner Basisvektoren, also die minimale Ordnung eines Erzeugendensystems. Diese Dimension heißt auch Hamel-Dimension.
Die Dimension einer Mannigfaltigkeit ist die Anzahl der Koordinaten in einem lokalen Koordinatensystem. Dass eine Mannigfaltigkeit eine eindeutige Dimension hat, ist gesichert, wenn sie zusammenhängt.
Die Hausdorff-Dimension kann nichtganzzahlig sein und wird zur Beschreibung von Fraktalen verwandt.

disjunkt

Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen.

dual

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Dann heißt der Vektorraum V^*:=Hom_K(V,K), der die linearen Abbildungen von V nach K enthält, dual zu V (Dualraum).
In einer Booleschen Algebra entsteht eine duale Aussage, wenn man alle Elementaraussagen negiert, 0 mit 1 und ∧ mit ∨ vertauscht, und die gesamte Aussage negiert.
Analog dazu geht ein komplementärer Verband (z.B. eine Mengenalgebra) in sein duales Gegenstück über, wenn man die beiden inneren Verknüpfungen miteinander vertauscht und jedes Element durch sein Komplement ersetzt.

E

echt

Eine Teilmenge heißt echt, wenn sie nicht identisch ist mit der Grundmenge.

eindeutig

In älterer Literatur heißt eine injektive Abbildung eindeutig.
A. Beutelspacher rät in seinem Leitfaden zur Formulierung mathematischer Gedanken, das Wort eindeutig nur als Gegenteil von mehrdeutig zu verwenden.

eineindeutig

Von der Verwendung dieses Attributs ist abzuraten, da es uneinheitlich verwendet wird: überwiegend in der Bedeutung bijektiv, zuweilen aber auch in der Bedeutung injektiv.

einfach

Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie mindestens zwei Elemente und keinen nichttrivialen Normalteiler besitzt. Die Menge {e}, die nur das Einselement enthält, und die Gruppe selbst werden als triviale Normalteiler angesehen. Siehe auch Einfache Gruppe.
Ein Modul heißt einfach, wenn er keine echten Untermoduln hat.

einfach zusammenhängend

Ein topologischer Raum heißt einfach zusammenhängend, wenn in ihm jede geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, d.h. wenn die Fundamentalgruppe trivial ist.
Äquivalent dazu: Eine offene Menge D heißt (homotop) einfach zusammenhängend, falls jede geschlossene Kurve in D nullhomotop ist.

elliptisch

In der Geometrie eine Kurve, die als Ellipse beschrieben werden kann.
In der Analysis sind die elliptischen Funktionen eine wichtige Klasse spezieller Funktionen; sie treten als Lösungen elliptischer Integrale auf.
Eine fundamentale Klasse partieller Differentialgleichungen heißt elliptisch.
Eine fundamentale Klasse nichteuklidischer Geometrien heißt elliptisch.
Eine elliptische Kurve ist eine singularitätenfreie algebraische Kurve vom Grad 3 in der projektiven Ebene mit einem ausgezeichneten rationalen Punkt. Von besonderem Interesse z.B. für die Faktorisierung natürlicher Zahlen sind aufgrund ihrer einfachen Struktur elliptische Kurven der Form cy² = x³ + ax + b mit c ≠ 0 und 4a³ + 27b² ≠ 0.

endlich

Eine Menge heißt endlich, wenn ihre Mächtigkeit (die Anzahl ihrer Elemente) eine natürliche Zahl ist. Oder äquivalent: wenn keine Bijektion zwischen der Menge und einer ihrer Teilmengen existiert.
Ein Maß heißt endlich, wenn das Maß der Grundmenge Ω des Maßraums eine endliche Zahl ist. Ein Maß heißt σ-endlich, wenn Ω die abzählbare Vereinigung messbarer Mengen endlichen Maßes ist.
In der Gruppentheorie ist die Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Gruppen fundamental.
In der Physik verwendet man das Wort endlich auch, um "von Null verschieden" zu sagen.

entartet

Eine bilineare Abbildung b (eine Bilinearform) heißt entartet oder ausgeartet, wenn es einen Vektor x ≠ 0 gibt, der für jeden Vektor y die Gleichung b(x, y) = 0 erfüllt. Das Gegenteil wird manchmal mit dem Wort regulär bezeichnet, meist spricht man aber einfach von "nicht entartet" bzw. "nicht ausgeartet".

euklidisch

Ein euklidischer Raum ist in der Mathematik ein Raum, für welchen die Gesetze der euklidischen Geometrie gelten.
Eine Relation R heißt euklidisch, wenn aus xRy und xRz auch yRz folgt.

exakt

F

fast alle

Man sagt, dass eine Eigenschaft E für fast alle Elemente einer Menge oder Folge gilt, wenn sie für alle bis auf endlich viele gilt. Zum Beispiel gilt für eine konvergente Folge, dass in jeder Umgebung des Grenzwertes fast alle Folgeglieder enthalten sind.

fast überall

Man sagt, dass eine Eigenschaft E fast überall in einer Menge X gilt, wenn auf X ein Maß definiert ist und die Menge der Punkte, für die die Eigenschaft E nicht gilt, eine Nullmenge ist. Wenn die Menge X Teilmenge eines Euklidischen Raums ist, die Punkte von X also reelle Koordinaten haben, legt man in der Regel das Lebesgue-Maß zugrunde. Siehe Nullmenge für weitere Erklärungen und Beispiele.

fast sicher

Man sagt, dass ein Ereignis auf einem Wahrscheinlichkeitsraum fast sicher (f.s. oder engl. a.e. für "almost everywhere") eintritt, wenn dessen Wahrscheinlichkeit 1 beträgt. D.h. das Ereignis tritt fast überall auf dem Wahrscheinlichkeitsraum, als Maßraum betrachtet, ein.

fein, feiner, feinst

Diese Attribute dienen in der Topologie dem Vergleich verschiedener topologischer Strukturen auf derselben Menge. Siehe Topologischer Raum.

fett

Als fette Menge wird eine Teilmenge eines topologischen Raums X bezeichnet, die nicht mager ist, s. Satz von Baire.

fraktal

In der Mathematik Bezeichnung für Mengen mit gebrochener Hausdorff-Dimension, selbstähnliche Mengen (s. auch IFS-Fraktal) oder selbstähnliche Funktionen; siehe auch Fraktale Dimension.

frei

Aus nichtleeren Mengen kann man durch geeignete Konstruktionen algebraische Strukturen gewinnen, die gerade nur soviele Eigenschaften haben, wie von den Axiomen der Strukturen gefordert wird. Beispiele sind freier Gruppoid, freie Halbgruppe, freier Monoid, freie Gruppe, freie abelsche Gruppe.
Ein Modul heißt frei, wenn er eine Basis hat. Eine Basis ist hier ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

G

ganz

Eine in ganz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{C}

holomorphe Funktion heißt ganze Funktion.

In der Algebra heißt ein Element einer Ringerweiterung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B/A

ganz, wenn es Nullstelle eines normierten Polynomes mit Koeffizienten aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A
ist.

Als Spezialfall hiervon heißt ein Element einer Körpererweiterung K von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Q}

(algebraisch) ganz oder ganzalgebraisch, wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Z}
ist.

Eine Ringerweiterung heißt ganz, wenn alle Elemente ganz sind.

gerade

Eine Funktion f(x) heißt gerade, wenn f(x) = f(-x) für alle x aus der Grundmenge gilt. Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie durch 2 teilbar ist.
Eine Permutation σ heißt gerade, wenn sie eine gerade Anzahl von Fehlständen hervorbringt. Ein Fehlstand ist ein Paar i, j mit i<j aber σ(i)>σ(j). Siehe alternierende Gruppe.

geordnet

...Ordnungsrelation
...Geordneter Körper

glatt

Bei Funktionen, Kurven, Mannigfaltigkeiten und anderen differenzierbaren Objekten: Oft salopp gebraucht in der Bedeutung „genügend oft differenzierbar“. Manchmal formal definiert als „unendlich oft differenzierbar“.

gleichmäßig beschränkt

Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (Y,\|.\|)

ein normierter Raum. Eine Klasse von Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F
von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X\rightarrow Y
heißt gleichmäßig beschränkt, wenn es eine Konstante Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): C\in (0,+\infty)
gibt mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sup_{f\in F}\|f\|\leq C

.

gleichmäßig konvergent

Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D\subseteq\mathbb{R}

. Eine Funktionenfolge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (f_n)\subset\left\{f:D\rightarrow\mathbb{R}\right\}

heißt gleichmäßig konvergent, wenn gilt:Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \forall\varepsilon>0~\exists n_0\in\mathbb{N}~\forall n,m\in\mathbb{N}~\textrm{mit}~n,m\geq n_0,~\forall x\in D:|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon

gleichmäßig stetig

Seien Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (X,d_1)

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (Y,d_2)
metrische Räume. Eine Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X\to Y
heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn zu jedem Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon>0
ein Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta>0
existiert mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d_1(a,b)\le\delta\Rightarrow d_2(f(a),f(b))\le\varepsilon\quad(a,b\in X)

.

gleichgradig stetig

Seien Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (X,d_1)

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (Y,d_2)
metrische Räume. Eine Menge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F
von Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X\to Y
heißt gleichgradig stetig genau dann, wenn zu jedem Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon>0
ein Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta>0
existiert mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d_1(a,b)\le\delta\Rightarrow \sup_{f\in F}d_2(f(a),f(b))\le\varepsilon\quad(a,b\in X)

Spezialfall: Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D\subseteq\mathbb{R}

. Eine Menge von Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F\subseteq\left\{f:D\rightarrow\mathbb{R}\right\}

heißt gleichgradig stetig genau dann, wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \forall \varepsilon>0~\exists \delta>0~\forall f\in F~\forall x,y\in D:\left|x-y\right|<\delta\Rightarrow\left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon

global

Nicht auf eine Umgebung bezogen, also nicht lokal, sondern auf eine gesamte Grundmenge.

Grad

In der Geometrie ist das Grad Maßeinheit für die Größe eines ebenen Winkels.
In der Algebra ist der Grad eines Summanden in einem Polynom der Exponent, mit dem die Variable in diesem Term potenziert ist; der Grad des Polynoms ist der größte Grad eines in dem Polynom enthaltenen Summanden.
In der Darstellungstheorie ist der Grad der Darstellung die Dimension des Vektorraums, in dem die Darstellung stattfindet.
In der Graphentheorie ist der Grad einer Ecke die Anzahl der in dieser Ecke zusammentreffenden Kanten.
Für den Grad einer Karte zwischen Mannigfaltigkeiten, siehe [1].

grob, gröber, gröbst

Diese Attribute dienen in der Topologie dem Vergleich verschiedener topologischer Strukturen auf derselben Menge. Siehe Topologischer Raum.

größtes Element

Ein Element x einer halbgeordneten Menge heißt größtes Element, wenn alle anderen Elemente kleiner sind, d.h. für jedes Element y die Relation x ≥ y gilt. Das größte Element einer halbgeordneten Menge existiert nicht immer, ist aber im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch maximal und kleinstes.

H

harmonisch

Funktion
Schwingung
Reihe / Zahlen
Mittelwert

Hausdorffraum

Ein topologischer Raum ist ein Hausdorff-Raum, wenn das Trennungsaxiom T₂ gilt: jedes Paar von unterschiedlichen Punkten besitzt disjunkte Umgebungen.

hebbar

In der Funktionentheorie heißt eine Singularität a hebbar (auch algebraisch oder regulär), wenn eine analytische

Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g : D \rightarrow \mathbb{C}

existiert mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  g = f
in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D\backslash\left\{ a\right\}

.

Eine Definitionslücke, in die eine Funktion stetig fortgesetzt werden kann, heißt stetig behebbare Definitionslücke.

hermitesch

Das Adjektiv hermitesch (oder auch Hermitesch) stammt von Charles Hermite, es gibt auch die (falsche) Schreibweise hermitisch.
Die hermitesch adjungierte bzw. hermitesch konjungierte Matrix zu einer Matrix A ist die komplex Konjugierte der Transponierten (oder umgekehrt) von A, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\overline{A}}^{T}={\overline{A^{T}}}

. Alle komplexen Matrizen und Vektoren lassen sich hermitesch konjungieren; die hermitesch Konjugierte einer reellen Matrix ist einfach die Transponierte. Gängige Schreibweisen für die hermitesch Konjungierte von A sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^H=A^{\dagger}=\mathrm{adj}(A) . Die Notation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^{*}

steht je nach Autor für die hermitesch adjungierte bzw. hermitesch konjungierte oder aber für die nur komplex konjugierte Matrix. Sie ist daher zu vermeiden.

Zwei Matrizen A,B heißen adjungiert oder hermitesch adjungiert oder hermitesch konjugiert zueinander, wenn sie durch komplexe Konjugation und Transposition auseinander hervorgehen, das heißt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B=A^{H}

.

Eine Matrix heißt hermitesch oder selbstadjungiert genau dann, wenn sie zu sich selbst hermitesch adjungiert bzw. adjungiert ist, das heißt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A=A^H

. Aus hermitesch folgt quadratisch, normal und daraus diagonalisierbar.

Eine hermitesche Form ist eine Sesquilinearform Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle,\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{C}

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}

. Das innere Produkt in einem unitärem Raum ist per definitionem eine hermitesche Form.

In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator f auf einem Hilbert-Raum selbstadjungiert, wenn er hermitesch ist und zusätzlich gewisse topologische Anforderungen erfüllt (so zumindest bei Dieudonné). In weniger formalen Darstellungen werden die Attribute hermitesch und selbstadjungiert austauschbar gebraucht. Bra-Ket-Notation: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle 1|\hat A|2 \rangle\ =\ \langle2|\hat A|1\rangle^*

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat A
hermitesch.

hinreichend

Eine Aussage A ist eine hinreichende Bedingung einer anderen Aussage B, wenn zwischen den beiden Aussagen die logische Beziehung "aus A folgt B" (kurz: A ⇒ B) besteht. Der Gegenbegriff ist notwendig.

hölder-stetig

Für metrische Räume Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (E,d_E), (F,d_F)

heißt eine Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f:\Omega\subset E\rightarrow F
hölder-stetig mit Exponent Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha\in\mathbb{R}_{>0}
und Konstante Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): C\in\mathbb{R}_{>0}

, falls für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x,y\in\Omega

gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d_F(f(x),f(y))\leq C(d_E(x,y))^\alpha

holomorph

In der Funktionentheorie heißt eine Funktion einer komplexen Variablen holomorph oder regulär in einem Bereich, wenn sie in diesem Bereich eindeutig ist und eine stetige Ableitung hat; diese Definition impliziert Stetigkeit der Funktion selbst.

homogen

Homogen ist ein Raum, der "überall gleich aussieht":
- Ein topologischer Raum ist homogen, falls es für je zwei Punkte einen Homöomorphismus gibt, der den einen Punkt auf den anderen Punkt abbildet.
- Allgemeiner heißt eine Menge mit einer transitiven Gruppenaktion ein homogener Raum.

Siehe: Homogener Raum

Homogenität bezeichnet eine Art von Kompatibilität mit Skalarmultiplikation:
- Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen, wenn seine m Gleichungen in den n Unbekannten die Form a_j1x₁ + ... + a_jnx_n = 0 haben (für alle j aus 1,2,..,m); Wenn auf der rechten Seite in mindestens einer Gleichung eine andere Zahl als die 0 steht, heißt das Gleichungssystem inhomogen.
  Siehe: Homogene Gleichung
- Eine Abbildung heißt homogen vom Grad p, falls für Skalare a die Gleichung f(ax) = a^pf(x) gilt; manchmal wird "homogen" auch im Sinne von "homogen vom Grad 1" benutzt.
  Siehe: Homogene Abbildung, Homogenes Polynom
- In Verallgemeinerung des Begriffs "homogenes Polynom" heißen Elemente in einem graduierten Objekt (Ring, Algebra, Modul) homogen, wenn sie in einem der graduierten Bestandteile liegen. Ein graduierter Morphismus heißt homogen vom Grad p, wenn er den Grad um p erhöht.
  Siehe: Graduierung (Algebra)
Eine Relation heißt homogen, wenn Vor- und Nachmenge übereinstimmen.
In der Zahlentheorie heißen Zahlen homogen, wenn sie aus den gleichen Primfaktoren aufgebaut sind, wie beispielsweise Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 60=2^2\times3\times5

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 90=2\times3^2\times5

.

homöomorph

Zwei topologische Räume X und Y heißen homöomorph, falls es eine bijektive Abbildung f : X -> Y gibt, so dass f und f^-1 stetig sind. Vom Standpunkt der Topologie aus sind X und Y gleich. Die Funktion f wird Homöomorphismus genannt.

homotop

Zwei Teilmengen (oder zwei Kurven) eines topologischen Raums sind homotop, wenn sie sich stetig ineinander deformieren lassen.

hyperbolisch

In der Geometrie eine Kurve, die als Hyperbel beschrieben werden kann.
Eine fundamentale Klasse partieller Differentialgleichungen heißt hyperbolisch.
Eine fundamentale Klasse nichteuklidischer Geometrien heißt hyperbolisch.
Ein zweidimensionaler Bilinearraum (V, b) heißt hyperbolische Ebene, wenn er zwei Vektoren x und y mit der Eigenschaft b(x,x) = 0, b(y, y) = 0, b(x, y) = 1 enthält.
Ein Bilinearraum, der als orthogonale Summe von hyperbolischen Ebenen dargestellt werden kann, heißt hyperbolischer Raum.

I

ideal

In der Zahlentheorie wurden gewisse auf komplexe Wurzeln der Eins (Einheitswurzeln) aufgebaute Zahlen von Ernst Kummer ideal genannt; diese Idee wurde von Dedekind in der abstrakt algebraischen Entität Ideal verallgemeinert.

idempotent

Eine Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A

heißt idempotent, wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): AA=A
gilt; allgemeiner:

Ein Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e

eines Monoiden heißt idempotent wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): ee=e
gilt.

indefinit

Die Matrix A heißt indefinit, wenn A mindestens einen positiven und einen negativen Eigenwert besitzt.

inhomogen

Für ein lineares Gleichungssystem siehe unter homogen.

injektiv

Eine Funktion heißt injektiv, wenn niemals zwei verschiedene Elemente denselben Funktionswert haben. Eine injektive Funktion ist auf ihrer Wertemenge eindeutig umkehrbar und heißt deshalb auch eineindeutig. Ein injektiver Homomorphismus heißt auch Monomorphismus.
Ein Objekt J einer Kategorie heißt injektiv, wenn sich Morphismen von Unterobjekten nach J stets auf das ganze Objekt ausdehnen lassen.

integrabel

Eine Differentialgleichung nennt man integrabel, wenn es möglich ist, sie analytisch zu lösen, also eine Lösungsfunktion (das Integral) anzugeben. Sehr viele mathematische Probleme, insbesondere nichtlineare und partielle Differentialgleichungen sind nicht integrabel, darunter schon ganz einfach erscheinende wie das Dreikörperproblem, das Doppelpendel oder die meisten Kreiseltypen.

invers

Zwei mathematische Operationen heißen invers zueinander, wenn sich ihre Wirkung aufhebt. Beispiel: Integration ist invers zur Differentiation.
Zwei Elemente einer Gruppe heißen invers zueinander, wenn ihre Verknüpfung das neutrale Element der Gruppe ergibt. Siehe Inverses Element.

invertierbar

Eine Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!

heißt invertierbar, wenn die Umkehrfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f^{-1}\!
existiert. Dann gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f^{-1}(f(x))=x\!
für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\!
aus der Definitionsmenge von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!
bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\left(f^{-1}(y)\right)=y
für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y\!
aus der Bildmenge von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!

. Eine Funktion ist genau dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist.

In der linearen Algebra heißt eine quadratische Matrix A invertierbar, wenn die inverse Matrix A^-1 existiert (Dies ist der Fall, wenn die Determinante Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left|A\right| \neq 0

ist). Dann gilt A A^-1 = A^-1 A = 1.

involutorisch

Eine quadratische Matrix heißt involutorisch, wenn ihr Quadrat die Einheitsmatrix ist.
Eine Abbildung heißt involutorisch, wenn das zweifache Anwenden die Identität ist. Anschaulich: Zwei Mal machen macht gar nichts. Beispiele sind die komplexe Konjugation, die hermitesche Konjugation, das Transponieren, das Invertieren und viele mehr.

irrational

siehe irrationale Zahlen

irreduzibel

Ringtheorie: irreduzibles Element
Eine lineare Darstellung heißt irreduzibel, wenn sie nicht reduzibel ist, wenn also der Vektorraum, in dem die Darstellung stattfindet, keine nichttrivialen Unterräume hat, die unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Die Klassifikation nach irreduziblen Darstellungen ist die Hauptaufgabe der Darstellungstheorie.

irreflexiv

Eine zweistellige Relation R heißt irreflexiv, wenn kein Element in Relation zu sich selbst steht: ¬ ∃ x: xRx. "Irreflexiv" ist somit nicht das Gegenteil von "reflexiv": eine Relation kann ohne weiteres weder reflexiv noch irreflexiv sein. Die Relation auf der leeren Menge ist sowohl reflexiv als auch irreflexiv. Eine irreflexive Ordnungsrelation heißt strikt.

isometrisch isomorph

Zwei metrische Räume heißen isometrisch isomorph, wenn sie durch eine bijektive Isometrie aufeinander abgebildet werden können.

isomorph

Zwei Mengen heißen isomorph, wenn sie durch einen Isomorphismus, also eine bijektive strukturerhaltende Abbildung aufeinander abgebildet werden können.

isotrop

Ein Element x eines Bilinearraumes (V, b) heißt isotrop, wenn die Gleichung b(x, x) = 0 gilt.

J

K

kanonisch

"Das Wort kanonisch wird für ein Objekt gebraucht, von dessen Sorte es zwar viele gibt, das aus seinen Artgenossen aber so deutlich herausragt, dass es «in gewissem Sinne» eindeutig ist. Sie merken: der Begriff ist schwammig - und wenn man ganz genau hinsieht, zerläuft er einem unter den Fingern. [...] Meine Meinung: Kanonisch ist ein Wort, das fast keine Bedeutung hat. Verwenden Sie es für die kanonische Basis des Vektorraums Kⁿ und sonst nicht!" A. Beutelspacher.
Die kanonische Basis des Vektorraums R³ ist {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Achtung: nicht jeder Vektorraum hat eine kanonische Basis.
Die kanonische Abbildung φ eines Vektorraums V auf einen Faktorraum V/U ist durch φ(v)=v+U gegeben.

Klasse C^p

eine Funktion ist von der Klasse Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): C^p

bzw. eine Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): C^p -Funktion, wenn sie Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p

mal stetig differenzierbar ist.

kleinstes

Ein Element x einer halbgeordneten Menge heißt kleinstes Element, wenn alle anderen Elemente größer sind, d.h. für jedes Element y die Relation x ≤ y gilt. Das kleinste Element einer halbgeordneten Menge existiert nicht immer, ist aber im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch minimal und größtes.

koaxial

Zwei Strecken oder Achsen heißen koaxial, wenn sie auf einer Geraden liegen.

kollinear

Drei oder mehr Punkte, die auf einer Geraden liegen, heißen kollinear.
Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn sie linear abhängig sind.
Eine Abbildung zwischen Vektorräumen, die alle Geraden wieder auf Geraden abbildet, heißt kollinear oder projektiv. Siehe Kollineare Abbildung.

Kolmogoroff'sch

Ein topologischer Raum ist ein Kolmogoroff-Raum, wenn das Trennungsaxiom T₀ gilt: zu jedem Paar von unterschiedlichen Punkten gibt es eine offene Menge, die einen Punkt enthält, jedoch nicht den anderen.

kommutativ

Eine zweistellige Verknüpfung · heißt kommutativ, wenn x·y = y·x (das Kommutativgesetz) für alle x und y gilt.
Eine Gruppe heißt kommutativ (auch: abelsch), wenn ihre Verknüpfung kommutativ ist.

kompakt

Ein topologischer Raum ist kompakt, falls jede offene Abdeckung eine endliche Unterabdeckung besitzt. Kompakte Räume sind immer lindelöf und parakompakt. Kompakte Hausdorff-Räume sind somit normal.
(aus der obigen Definition folgt:) Eine Teilmenge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M

eines metrischen Raumes ist kompakt, wenn jede Folge in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
eine in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
konvergente Teilfolge besitzt.

komplanar

Eine Gerade heißt komplanar zu einer Ebene, wenn sie zu ihr parallel ist oder in ihr enthalten ist. Die Richtungsvektoren der Gerade und der Ebene sind dann linear abhängig.

komplementär

Zwei Winkel heißen komplementär oder Komplementwinkel, wenn sie sich zu einem rechten Winkel (90°) ergänzen
siehe auch: Minor

konform

Eine Abbildung f aus einem Gebiet G in die komplexe Ebene C heißt lokal konform, wenn sie reell differenzierbar und winkeltreu (orientierungserhaltend) ist d.h. das Differential ist für alle Elemente des Gebiets eine Drehstreckung ( die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten) .Mit anderen Worten: f ist lokal konform, wenn f analytisch auf einem Gebiet G ist und die Ableitung von f für jedes Element aus G von Null verschieden ist.
Ist f lokal konform und bijektiv, so heißt f konform.
Wenn f konform ist, so ist es auch die Umkehrabbildung

kongruent

Zwei geometrische Figuren heißen kongruent oder deckungsgleich, wenn sie durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung aufeinander abgebildet werden können. Siehe Kongruenz (Geometrie). Wird zusätzlich zentrische Streckung zugelassen, heißen die Figuren ähnlich.
In Algebra und Zahlentheorie heißen zwei Zahlen kongruent modulo m, wenn sie denselben Rest bezüglich eines Divisors m haben. Beispiel: 3 ≡ 24 mod 7. Siehe Kongruenz (Zahlentheorie).

konjugiert

Zwei Komplexe Zahlen a und b heißen komplex konjugiert zueinander, wenn ihre Realteile übereinstimmen und ihre Imaginärteile unterschiedliches Vorzeichen haben. Beispiel: die komplex Konjugierte von 2+i ist 2-i.
Matrizen heißen komplex konjugiert zueinander, wenn alle ihre Koeffizienten komplex konjugiert zueinander sind.
In der Funktionalanalysis heißen lineare Operatoren komplex konjugiert zueinander, wenn ...
In der abstrakten Algebra heißen zwei über K algebraische Elemente einer Körpererweiterung L/K zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L heißen Konjugierte von a (in L). Jeder K-Automorphismus von L (der K punktweise festhält) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.
In einer Gruppe (G, *) heißen die Elemente Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b
zueinander konjugiert, wenn es ein Gruppenelement Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
gibt, so dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b=c^{-1}ac
ist. Die Abbildung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \mapsto c^{-1}ac
heißt Konjugation mit c.

Zwei Untergruppen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V
heißen zueinander konjugiert, wenn es ein Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
gibt, so dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c U = V c

Zwei Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p, q > 0\;

heißen konjugiert, wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac 1p + \frac 1q = 1
gilt.

konsistent

In der mathematischen Statistik heißt eine Schätzung konsistent, wenn sie in Wahrscheinlichkeit (d.h. für eine ins Unendliche wachsende Stichprobe) gegen die geschätzte Größe konvergiert.

kopunktal

3 oder mehr Geraden, die durch einen gemeinsamen Punkt gehen (mit demselben Punkt inzidieren).

L

lindelöf

Ein topologischer Raum ist lindelöf, falls jede offene Abdeckung eine abzählbare Unterabdeckung besitzt. Nach dem Mathematiker Ernst Leonhard Lindelöf.

linear

Eine Funktion der Form f(x) = a + bx heißt affin-linear. In der Elementarmathematik und vielen Anwendungen sagt man stattdessen nur linear. Das ist mit der folgenden, in weiten Teilen der Mathematik üblichen Definition von linear nur im Sonderfall a=0 kompatibel:
In der Algebra und zahlreichen darauf zurückgreifenden Gebieten der Mathematik heißt ein funktionaler Zusammenhang f(x) linear, wenn er folgende zwei Bedingungen erfüllt: (1) Superposition: f(x + y) = f(x) + f(y); (2) Homogenität: f(αx) = αf(x) für alle α aus einem zugrunde liegenden Körper.
In der Logik heißen Terme linear, wenn sie jede Variable höchstens einmal enthalten.
Die Funktionalanalysis handelt von linearen Operatoren.
Eine lineare Ordnungsrelation heißt auch total, siehe dort.
In der Codierungstheorie heißt ein Code linear, wenn er die Struktur eines Vektorraumes trägt.

linksgekrümmt

Eine zwei Mal differenzierbare Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f: \R\to\R

heißt in einem Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I\!
linksgekrümmt, wenn die zweite Ableitung positiv ist, also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \forall x\in I:\,f''(x)>0

. Der Name rührt daher, dass ein Fahrzeug stets nach links lenken muss, wenn es sich in Richtung steigender Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\! -Werte entlang des Graphen der Funktion bewegt. Linksgekrümmte Funktionen sind streng konvex.

Lipschitz-stetig

Eine reelle Funktion heißt Lipschitz-stetig, wenn die Anstiege aller Sekanten nach oben und unten beschränkt sind. Der Begriff kann auf Funktionen in metrischen Räumen ausgedehnt werden.

lokal

auf eine Umgebung bezogen

lokal endlich

Ein System von Teilmengen eines topologischen Raums ist lokal endlich, falls jeder Punkt eine Umgebung hat, die nur endlich viele der Teilmengen berührt.

lokal Lipschitz-stetig

Eine reelle Funktion heißt lokal Lipschitz-stetig, wenn die Anstiege aller Sekanten nach oben und unten, innerhalb eines Intervalls, beschränkt sind.

lokal metrisierbar

Ein topologischer Raum ist lokal metrisierbar, falls jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung besitzt.

lokal zusammenhängend

M

mager

Als magere Menge wird eine Teilmenge eines topologischen Raums X bezeichnet, die als abzählbare Vereinigung nirgends dichter Teilmengen von X darstellbar ist. Siehe dazu Satz von Baire.

marginal

In der Stochastik heißt eine Wahrscheinlichkeit marginal, die aus einer bedingten Wahrscheinlichkeit durch »Marginalisierung« hervorgegangen ist. »Marginalisieren« heißt, über alle möglichen Werte einer Bedingung zu summieren oder integrieren. Beispiel: Ausgehend von der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B,C) ist P(A|B) bezüglich C marginal.

maximal

Ein Element einer halbgeordneten Menge heißt maximal, wenn es in der Ordnung kein größeres Element gibt. Dieses Element muss nicht das größte Element sein: Wenn es mehrere maximale Elemente gibt, gibt es kein größtes.
Ideal (Mathematik), Untermodul
Ein Orthonormalsystem S eines Hilbertraums H heißt maximal, wenn es in H außer dem Nullvektor keinen Vektor gibt, der zu allen Vektoren aus S orthogonal ist. Das heißt, es gilt für alle x aus H Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( \langle x, u \rangle = 0 \ \forall u \in S \right) \Rightarrow x=0

.

meromorph

Ist f holomorph im Gebiet G bis auf eventuelle Ausnahme von Polen, so heißt f meromorph in G.

messbar

Messbarer Raum wäre die wörtliche Übersetzung des englischen measurable space, der auf Deutsch eingeführterweise Messraum heißt; siehe Maßtheorie. Die einzelnen Mengen der σ-Algebra eines Maßraums (d.h. eines Messraums, auf dem ein Maß definiert ist) heißen jedenfalls messbar; siehe auch dazu den Artikel Maßtheorie.
Messbar ist nicht das gleiche wie metrisierbar, da ein Maß keine Metrik ist.

metrisierbar

Ein topologischer Raum ist metrisierbar, falls er homöomorph zu einem metrischen Raum ist. Metrisierbare Räume sind immer Hausdorff'sch und parakompakt (und daher normal und Tychonoff'sch) und erst-abzählbar).

minimal

Ein Element einer halbgeordneten Menge heißt minimal, wenn es in der Ordnung kein kleineres Element gibt. Dieses Element muss nicht das kleinste Element sein: Wenn es mehrere minimale Elemente gibt, gibt es kein kleinstes.

monoton

Folge
Logik

multilinear

Eine Abbildung die Argumente aus mehreren Vektorräumen in einen Vektorraum abbildet, heißt multilinear, wenn sie in jedem Argument linear ist, wobei alle Vektorräume über demselben Skalarkörper definiert sein müssen. Eine multilineare Abbildung in den Skalarkörper ist eine Multilinearform.

multivariat

Analysis: Eine Funktion ist multivariat, wenn sie mehrere unbestimmte Variablen enthält.

Beispiele:

univariates Polynom (in einer Unbestimmten): Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x^2+3x+4

multivariates Polynom (in mehreren - hier: drei - Unbestimmten): Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 3x^2y+y^2z-x^2z^3

Statistik: Die gemeinsame Verteilung mehrerer Zufallsvariablen ist multivariat. Ebenso ist die gemeinsame Analyse mehrerer statistischer Merkmale multivariat.

Siehe auch univariat.

N

natürlich

Eine Abbildung zwischen zwei Konstruktionen F(A) und G(A) zu einem Objekt heißt natürlich, wenn sie kompatibel mit dem Austausch von A durch andere Objekte ist. Beispiel: die Determinante als Abbildung der n × n-Matrizen in den Grundkörper ist kompatibel mit dem Übergang zu einem Erweiterungskörper. Siehe Kategorientheorie
Siehe natürliche Zahl

Vgl. auch natürlicher Logarithmus

negativ

Eine reelle Zahl heißt negativ, wenn sie kleiner als Null ist. Eine Zahl, die kleiner oder gleich Null ist, bezeichnet man am kürzesten als nicht-positiv. Siehe positive und negative Zahlen.

negativ definit

Eine reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Bilinearform s:V×V→K heißt negativ definit, wenn s(v,v) < 0 für alle v aus V\{0}. Siehe auch positiv definit.

nilpotent

Ein Endomorphismus f eines Vektorraums oder eine quadratische Matrix A heißen nilpotent, wenn es eine Zahl p≥1 gibt, so dass f^p=0 bzw. A^p=0, siehe nilpotente Matrix, nilpotentes Element.
Nilpotente Gruppe

nirgends dicht oder nirgendwo dicht

Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist nirgends dicht, wenn das Innere ihres Abschlusses leer ist. Beispiel: die Menge der ganzen Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Z}

ist nirgends dicht in der Menge der reellen Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}

.

normal

In der Geometrie, insbesondere in der analytischen Geometrie, heißt eine Gerade normal zu einer Ebene, wenn sie senkrecht auf dieser steht.
In der Topologie heißt ein topologischer Raum normal, falls beliebige zwei disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen haben. Normalräume erlauben Zerlegungen der Eins. Normale T₁-Räume sind immer Tychonoff-Räume.
In der Statistik ist eine Zufallsvariable normal, wenn sie normalverteilt (Gauß-verteilt) ist.
In der Gruppentheorie sagt man im Deutschen statt normale Untergruppe üblicherweise Normalteiler. Ein Normalteiler ist invariant unter Konjugation beliebiger Gruppenelemente.
In der Körpertheorie ist eine endliche Körpererweiterung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L|K

normal, wenn jedes irreduzible Polynom über Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K

, das eine Nullstelle in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L

hat, dort in Linearfaktoren zerfällt. Äquivalent dazu ist, dass das Bild einer Einbettung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L\hookrightarrow\bar K
in einen algebraischen Abschluss von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K
nicht von der Einbettung abhängt. Beispiel: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb Q(\sqrt[3]2)|\mathbb Q
ist nicht normal.

In der kommutativen Algebra heißt ein Ring normal, wenn er nullteilerfrei und