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Konvexe und konkave Funktionen

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Konvexe Funktion

In der Analysis heißt eine Funktion f von einem Intervall I (oder allgemeiner einer konvexen Teilmenge C eines reellen Vektorraums) nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}

konvex, wenn für alle x, y aus I (bzw. aus C) und t zwischen 0 und 1 gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t x+(1-t)y) \le t f(x)+(1-t)f(y)

Anschaulich bedeutet die Definition: Die Funktionswerte zwischen zwei Werten x,y liegen unterhalb der Verbindungsgeraden der beiden Funktionswerte an x und y.

Gilt das Ungleichheitszeichen in die umgekehrte Richtung, also

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t x+(1-t)y) \ge t f(x)+(1-t)f(y)

für alle x, y aus I und t zwischen 0 und 1 gilt, so wird die Funktion als konkav bezeichnet.^[1] Vereinzelt wird der hier verwendete Begriff "konvex" als "konvex von unten" und im Gegensatz dazu "konkav" als "konvex von oben" bezeichnet.^[2]

Eine Funktion heißt streng konvex, wenn für alle x,y aus I (bzw. C) und t echt zwischen 0 und 1 gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t x+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)

. Analog heißt eine Funktion streng konkav, wenn für alle x,y aus I (bzw. C) und t echt zwischen 0 und 1 gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t x+(1-t)y) > t f(x)+(1-t)f(y)

.^[1]

Die besondere Bedeutung konvexer bzw. konkaver Funktionen liegt darin, dass sie allgemeiner als lineare Funktionen sind, aber einfach zu untersuchende Eigenschaften haben, die viele Aussagen über nichtlineare Systeme, insbesondere über nichtlineare Optimierungsprobleme ermöglichen.

Geschichte

Wesentliche Aussagen zu konvexen und konkaven Funktionen finden sich bereits 1889 bei Otto Hölder, wobei er aber die Bezeichnungen konvex und konkav noch nicht verwendete.^[3] Die Bezeichnungen konvex und konkav für Funktionen wurden 1905 von Johann Ludwig Jensen eingeführt.^[4] Jensen verwendete allerdings die schwächere Definition

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}

und zeigte, dass daraus für stetige Funktionen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t x+(1-t)y) \le t f(x)+(1-t)f(y)

für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t

zwischen 0 und 1 folgt.^[5] Für Details siehe Jensensche Ungleichung.

Gelegentlich findet sich vor allem in älteren Werken noch diese schwächere Definition.^[6]

Eigenschaften

Graph

Der Graph einer konvexen Funktion ist so gewölbt, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen, der sogenannte Epigraph, eine konvexe Menge ist. Der Graph einer konkaven Funktion ist so gewölbt, dass die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, der sogenannte Hypograph, eine konvexe Menge ist. Zu beachten ist, dass eine nicht-konvexe Funktion nicht automatisch konkav sein muss, d.h. konvex und konkav sind hier nicht das exakte Gegenteil voneinander. Jede lineare Funktion ist sowohl konkav als auch konvex, und die Sinusfunktion ist keins von beiden (weder die Menge der Punkte oberhalb des Graphen noch die der Punkte unterhalb des Graphen ist eine konvexe Menge).

Verhältnis konvex und konkav

Eine Funktion f ist genau dann konvex (konkav), wenn die Funktion -f konkav (konvex) ist.

Umkehrfunktion

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!

invertierbar und setzt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=f^{-1}(u), y=f^{-1}(v)\!

, so erhält man für eine konvexe Funktion

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t f^{-1}(u)+(1-t)f^{-1}(v)) \le t u+(1-t)v \!

Für eine monoton steigende Funktion gilt also

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t f^{-1}(u)+(1-t)f^{-1}(v) \le f^{-1}(t u+(1-t)v)

, für eine invertierbare monoton steigende und konvexe (konkave) Funktion hat daher die Umkehrfunktion die umgekehrte Art der Konvexität, ist also monoton steigend und konkav (konvex), siehe z.B. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^x

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): ln x

Für eine monoton fallende Funktion gilt hingegen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t f^{-1}(u)+(1-t)f^{-1}(v) \ge f^{-1}(t u+(1-t)v)

, für eine invertierbare monoton fallende und konvexe (konkave) Funktion hat daher die Umkehrfunktion die gleiche Art der Konvexität, ist also streng monoton steigend und konvex (konkav), siehe z.B. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1/x

auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (-\infty,0)
bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (0,\infty)

Konvexität und erste Ableitung

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f : \R \to \R

differenzierbar, dann gilt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\,

ist genau dann konvex, wenn ihre Ableitung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  f^\prime 
wachsend ist, und genau dann streng konvex, wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  f^\prime 
streng monoton wachsend ist. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  f\, 
ist genau dann konkav, wenn ihre Ableitung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  f^\prime 
fallend ist, und genau dann streng konkav, wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  f^\prime 
streng monoton fallend ist. Dieses Resultat findet sich im Wesentlichen schon 1889 bei Otto Hölder.^[3]

Konvexe Funktionen liegen oberhalb der Tangente, also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x+h)\ge f(x)+hf'(x)

, wobei für streng konvex Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x+h)> f(x)+hf'(x)\!

für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h \neq 0
gilt. Aus dieser Beziehung folgt beispielsweise die Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (1+x)^r\geq 1+rx
für reelle r mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r\leq 0
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r\geq 1

Konkave Funktionen liegen unterhalb der Tangente, also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x+h)\le f(x)+hf'(x)

, wobei für streng konkav Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x+h)< f(x)+hf'(x)\!

für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h \neq 0
gilt. Aus dieser Beziehung folgt beispielsweise die Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (1+x)^r\leq 1+rx
für reelle r mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0 \le r\leq 1

Eine konvexe(konkave) Funktion ist fast überall differenzierbar

Konvexität und die Ableitung

Jede konvexe(konkave) Funktion ist im Inneren links- und rechtsseitig differenzierbar.
Eine überall links- und rechtsdifferenzierbare Funktion ist genau dann konvex, wenn ihre Ableitung monoton wachsend ist.
Eine überall links- und rechtsdifferenzierbare Funktion ist genau dann konkav, wenn ihre Ableitung monoton fallend ist.

Konvexität und zweite Ableitung

Der Zusammenhang zwischen Konvexität und zweiter Ableitung wurde im Wesentlichen schon 1889 von Otto Hölder beschrieben.^[3]. Für zwei Mal stetig differenzierbare Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R \to \R

gilt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!

ist genau dann konvex, wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f''\! \geq 0\!
gilt. Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f''\!
positiv, ist also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!
linksgekrümmt, so ist die Funktion streng konvex; bei streng konvexen Funktionen kann die zweite Ableitung aber einzelne Nullstellen haben, wie das Beispiel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=x^4\!
für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=0\!
zeigt.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!

ist genau dann konkav, wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f''\!\leq 0\!
gilt. Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f''\!
negativ, also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!
rechtsgekrümmt, so ist die Funktion streng konkav; bei streng konkaven Funktionen kann die zweite Ableitung aber einzelne Nullstellen haben, wie das Beispiel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)= - x^4\!
für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=0\!
zeigt.

Ist die Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R^n \to \R

zweimal stetig differenzierbar, dann gilt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!

ist genau dann konvex, wenn die Hesse-Matrix von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!
positiv semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!
positiv definit, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!
strikt konvex.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!

ist genau dann konkav, wenn die Hesse-Matrix von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!
negativ semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!
negativ definit, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!
strikt konkav.

Extremwerte

Ein lokales Minimum einer konvexen Funktion ist auch ein globales Minimum. Eine strikt konvexe Funktion hat höchstens ein globales Minimum. Eine stetige strikt konvexe Funktion auf einer kompakten konvexen Menge hat auf dieser Menge genau ein globales Minimum. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^x

hat aber beispielsweise kein globales Minimum für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in(-\infty,\infty)

Ein lokales Maximum einer konkaven Funktion ist auch ein globales Maximum. Eine strikt konkave Funktion hat höchstens ein globales Maximum.Eine stetige strikt konkave Funktion auf einer kompakten konvexen Menge hat auf dieser Menge genau ein globales Maximum. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ln x

hat aber beispielsweise kein globales Maximum für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in(0,\infty)

Da konvexe bzw. konkave Funktionen die Eindeutigkeit von Extremwerten sicherstellen, spielen sie in der nicht-linearen Optimierung eine wichtige Rolle.

Verknüpfungen

Linearkombination

Sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g
zwei konvexe (konkave) Funktionen, so ist auch jede Linearkombination Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a f + b g
mit nichtnegativen Koeffizienten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a,b
wieder konvex (konkav).

Grenzwert

Der Grenzwert einer punktweise konvergenten Folge konvexer (konkaver) Funktionen ist auch wieder eine konvexe (konkave) Funktion. Ebenso ist die Summe einer punktweise konvergenten Reihe konvexer (konkaver) Funktionen auch wieder eine konvexe (konkave) Funktion.

Supremum konvexer Funktionen

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lbrace f_\alpha:\alpha \in A \rbrace

eine Menge konvexer Funktionen, und existiert punktweise das Supremum

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x):=\sup_{\alpha\in A}f_{\alpha}(x)

für alle x, so ist auch f eine konvexe Funktion.

Für das Infimum gilt das nicht, wie das Beispiel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_1(x)=1\! , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_2(x)=x\!

zeigt.

Infimum konkaver Funktionen

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lbrace f_\alpha:\alpha \in A \rbrace

eine Menge konkaver Funktionen, und existiert punktweise das Infimum

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x):=\inf_{\alpha\in A}f_{\alpha}(x)

für alle x, so ist auch f eine konkave Funktion.

Für das Supremum gilt das nicht, wie das Beispiel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_1(x)=1\! , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_2(x)=x\!

zeigt.

Jensensche Ungleichung

Für konvexe und konkave Funktionen gilt die Jensensche Ungleichung.

Der Fall t<0 bzw. t>1

Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t<0

oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t>1
dreht sich das Ungleichheitszeichen um, für konvexe Funktionen gilt dann also

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t x+(1-t)y) \ge t f(x)+(1-t)f(y)

sofern Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u:=t x+(1-t)y

noch im Intervall I (bzw. in der konvexen Menge C) ist. Um das zu sehen sei beispielsweise Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t>1

, dann gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=\frac{1}{t}u+\frac{t-1}{t}y , wegen Konvexität also

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=f(\frac{1}{t}u+\frac{t-1}{t}y)\le \frac{1}{t}f(u)+\frac{t-1}{t}f(y)

, somit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t f(x) + (1-t)f(y)\le f(u)=f(t x+(1-t)y)

Konvexität und Stetigkeit

Jede auf einem offenen Intervall konvexe Funktion ist stetig. Setzt man umgekehrt Stetigkeit voraus, so reicht für Konvexität bereits die Bedingung, dass für alle x,y aus I gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}

es reicht sogar, dass für ein beliebiges, aber fixes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda\!

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0<\lambda<1\!

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\left(\lambda x +(1-\lambda)y\right) \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)

für alle x,y aus I gilt.

Beispiele

Bild:Normalparabel.png

Normalparabel ist konvex

Die Funktion f(x) = x² ist auf ganz R streng konvex, denn f '(x) = 2x ist streng monoton wachsend.
Die Funktion f(x) = -x² ist auf ganz R streng konkav, denn f '(x) = -2x ist steng monoton fallend.
Die Wurzelfunktion f(x) = √x ist streng konkav auf dem Intervall [0, ∞) der nichtnegativen reellen Zahlen.
Die Exponentialfunktion ist streng konvex auf ganz R.
Die Logarithmusfunktion ist streng konkav auf dem Intervall (0, ∞) für eine Basis größer als 1 und streng konvex auf dem Intervall (0, ∞) für eine Basis kleiner als 1.
Die Betragsfunktion f(x) = |x| ist auf ganz R konvex, aber nicht streng konvex.
Die negative Betragsfunktion f(x) = -|x| ist auf ganz R konkav, aber nicht streng konkav.
Die Funktion f(x) = x³ ist konkav für x ≤ 0 und konvex für x ≥ 0.
Die Funktion f(x) = 1/x ist streng konvex auf dem Intervall (0, ∞) der positiven reellen Zahlen und streng konkav auf dem Intervall (-∞, 0) der negativen reellen Zahlen.

Konvexität, Beschränktheit und Stetigkeit

Schwächere Definition der Konvexität

Setzt man Stetigkeit voraus, so reicht für Konvexität in einer konvexen Teilmenge C eines reellen topologischen Vektorraums bereits die Bedingung, dass ein beliebiges, aber fixes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda\in\R

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0<\lambda<1\!
existiert, sodass für alle x,y aus C gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\left(\lambda x + (1-\lambda)y\right) \le \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)

Um dies zu sehen, betrachtet man die Menge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T

aller "guten" Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t

, die durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T=\lbrace t \in [0,1]: f(t x+(1-t)y) \le t f(x)+(1-t)f(y) \quad \forall x,y \in C\rbrace

definiert ist.

Seien nun Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u,v\in T\! . Dann gilt auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda u + \left(1-\lambda\right)v \in T , denn

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\Big(\left(\lambda u + \left(1-\lambda\right)v\right)x+\left(1-\lambda u - \left(1-\lambda\right)v\right)y\Big)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =f\Big(\lambda(ux+(1-u)y)+ (1-\lambda)(vx+(1-v)y)\Big)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \leq \lambda f\Big(ux+(1-u)y\Big)+ (1-\lambda)f\Big(vx+(1-v)y\Big)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \leq \lambda \Big( uf(x)+(1-u)f(y)\Big)+ (1-\lambda)\Big(vf(x)+(1-v)f(y)\Big)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =\Big(\lambda u + (1-\lambda)v\Big)f(x)+ \Big(1- \lambda u - (1-\lambda)v\Big) f(y)

Sein nun Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t\!

eine beliebige reelle Zahl mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0<t<1\!

. Dann lässt sich eine Intervallschachtelung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [u_n,v_n]\!

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_n, v_n \in T
konstruieren, die gegen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t\!
konvergiert: Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_0=0, v_0=1\!
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0\leq u_n\leq t < v_n\leq 1
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0<v_n-u_n\leq q^n
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0<q:=\min\left(\lambda, 1-\lambda\right)<1

Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t_n:=\lambda u_n + \left(1-\lambda\right)v_n .

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t_n\leq t , so setzt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_{n+1}:=t_n\! , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_{n+1}:=v_n\!

und es gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_{n+1}-u_{n+1}=\lambda(v_n-u_n)\!

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t_n> t\! , so setzt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_{n+1}:=u_n\! , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_{n+1}:=t_n\!

und es gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_{n+1}-u_{n+1}=(1-\lambda)(v_n-u_n)\!

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_{n+1}, t_{n+1}\!

sind ebenfalls aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T\!

, es gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t\in[u_{n+1}, v_{n+1}]\!

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0<v_{n+1}-u_{n+1}\leq q^{n+1}

Die so konstruierte Intervallschachtelung konvergiert also gegen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t\!

wegen der Stetigkeit von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!

gilt daher Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t\in T\!

. Da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t\!

beliebig gewählt war, folgt also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T=[0,1]\!
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\!
ist konvex.

Gegenbeispiel ohne Stetigkeit

Dass Stetigkeit für die schwächere Definition wirklich benötigt wird, lässt sich mit folgendem Gegenbeispiel zeigen: Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b_j Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \in \R, j\in J

eine Hamelbasis des Vektorraums der reellen Zahlen über dem Körper der rationalen Zahlen, also eine über den rationalen Zahlen linear unabhängige Menge reeller Zahlen, in der jede reelle Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r
eine Darstellung der Art Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r=\sum_{j\in J}q_j b_j
mit nur endlich vielen rationalen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): q_j\neq 0
hat, so erfüllt bei beliebiger Wahl von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(b_j)
die Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(r):=\sum_{j\in J}q_j f(b_j)
zwar Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2},
ist aber nicht notwendigerweise konvex.

Beschränktheit und Konvexität

Setzt man für eine Funktion f zusätzlich zur Bedingung dass für ein fixes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda\in(0,1)\!

die Beziehung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\left(\lambda x + (1-\lambda)y\right) \le \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)

für alle x,y aus einer konvexen Teilmenge C eines normierten Vektorraums gilt, noch voraus, dass f nach oben beschränkt ist, so folgt daraus bereits die Stetigkeit von f in den inneren Punkten von C. Anschaulich wird dies daraus klar, dass man an einer Unstetigkeitsstelle eine beliebig steile Verbindungsgerade zwischen zwei Funktionswerten ziehen kann, wobei die Funktion zwischen den beiden Werten unterhalb der Verbindungsgeraden und außerhalb der beiden Werte oberhalb der Verbindungsgerade liegen muss. Kann die Verbindungsgerade nun beliebig steil werden, so stößt man irgendwann über die obere Schranke der Funktion.

Formal ist der Beweis allerdings etwas komplizierter. Zunächst beachte man, dass aus den obigen Voraussetzungen für natürliche Zahlen n und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=\lambda^n u+\left(1-\lambda^n\right)y

folgt, dass

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)\le \lambda^n f(u)+\left(1-\lambda^n\right)f(y)

bzw.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(u)=f\left(\frac{1}{\lambda^n} x - \left(\frac{1}{\lambda^n}-1\right)y\right)\geq \frac{1}{\lambda^n} f(x) - \left(\frac{1}{\lambda^n}-1\right)f(y)

Sei nun a ein beliebiger innerer Punkt von C und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B_\rho(a)=\lbrace x:\|x-a\|<\rho\rbrace

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \subseteq C

eine zur Gänze in C enthaltene offene Kugel um Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a . Wäre nun f nicht stetig in a, so gäbe es ein Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon>0

sodass für jedes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta>0
ein x existiert, sodass zwar Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \|a-x\|<\delta
aber Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |f(x)-f(a)|>\varepsilon

. Sein nun Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\in\N

so gewählt, dass

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1}{\lambda^n}-1>\frac{M-f(a)}{\varepsilon}

, wobei M eine obere Schranke für f sei. Wählt man nun Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta=\lambda^n \rho\! , so existiert also ein x mit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \|x-a\|<\lambda^n \rho

aber

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |f(x)-f(a)|>\varepsilon

. Angenommen, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)>f(a)+\epsilon . Dann gilt für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y:=\frac{1}{\lambda^n}x-\left(\frac{1}{\lambda^n}-1\right)a

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(y)=f\left(\frac{1}{\lambda^n}x-\left(\frac{1}{\lambda^n}-1\right)a\right)\ge \frac{1}{\lambda^n} f(x) - \left(\frac{1}{\lambda^n}-1\right)f(a)> f(a)+\frac{1}{\lambda^n}\epsilon > M

. Das kann aber nicht sein, da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \|y-a\|=\frac{1}{\lambda^n}\|x-a\|<\rho . Daher liegt y in C und es muss Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(y)<M

gelten.

Sei daher Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)<f(a)-\epsilon . Dann gilt für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z:=\frac{1}{\lambda^n} a-\left(\frac{1}{\lambda^n}-1\right)x

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(z)=f\left(\frac{1}{\lambda^n} a-\left(\frac{1}{\lambda^n}-1\right)x\right)\ge \frac{1}{\lambda^n} f(a) - \left(\frac{1}{\lambda^n}-1\right)f(x)> f(a)+\left(\frac{1}{\lambda^n}-1\right)\epsilon > M

. Das kann aber auch nicht sein, da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \|z-a\|=\left(\frac{1}{\lambda^n}-1\right)\|x-a\|<\rho . Daher liegt auch z in C und es muss ebenfalls Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(z)<M

gelten.

f muss daher stetig in a sein.

Die Aussage, dass eine konvexe beschränkte Funktion stetig in den inneren Punkten ist, ist auch bedeutsam für das Lösen der Cauchyschen Funktionalgleichung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x+y)=f(x)+f(y)\!

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(1)=a\!

. Aus dieser Aussage folgt nämlich, dass diese Funktionalgleichung eine eindeutige Lösung hat, wenn zusätzlich gefordert wird, dass f beschränkt ist.

Unendlichdimensionaler Fall

Im unendlichdimensionalen Fall brauchen konvexe Funktionen nicht stetig zu sein, da es lineare (also somit auch konvexe) Funktionale gibt, die nicht stetig sind. Allerdings gilt, dass beschränkte konvexe Funktionale eines normierten Vektorraums stetig sind.

Endlichdimensionaler Fall

Innere Punkte

Konvexe Funktionen f einer konvexen Teilmenge C des endlichdimensionalen reellen Vektorraums Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R^n

sind stetig in den inneren Punkten. Um das zu sehen, betrachte man einen inneren Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\in C

. Für diesen existiert ein Simplex Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S_n\subseteq C

mit den Eckpunkten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_1,\dots,p_n,p_{n+1}

, der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

wieder als inneren Punkt enthält. Jeder Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in S_n
ist aber in der Form

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=\sum_{j=1}^{n+1}t_jp_j

mit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_j t_j = 1

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0\le t_j\le 1

für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): j
darstellbar. Nach der Jensenschen Ungleichung gilt nun

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=f\left(\sum_{j=1}^{n+1}t_jp_j\right)\le\sum_{j=1}^{n+1}t_j f(p_j)\le\max f(p_j)=:M

. f ist daher nach oben beschränkt und somit, wie oben gezeigt wurde, stetig im inneren Punkt a.

Randpunkte

In Randpunkten können konvexe Funktionen unstetig sein, wie das Beispiel der Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [0,\infty)\to \R

mit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=\begin{cases}1 \qquad \textrm{falls} \quad x=0 \\ 0 \qquad \textrm{sonst}\end{cases}

zeigt, die zwar konvex ist, aber am Randpunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=0

eine Unstetigkeit aufweist.

Quellen

. ^a ^b Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis (Teil 1), 10. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart, 1993, ISBN 3-519-32231-5. (49.2)
↑ z.B. in I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Auflage, BSB B.G. Teubner, Leipzig, 1979. 3.1.5.4 Monotonie und Konvexität von Funktionen
. ^a ^b ^c O. Hölder Ueber einen Mittelwerthssatz. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1889, S 38ff.
↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, 28.07.2006: A. Guerraggio and E. Molho write, "The first modern formalization of the concept of convex function appears in J. L. W. V. Jensen Om konvexe funktioner og uligheder mellem midelvaerdier, Nyt Tidsskr. Math. B 16 (1905), S. 49-69. Since then, at first referring to Jensen's convex functions, then more openly, without needing any explicit reference, the definition of convex function becomes a standard element in calculus handbooks." ("The Origins of Quasi-concavity: a Development between Mathematics and Economics," Historia Mathematica, 31, (2004), 62-75.)
↑ Jensen, J. L. W. V. Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In Acta Math. 30, 175-193, 1906.
↑ z.B. in I. P. Natanson, Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, 4. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Thun, 1981, ISBN 3-87144-217-8.

Weblinks

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