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Klammer (Zeichen)
Aus Fotonexus.
| Satzzeichen |
|---|
| -, –, — |
| . , , , ; , : , … , · |
| ¿, ?, !, ¡, ‽, ؟ |
| „…“, »…« …, ’ |
| /, \ |
| (…), […], {…}, 〈…〉 |
| ␠ |
| Sonstige |
| • … |
| €, $, ¥, £, ¤ |
| @, & |
| |, ¦ |
| °, ′, ″, ‴ |
| *, †, ‡ |
| #, №, ª, º |
| §, ¶ |
| ©, ®, ™, ℠ |
| _ |
| ~, ˜ |
| Rechenzeichen |
| +, −, ×, ∙, :, ∕, ÷, ±, ∓ |
| =, ≈, ≠ …, ~, ∝ …, <, > … |
| √, ∫ |
| %, ‰ |
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Eine Klammer ist ein Zeichen oder Symbol, das zur Beschreibung einer Klammerung verwendet wird.
In der Schriftsprache dient sie als Satzzeichen zur Gliederung der syntaktischen Form. Eine großzügige Verwendung von Klammern gilt im Deutschen als schlechter Stil, Gedankenstriche oder die Auflösung von Schachtelsätzen werden meist bevorzugt. In anderen Sprachen, z. B. im Englischen, werden Klammern häufiger eingesetzt.
In der Mathematik drücken Klammern unter anderem einen Vorrang einer auszuführenden Rechenoperation vor anderen in der Rechenreihenfolge aus. Zum Beispiel ist das Ergebnis von 10 − (6 − 1) gleich 5, da die Rechnung innerhalb der Klammer zuerst ausgeführt wird, 10 − 6 − 1 ist dagegen gleich 3, da in diesem Fall von links nach rechts vorgegangen wird. In der höheren Mathematik dienen Klammern auch noch vielen anderen Zwecken, vor allem der Bezeichnung von Argumenten einer Funktion. Geschweifte, eckige und spitze Klammern haben in der Mathematik meist eine spezielle Bedeutung.
In ähnlicher Weise dienen Klammern auch in vielen Programmiersprachen zum Gruppieren von mehreren Arten von Programmelementen.
Inhaltsverzeichnis |
Klammern in der Grammatik und Typographie
Gebräuchlich sind mehrere Arten von Klammern als Satzzeichen, welche fast ausschließlich paarig (also als öffnende und schließende Klammer) verwendet werden; die englischen Bezeichnungen unterscheiden sich im britischen (BE) und amerikanischen (AE) Englisch:
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- Runde Klammern: (…)
- (griechisch/engl.: parentheses [AE] oder round brackets [BE]): die üblichen Klammern
- Eckige Klammern: […]
- (engl.: brackets [AE] oder square brackets [BE]): Werden u. a. verwendet, wenn innerhalb eines Klammerausdrucks etwas geklammert werden soll oder um Auslassungen und Einfügungen in Zitaten kenntlich zu machen; Beispiele: „[AE]“ und „[BE]“ in diesem Absatz, „[sic]“ und „[...]“
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- Geschweifte Klammern: {…}
- auch Mengenklammern (engl.: braces [AE] oder curly brackets [BE]), seltener Nasenklammern, auch Akkoladen (frz. accolades) genannt: selten verwendet. Haben beispielsweise in Wörterbüchern eine spezielle Bedeutung.
- Spitze Klammern: 〈…〉
- Auch Winkelklammern (engl.: angle brackets) genannt. Werden nur selten verwendet. Haben in Wörterbüchern eine spezielle Bedeutung, etwa wird die (etymologische) Herkunft eines Wortes in spitze Klammern gesetzt, seltener auch Stilangaben in Wörterbüchern. Da diese Zeichen im ASCII-Zeichensatz fehlen, werden stattdessen oft die ASCII-Zeichen „Kleiner als“ < und „Größer als“ > benutzt.
Klammern in der Mathematik
In der Mathematik werden Klammern meist ebenfalls paarig eingesetzt, wobei öffnende und schließende Klammer jeweils zueinander spiegelsymmetrisch sind. Es existieren jedoch Ausnahmen, etwa bei Intervallklammern, und auch einzelne, nicht paarige Klammern werden bisweilen verwendet.
Gruppierungsklammern in Termen
Klammern gruppieren Teilterme und verändern damit die Reihenfolge der Berechnung oder dienen lediglich der optischen Zusammenfassung von Teiltermen. Es werden hierfür üblicherweise runde Klammern verwendet. Bei komplexen Termen oder wenn spezielle Teilterme kenntlich gemacht werden sollen, können diese mit eckigen Klammern eingefasst werden.
Beispiel:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left[ (a+b)^2 - (a+c)^2 \right] ^ 2 - \left[ (a+b)^2 + (n^2-1) \right]^2
statt
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( (a+b)^2 - (a+c)^2 \right) ^ 2 - \left( (a+b)^2 + (n^2-1) \right)^2
Mengenklammern
Bei Mengenangaben werden üblicherweise geschweifte Klammern benutzt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M := \{ 1, 2^2, 3^3, 4^4,\ldots, n^n,\ldots\} \cup \{ x \mid x^2 < 2^x\}
Intervallklammern
Für Intervalle existieren verschiedene Notationen. Die beiden gebräuchlichsten sind im Falle eines offenen Intervalles Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A=\{x\mid a<x<b\}
und eines halboffenen Intervalles Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B=\{x\mid a\leq x<b\}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A = \left] a;b \right[ \quad B = \left[ a;b \right[
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A = (a;b)\quad B = [a;b)
(Statt eines Strichpunktes wird oft ein Komma verwendet.)
UND-Klammern
Wenn mehrere Aussagen vertikal in einer großen geschweiften Klammer gruppiert werden, bedeutet dies, dass diese UND-verknüpft werden. Beispiel:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left\{ {\begin{matrix} x \ge 3 \\ x \le y \end{matrix}} \right\}
ist gleichbedeutend mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x \ge 3) \; \wedge \; (x \le y)
.
Spezielle Operatoren
Andere ebenfalls paarig verwendete Klammern sind spezielle Operatoren oder Funktionen:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left\lfloor x \right\rfloor
bezeichnet die größte ganze Zahl kleiner oder gleich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x („Gaußklammer“)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left\lceil x \right\rceil
bezeichnet die kleinste ganze Zahl größer oder gleich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left| x \right|
bezeichnet den Betrag von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {n \choose k}
kann einen Binomialkoeffizienten bezeichnen (wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k ganzzahlig sind und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n \ge k
) oder eine Matrix, und diese Matrix kann einen Vektor darstellen
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle
ist ein Skalarprodukt oder Cantorsche Paarungsfunktion; davon abgeleitet ist die Bra-Ket-Notation.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [\hat A, \hat B]=\hat A \hat B - \hat B \hat A
ist der Kommutator der zwei Operatoren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat A und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat B im mathematischen Formalismus der Quantenmechanik, wo auch
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [\hat A,\hat B]_+=\hat A \hat B + \hat B \hat A
, der Antikommutator zweier Operatoren, definiert ist. Eine alternative Schreibweise hierfür ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{\hat A,\hat B\} .
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left \{ F,G \right \} = \sum_{i=1}^{n}{\left ( \frac{\partial F}{\partial q_i} \frac{\partial G}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i} \frac{\partial G}{\partial q_i} \right )}
ist die Poissonklammer, ein bilinearer Differentialoperator in der hamiltonschen Mechanik.
Ableitungen
Höhere Ableitungen werden oft statt mit Ableitungsstrichen mit einem Exponenten in runden Klammern gekennzeichnet, da dies die Lesbarkeit erhöht:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f^{(4)}=f''''\,
Diese Notation wird ebenfalls verwendet, wenn die Anzahl der Ableitungen selbst über eine Variable oder einen Term ausgedrückt werden soll:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f^{(n+1)} = f^{(n)}+f^{(n-1)}\,
Klammern in der Informatik (Programmiersprachen)
Klammern haben in verschiedenen Programmiersprachen unterschiedliche Bedeutungen. Bestimmte Bedeutungen sind jedoch relativ weit verbreitet:
- Runde Klammern
- Eckige Klammern
- Geschweifte Klammern
- Spitze Klammern
- (Tatsächlich werden hier jedoch bisher ausschließlich die ASCII-Zeichen < und > verwendet)
- Template-Argumente (C++, Java ab 1.5)
- Tag-Begrenzer (SGML, HTML, XML)
- Metazeichen in formaler Syntax-Darstellung (Backus-Naur-Form)
- Schlüsselwörter als Klammern, andere Klammern aus mehreren Zeichen
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