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Kinetische Energie
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Die kinetische Energie (aus gr. kinetikos = die Bewegung betreffend) oder auch Bewegungsenergie ist die Energie, die in der bewegten Masse eines Körpers enthalten ist. Sie hängt ab von der Masse Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m
und von der Geschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v des bewegten Körpers.
Als Formelzeichen für die kinetische Energie wird in der Physik üblicherweise T verwendet, in den Ingenieurwissenschaften meist Ekin.
Inhaltsverzeichnis |
Kinetische Energie in der klassischen Mechanik
Massepunkt
In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie eines Massenpunktes abhängig von seiner Masse m und seinem Bewegungszustand. Wird der Bewegungszustand durch die Geschwindigkeit v des Massenpunktes beschrieben, so gilt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T = \frac{1}{2} m v^2
.
In den folgenden häufig vorkommenden Koordinatensystemen hat dieser Ausdruck die Form:
- Kartesische Koordinaten (x,y,z):
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T={1 \over 2} m (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)
- Polarkoordinaten (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r, \phi
):
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T=\frac{1}{2}m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 \right)
- Kugelkoordinaten (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r, \phi, \theta
):
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T=\frac{1}{2}m \left(r^2 \left[\dot \theta^2 + \dot \varphi^2 \sin^2\theta \right] + \dot r^2 \right)
- Zylinderkoordinaten (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r, \phi, z
):
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T=\frac{1}{2}m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 + \dot z^2 \right)
Dabei bedeutet der Punkt über der Koordinate ihre zeitliche Änderung, die Ableitung nach der Zeit: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \dot x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x(t)
Im Hamiltonformalismus wird der Bewegungszustand eines Massepunktes nicht durch seine Geschwindigkeit, sondern durch seinen Impuls p ausgedrückt. In diesem Fall gilt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T = \frac{p^2}{2m}
.
Starre Körper
Die kinetische Energie eines starren Körpers mit der Gesamtmasse M und der Geschwindigkeit vs seines Schwerpunktes kann separiert werden als die Summe seiner Translationsenergie und Rotationsenergie:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T={1 \over 2} M {v_s}^2 + {1 \over 2} J \omega^2
. Hier ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): J_s
das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und ω seine Winkelgeschwindigkeit.
Mit dem Trägheitstensor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I
wird dies allgemein geschrieben als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T = {1 \over 2} M {v_s}^2 + {1 \over 2} \boldsymbol{\omega} I \boldsymbol\omega
.
Hydrodynamik
In der Hydrodynamik wird oft statt der kinetischen Energie die kinetische Energiedichte angegeben. Diese wird meist durch ein kleines Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e
oder ε ausgedrückt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e_{kin}={1 \over 2} \rho v^2
,
wobei ρ die Dichte bezeichnet.
Kinetische Energie in der relativistischen Mechanik
Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie stellt sich heraus, dass die oben angegebene klassische Beziehung für die kinetische Energie nur für Geschwindigkeiten gilt, die sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind. Die allgemeine Formel ergibt sich zu
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T=(\gamma - 1) m_0 c^2
, wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_0
die Ruhemasse des Körpers, c die Lichtgeschwindigkeit und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma der Lorentzfaktor ist. Dieser ist definiert als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma=\frac{1}{\sqrt{1- \left(\frac{v}{c}\right)^2}}
.
Im Grenzfall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v\ll c
erhält man aus der Taylor-Entwicklung der Wurzel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma \approx 1+\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^2
, sodass sich wieder der klassische Ausdruck ergibt. Da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lim_{v \to c}T=\infty , ist es nicht möglich, einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit oder gar höher zu beschleunigen.
Das rechts abgebildete Diagramm zeigt die Graphen der relativistischen (1) sowie der klassischen (2) Beziehung für einen Körper mit der Masse von 1 kg.
Da die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers offenbar vom Bezugssystem abhängt, ist nun dessen kinetische Energie ebenfalls vom Bezugssystem abhängig, und zwar sowohl in der klassischen als auch in der relativistischen Theorie. In letzterer Theorie bildet die Summe aus Ruheenergie und kinetischer Energie die Nullkomponente eines Vierervektors.
Kinetische Energie in der Quantenmechanik
In der Quantenmechanik ist der Erwartungswert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle\hat{T}\rangle
der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse m, welches durch die Wellenfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vert\psi\rangle beschrieben wird, gegeben durch
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle\hat{T}\rangle = \frac{1}{2m}\langle\psi |\hat P^2 | \psi \rangle
,
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat P^2
der Impuls-Operator des Teilchens ist.
Im Formalismus der Dichtefunktionaltheorie ist nur vorausgesetzt, dass die Elektronendichte bekannt ist, das heißt, dass die Wellenfunktion formal nicht bekannt sein muss. Mit der Elektronendichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho(\mathbf{r})
ist das exakte Funktional der kinetischen Energie für N Elektronen unbekannt; falls jedoch im Fall N=1 ein einzelnes Elektron betrachtet wird, so kann die kinetische Energie als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T[\rho] = \int \frac{1}{8}\frac{\nabla \rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla \rho(\mathbf{r}) }{ \rho(\mathbf{r}) } \mathrm{d}^3r
geschrieben werden, wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T[\rho]
das Weizsäcker-Funktional der kinetischen Energie ist.
Siehe auch
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