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Johnson-Rauschen
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Johnson-Rauschen, auch: thermisches Rauschen, Johnson-Nyquist-Rauschen, Nyquist-Rauschen oder Widerstandsrauschen genannt, ist ein weißes Rauschen, das sich aus der thermischen Bewegung der Ladungsträger in elektrischen Schaltkreisen erklärt. Es wurde von John Bertrand Johnson experimentell verifiziert.
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Erscheinungsform
Johnson-Rauschen tritt z. B. als Widerstandsrauschen an ohmschen Widerständen und in Halbleitern auf. Durch die thermische Bewegung der Elektronen entsteht physikalisch ein Rauschstrom.
Die theoretische Herleitung geht von der spektralen Leistungsdichte des Rauschens aus. Mit Hilfe des ohmschen Gesetzes kann der Rauschstrom auch in eine Rauschspannung umgerechnet werden.
Physikalische Gründe
Die Elektronen in elektrisch leitenden Materialien bewegen sich, sobald die Temperatur höher ist, als der absolute Nullpunkt. Diese Bewegung ist völlig zufällig und ungerichtet. Dies führt dazu, dass an zwei Anschlüssen eines solchen Materials im Mittel kein Strom fließt, jedoch zu jedem Zeitpunkt unkontrolliert Elektronen an beiden Enden austreten. Durch die völlig zufälligen Zeitpunkte und Anzahl der Elektronen entsteht ein Strom mit einer Frequenzverteilung.
Rauschgrößen
Analog zur brownschen Molekularbewegung beobachtet man mit einem empfindlichen Voltmeter (z. B. einem Galvanometer) an einem ohmschen Widerstand ein Zittern der angezeigten Spannung. Da der Mittelwert dieser angezeigten Spannungen exakt null ergibt, wird als Rauschgröße der Effektivwert der Spannung herangezogen. Wird der Effektivwert weiter analysiert, findet man eine Abhängigkeit von der Temperatur T und der Größe des elektrischen Widerstandes. Der Einfluss der Bandbreite ist mit einem einfachen Aufbau nicht sichtbar.
Dies ergibt folgenden Zusammenhang:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline{u^2} = 4k_B \cdot T \cdot R \cdot \Delta f \,
mit der effektiven Leerlaufrauschspannung:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U_{eff} = \sqrt{\overline{u^2}} \,
in der üblichen Schreibweise:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U_{R,eff} = \sqrt{4 \cdot k_B \cdot T \cdot R \cdot \Delta f} \,
Wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_B
die Boltzmann-Konstante, T die absolute Temperatur des Leiters, R der ohmsche Widerstand und Δf der betrachtete Frequenzbereich ist. Das Gesamtrauschen ergibt sich, indem über die gesamte Bandbreite integriert wird.
Analog dazu lässt sich das zeitlich gemittelte Rauschstromquadrat Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline{i^2}
im Kurzschlussfall bestimmen zu:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline{i^2} = \frac{4k_B \cdot T \cdot \Delta f}{R} \,
mit dem effektiven Kurzschlussrauschstrom:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I_{R,eff} = \sqrt{\overline{i^2}} = \sqrt{\frac{4k_B \cdot T \cdot \Delta f}{R}} \,
Ersatzschaltung
Man kann sich zur Darstellung der Rauschspannung einen idealen Widerstand und eine dazu in Reihe geschaltete Spannungsquelle, die das Rauschen erzeugt vorstellen.
Zur Darstellung des Rauschstromes wird eine Stromquelle parallel zu einem idealen Widerstand geschaltet.
Quantenmechanische Erweiterung
Obige Formel ist eine hinreichend gute Annäherung für Frequenzen unterhalb einer Grenzfrequenz f. Für elektrische Widerstände gilt ungefähr f = 1014 Hz.
Da Rauschen eine Abstrahlung von Leistung darstellt, muss die Leistung berücksichtigt werden, die ein Widerstand über den kompletten Frequenzbereich abgibt. Eine Integration obiger Gleichungen über den kompletten Frequenzbereich würde zu einer Ultraviolett-Katastrophe führen, weshalb für hohe Frequenzen eine quantenmechanische Erweiterung notwendig ist.
Für höhere Frequenzen bzw. niedrigere Temperaturen muss die quantenmechanische Form
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline {u^2} = 4k_B T R\frac{h f/k_B T}{\exp{(h f/k_B T)}-1} \Delta f \,
verwendet werden. Bei diesen Frequenzen ist das thermische Rauschen nicht mehr spektral weiß sondern nimmt mit steigender Frequenz ab.
Siehe auch
Literatur
- Bittel, Heinz: Rauschen eine Einführung zum Verständnis elektrischer Schwankungserscheinungen, Springer Verlag 1971, ASIN B0000EG9E0
- Johnson, J.B.: Thermal Agitation of Electricity in Conductors. In: Physical Review 32(1928) 97-109;
- Müller, R.: Rauschen. Springer Verlag 1990, ISBN 3-540-51145-8
- Nyquist, H.: Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors. In: Physical Review 32(1928) 110-113;
Weblinks
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