Das Fotonexus-Wiki befindet sich im Testbetrieb.
Irrationale Zahl
Aus Fotonexus.
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Der Begriff Ratio ist dabei in der Bedeutung Verhältnis gebraucht, nicht in der Bedeutung Vernunft. Eine irrationale Zahl ist also nicht „unvernünftig“, wie der Alltagsgebrauch des Wortes irrational nahelegen würde, sondern sie ist „kein Verhältnis“ (von ganzen Zahlen).
Inhaltsverzeichnis |
Definition
Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann (d.h. nicht als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{p}{q}
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p, q \in\mathbb{Z}
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): q\neq0
).
Im Gegensatz zu rationalen Zahlen, die als endliche oder periodische Dezimalzahlen dargestellt werden können, sind irrationale Zahlen solche, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch ist.
Es gibt zwei Typen von Irrationalzahlen:
- Algebraische Zahlen (etwa Wurzeln, z.B. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt{2}
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1+\sqrt[3]{5} ) und
- Transzendente Zahlen (die Kreiszahl π = 3,14159..., die Eulersche Zahl e = 2,71828...).
Den Begriff der irrationalen Zahl führten die alten Griechen ein. Hippasus aus Metapontum, ein Schüler des Pythagoras, soll auf Befehl von Pythagoras ertränkt worden sein, nachdem Hippasus die Existenz irrationaler Zahlen (die Wurzel 2) festgestellt hatte. Definitionen, die den heutigen Ansprüchen an Exaktheit genügen, gaben zuerst Georg Cantor und Richard Dedekind an.
Zahlen, deren Irrationalität geklärt ist
- Schon der Pythagoreer Archytas bewies die Irrationalität von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt{(m+1):m}
für natürliche Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m
. Der Beweis für den Fall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt{2}
ist in Euklids Elementen überliefert (Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2). Den Satz des Archytas verallgemeinerte Euklid selbst in seiner Musiktheorie, in der er die Irrationalität beliebiger Wurzeln Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[n]{(m+1):m} bewies.
- 1761 bewies Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi
- Im Jahr 1979 bewies Apery die Irrationalität von
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \zeta(3)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}.
- Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{\pi}
ist transzendent.
Zahlen, deren Irrationalität ungeklärt ist
Ob die Zahlen π + e und π - e irrational sind, ist noch unbekannt. Man kann aber leicht sehen, dass mindestens eine dieser beiden irrational sein muss; wenn nämlich beide rational wären, dann wäre auch ihre Summe 2π rational.
Es ist sogar für kein einziges Paar ganzer, von Null verschiedener Zahlen m und n bekannt, ob mπ + ne irrational ist. Bekannt ist jedoch, dass im Falle der Existenz rationaler Linearkombinationen der Wert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{m}{n}
einen konstanten Wert annimmt.
Weiterhin ist unbekannt, ob 2e, πe, π√2, ππ, ee oder die Eulersche Konstante γ = 0,57721... irrational sind.
Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen
Die irrationalen Zahlen sind im Gegensatz zu den rationalen Zahlen überabzählbar. Grob gesagt heißt dies: Wenn man jeder natürlichen Zahl eine irrationale Zahl zuordnet, gibt es noch immer unendlich viele irrationale Zahlen, die keiner natürlichen Zahl zugeordnet sind. Dies ist bei den rationalen Zahlen nicht der Fall, siehe Cantors erstes Diagonalargument. Zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument.
Streng genommen wird dort die Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}
bewiesen. Da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}
sich nun disjunkt in die rationalen und die irrationalen Zahlen zerlegen lässt, die rationalen Zahlen aber „nur“ abzählbar unendlich sind, müssen die irrationalen Zahlen überabzählbar sein.
Es lässt sich allerdings zeigen, dass auch die algebraischen Zahlen, wozu alle Wurzelausdrücke gehören, noch abzählbar sind. Darüber hinaus gilt auch, dass die algebraische Hülle jeder abzählbaren Teilmenge der reellen oder komplexen Zahlen (solche Mengen können insbesondere auch aus transzendenten Zahlen bestehen) ebenfalls abzählbar ist, also sicher nicht alle reellen Zahlen enthält.
Siehe auch
| Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Irrationale_Zahl, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. |
