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Reguläre Matrix

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Die invertierbare, reguläre oder nichtsinguläre Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit eine quadratische Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A , zu der eine weitere Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^{-1} 

existiert, sodass
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A \cdot A^{-1} = E

gilt. Dabei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E 

die Einheitsmatrix und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^{-1}
wird als inverse Matrix zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A
bezeichnet.

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ein lineares Gleichungssystem mit dieser Koeffizientenmatrix eine eindeutige Lösung besitzt.

Nicht zu jeder quadratischen Matrix existiert eine Inverse. Die Menge aller invertierbaren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\times n -Matrizen über einem Grundkörper (oder Grundring) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K 

bildet eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation, die allgemeine lineare Gruppe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{GL}_n(K)

.

Die Pseudoinverse stellt eine Verallgemeinerung der inversen Matrix auf singuläre und nichtquadratische Matrizen dar.

Inhaltsverzeichnis

Berechnung der inversen Matrix

Zur Berechnung der Inversen stehen zwei Möglichkeiten zur Verfügung: der Gauß-Jordan-Algorithmus und die Adjunkte. Insbesondere mittels der Adjunkte lassen sich prinzipiell Formeln für Matrizen mit festgelegtem Rang herleiten. Diese sind jedoch zu umfangreich, um effizient eingesetzt werden zu können, so dass nur für 2x2- und 3x3-Matrizen gelegentlich die unten aufgeführten Formeln verwendet werden.

Um die numerische Qualität von Algorithmen zur Invertierung von Matrizen zu testen, verwendet man die Hilbert-Matrix, da diese vergleichsweise schlecht konditioniert ist.

Gauß-Jordan-Algorithmus

Die Inverse einer Matrix kann aus der Formel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A \cdot A^{-1} = E 

berechnet werden. Dazu bildet man die Blockmatrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (A | E)

, und wendet auf diese den Gauß-Jordan-Algorithmus an. Nach Durchführung des Algorithmus hat man eine Blockmatrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (E | A^{-1}) , aus der man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^{-1} 

direkt ablesen kann.

Beispiel:

Gesucht ist die Inverse zur Matrix

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 2 & 3 & 0\\ 3 & 4 & 1\end{pmatrix}


Die Blockmatrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (A | E) 

lautet
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)


Die Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus führt zur Matrix

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right)


Daraus lässt sich die inverse Matrix direkt ablesen:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}


Adjunkte

Mittels der Adjunkte und der Determinante einer Matrix berechnet sich deren Inverse nach folgender Formel:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^{-1} = \frac{\operatorname{adj} (A)}{\det(A)}

Daraus leiten sich für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2 \times 2 - und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 3 \times 3 -Matrizen die folgenden Formeln ab.

Formel für 2x2-Matrizen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix}


Formel für 3x3-Matrizen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} ei - fh & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\ dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{pmatrix}


Herleitung der Formel

Die Idee die Inverse einer Matrix mittels der Adjunkten zu berechnen leitet sich direkt aus der Cramer’schen Regel ab. Nach dieser lässt sich das Gleichungssystem

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Ax_i = e_i

mit dem Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): i -ten Einheitsvektor auf der rechten Seite durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i = \begin{pmatrix}\frac{\det(A_{1j})}{\det(A)} \\ \frac{\det(A_{2j})}{\det(A)} \\ \vdots \\ \frac{\det(A_{nj})}{\det(A)}\end{pmatrix} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}\det(A_{1j}) \\ \det(A_{2j}) \\ \vdots \\ \det(A_{nj})\end{pmatrix} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}\tilde a_{1j} \\ \tilde a_{2j} \\ \vdots \\ \tilde a_{nj}\end{pmatrix}

lösen. Dabei entsteht die Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A_{kj} 

aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
indem man die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k

-te Spalte durch den Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): j -ten Einheitsvektor ersetzt. Deren Determinante ist auf Grund der einfachen Gestalt des Einheitsvektors mit dem Cofaktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tilde a_{kj} 

identisch. Es zeigt sich, dass die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i
den Spalten der zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A
inversen Matrix entsprechen. Dazu multipliziert man beide Seiten des eingangs gezeigten Gleichungssystem von links mit dem transponierten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): i

-ten Einheitsvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e_i^T 

und bildet die Summe über alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): i

.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} Ax_ie_i^T & = & e_ie_i^T\\ Ax_1e_1^T + Ax_2e_2^T + \ldots + Ax_ne_n^T & = & e_1e_1^T + e_2e_2^T + \ldots + e_ne_n^T\\ A \cdot (x_1e_1^T + x_2e_2^T + \ldots + x_ne_n^T) & = & E\\ A \cdot \frac{\operatorname{adj} (A)}{\det(A)} & = & E \end{matrix}


Besondere Klassen von Matrizen

Es gibt einige Klassen von Matrizen, die auf Grund ihrer Struktur besonders einfach zu invertieren sind. Dazu zählen die Diagonalmatrizen und die Dreiecksmatrizen.

Definition

Invertierbare Matrizen über einem Körper

Es sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K 

ein Körper, also z.B. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb R
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb C

, und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A 

sei eine Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\times n

-Matrix mit Einträgen aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K .

Dann ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A 

genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
  • Es gibt eine inverse Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^{-1}

, d.h. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): AA^{-1}=A^{-1}A=I_n 

mit der Einheitsmatrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I_n

.

  • Die Determinante von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A 
ist nicht null.
  • 0 ist kein Eigenwert von A.
  • Für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b\in K^n 
existiert genau eine Lösung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in K^n
des linearen Gleichungssystems Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Ax=b

.

  • Für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b\in K^n 
existiert mindestens eine Lösung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in K^n
des linearen Gleichungssystems Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Ax=b

.

  • Für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b\in K^n 
existiert höchstens eine Lösung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in K^n
des linearen Gleichungssystems Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Ax=b

.

  • Die Zeilenvektoren bilden eine Basis von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K^n

.

  • Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig.
  • Die Zeilenvektoren erzeugen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K^n

.

  • Die Spaltenvektoren bilden eine Basis von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K^n

.

  • Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig.
  • Die Spaltenvektoren erzeugen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K^n

.

  • Die durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A 
beschriebene lineare Abbildung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K^n\to K^n

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\mapsto Ax 

ist bijektiv.
  • Die durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A 
beschriebene lineare Abbildung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K^n\to K^n

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\mapsto Ax 

ist injektiv.
  • Die durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A 
beschriebene lineare Abbildung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K^n\to K^n

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\mapsto Ax 

ist surjektiv.
  • Die transponierte Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^T 
ist invertierbar.

Invertierbare Matrizen über einem Ring

Es sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R 

ein kommutativer Ring mit Einselement, und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A
sei eine Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\times n

-Matrix mit Einträgen aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R . In dieser allgemeineren Situation sind nicht mehr alle der obigen Kriterien für die Invertierbarkeit gültig:

Die Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A 

ist genau dann invertierbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
  • Es gibt eine inverse Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^{-1}

, d.h. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): AA^{-1}=A^{-1}A=I_n 

mit der Einheitsmatrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I_n

.

  • Die Determinante von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A 
ist eine Einheit in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R

.

  • Für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b\in R^n 
existiert genau eine Lösung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in R^n
des linearen Gleichungssystems Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Ax=b

.

  • Die Zeilenvektoren bilden eine Basis von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R^n

.

  • Die Spaltenvektoren bilden eine Basis von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R^n

.

  • Die durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A 
beschriebene Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R

-lineare Abbildung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R^n\to R^n , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\mapsto Ax , ist bijektiv.

  • Die transponierte Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^T 
ist invertierbar.

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R 

noethersch, so sind diese Bedingungen auch äquivalent zu:
  • Für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b\in R^n 
existiert mindestens eine Lösung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in R^n
des linearen Gleichungssystems Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Ax=b

.

  • Die Zeilenvektoren erzeugen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R^n

.

  • Die Spaltenvektoren erzeugen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R^n

.

  • Die durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A 
beschriebene Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R

-lineare Abbildung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R^n\to R^n , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\mapsto Ax , ist surjektiv.

Eigenschaften

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda 

ein Eigenwert der regulären Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A
zu Eigenvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec x

, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1}{\lambda} 

Eigenwert der inversen Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A^{-1}
ebenfalls zum Eigenvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec x

.

Rechenregeln

Das Produkt zweier invertierbarer Matrizen ist wieder invertierbar. Es gilt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (A \cdot B)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}

.

Die Inverse der transponierten Matrix entspricht der Transponierten der inversen Matrix:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left(A^T\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^T


Die Inverse einer Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A 

ist ebenfalls invertierbar. Die Inverse der Inversen ist gerade wieder die Matrix selbst:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left(A^{-1}\right)^{-1} = A


Die Inverse einer Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A 

multipliziert mit einem Skalar Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k\ne0
ist
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left(kA\right)^{-1} = k^{-1}A^{-1}

.

Weblinks

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