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Integralrechnung
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Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Das Integral ordnet einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich einen Zahlwert zu. Dieser Vorgang heißt Integration.
Das Integral wird im zweidimensionalen Koordinatensystem als die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x -Achse gedeutet, bei Funktionen mehrerer Veränderlicher entspricht es einem Volumen.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt, besagt, dass Integrale aus Stammfunktionen berechnet werden können. Das Bestimmen von Stammfunktionen ist die inverse Aufgabe (das heißt Gegenteil) zur Differentiation.
Im Gegensatz zur Differentiation existiert allerdings für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, Benutzung spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, Partielle Integration) oder/und Nachschlagen in einer Tabelle. Oft erfolgt die Integration auch nur näherungsweise als so genannte numerische Quadratur. In der Technik benutzt man zur Integration bzw. Flächenbestimmung so genannte Planimeter, bei welchen die Summierung der Flächenelemente kontinuierlich erfolgt. Der Zahlenwert der so bestimmten Fläche kann an einem Zählwerk abgelesen werden, welches zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit mit einem Nonius versehen ist.
Geschichte
Flächenberechnungen werden seit der Antike untersucht. Im 5. Jahrhundert v. Christus entwickelte Eudoxos von Knidos nach einer Idee von Antiphon die Exhaustionsmethode, die darin bestand, einen Körper durch regelmäßige Polygone auszufüllen. Er konnte so Flächen als auch Volumen einiger einfacher Körper bestimmen. Archimedes (287–212 v.Chr.) verbesserte diesen Ansatz und so gelang ihm die exakte Integration einer Parabel, alles ohne Benutzung eines Grenzwertbegriffs. Er näherte Pi auf einen Wert zwischen 3 10/70 und 3 10/71 an.
Diese Methode wurde auch im Mittelalter benutzt. Im 17. Jahrhundert stellte Bonaventura Francesco Cavalieri das Prinzip von Cavalieri auf, wonach zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle ebenen Schnitte miteinander übereinstimmen.
Johannes Kepler versuchte ab 1612 den Rauminhalt von Weinfässern zu berechnen. 1615 veröffentlichte er die Stereometria Doliorum Vinariorum („Stereometrie der Weinfässer“), später auch als keplersche Fassregel bekannt.
Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zur Differentialrechnung zu entwickeln und so den Fundamentalsatz der Analysis zu entdecken (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, der bei Johann Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Der Begriff Integral geht auf Johann Bernoulli zurück.
Im 19. Jahrhundert wurde die gesamte Analysis auf ein solideres Fundament gestellt. 1823 entwickelte Augustin Louis Cauchy erstmals einen Integralbegriff, der den heutigen Ansprüchen an Stringenz genügt. Später entstanden die Begriffe des Riemann-Integrals und des Lebesgue-Integrals. Schließlich folgte die Entwicklung der Maßtheorie Anfang des 20. Jahrhunderts.
Integral für kompakte Intervalle
„Kompakt“ bedeutet hier, dass nur Funktionen auf Intervallen der Form Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a,b]
betrachtet werden. Offene oder unbeschränkte Intervalle sind nicht zugelassen.
Motivation
Reduktion komplizierterer Flächeninhalte auf Integrale
Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereiche der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei (stetige) Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f,g
auf einem endlichen Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a,b]
, deren Graphen die Fläche begrenzen (linkes Bild).
Der Flächeninhalt der schraffierten Fläche im linken Bild ist gleich der Differenz der schraffierten Bereiche in den beiden rechten Bildern. Es genügt also, sich auf den einfacheren Fall einer Fläche zu beschränken, die von
- dem Graphen einer Funktion
- zwei vertikalen Geraden Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=a
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=b
- sowie der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
-Achse begrenzt wird.
Aufgrund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b f(x)\,\mathrm dx,
gelesen als Integral von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
bis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b über (oder: von) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)\,\mathrm dx
.
Integrale negativer Funktionen
Verschiebt man den Graphen einer Funktion in Richtung der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y -Achse um ein Stück Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c , so kommt zu der betrachteten Fläche ein Rechteck hinzu:
Das Integral ändert sich um den Flächeninhalt dieses Rechtecks der Breite Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b-a
und der Höhe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
, in Formeln
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b(f(x)+c)\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+(b-a)\cdot c.
Betrachtet man eine Funktion, deren Werte negativ sind, so kann man stets ein Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
finden, so dass die Werte von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)+c alle positiv sind:
Mit der vorhergehenden Überlegung erhält man
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^bf(x)\,\mathrm dx=\int_a^b(f(x)+c)\,\mathrm dx-(b-a)\cdot c,
das heißt, das Integral von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
ist die Differenz der Flächeninhalte des weißen Bereichs in der Mitte und dem umgebenden Rechteck. Diese Differenz ist aber negativ, das heißt, soll die obige Formel für beliebige Funktionen korrekt sein, so muss man Flächen unterhalb der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
-Achse negativ zählen. Man spricht deshalb von einem „orientierten“ Flächeninhalt.
Wenn eine Nullstelle im zu untersuchenden Intervall vorliegt, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern stellt nur noch eine Rechenregel dar. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x -Achse und Graph der Funktion, so muss das Integral aufgeteilt werden.
Das Prinzip von Cavalieri und die Additivität des Integrals
Hauptartikel: Prinzip von Cavalieri
Axiomatischer Zugang
Es ist nicht einfach, den Begriff des Flächeninhaltes mathematisch präzise zu fassen. Im Lauf der Zeit wurden dafür verschiedene Konzepte entwickelt. Für die meisten Anwendungen sind deren Details jedoch unerheblich, da sie unter anderem auf der Klasse der stetigen Funktionen übereinstimmen. Im Folgenden werden einige Eigenschaften des Integrals aufgelistet, die oben motiviert wurden und unabhängig von der genauen Konstruktion für jedes Integral gelten. Außerdem legen sie das Integral stetiger Funktionen eindeutig fest.
Es seien Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a<b
reelle Zahlen, und es sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal F ein Vektorraum von Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a,b]\to\mathbb R
, der die stetigen Funktionen umfasst. Funktionen in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal F
werden „integrierbar“ genannt. Dann ist ein Integral eine Abbildung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal F\to\mathbb R,
geschrieben
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\mapsto\int_a^b f(x)\,\mathrm dx,
mit den folgenden Eigenschaften:
- Linearität: Für Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f,g\in\mathcal F
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda\in\mathbb R gilt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b(f(x)+g(x))\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx+\int_a^b g(x)\,\mathrm dx
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b(\lambda f(x))\,\mathrm dx = \lambda\cdot\int_a^b f(x)\,\mathrm dx
- Monotonie: Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)\geq0
für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\in[a,b]
, so ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b f(x)\,\mathrm dx\geq0.
- Integral der charakteristischen Funktion eines Intervalles: Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I\subseteq[a,b]
ein Intervall, und ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \chi_I(x)=\begin{cases}1&\mathrm{falls}\ x\in I\\0&\mathrm{falls}\ x\notin I,\end{cases}
- so ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b \chi_I(x)\,\mathrm dx
- gleich der Länge des Intervalles Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I
.
Bezeichnungen
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b heißen Integrationsgrenzen. Sie können oberhalb und unterhalb des Integralzeichens oder seitlich vom Integralzeichen geschrieben werden:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\textstyle\int\limits_a^b} f(x)\,dx
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int\nolimits_a^b f(x)\,dx
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)
heißt Integrand.
- Die symbolische Variable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
heißt Integrationsvariable. Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x die Integrationsvariable, so spricht man auch von Integration über Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
. Die Integrationsvariable ist austauschbar, statt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b f(x)\,\mathrm dx
- kann man genauso gut
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b f(t)\,\mathrm dt
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b f(\xi)\,\mathrm d\xi
- schreiben. Um Missverständnisse zu vermeiden, sollte darauf geachtet werden, dass das für die Integrationsvariable verwendete Zeichen nicht schon mit einer anderen Bedeutung belegt ist. In dem obigen Beispiel wäre es schlecht, die Buchstaben Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b zu verwenden, da sie bereits als Bezeichner für die Integrationsgrenzen fungieren.
- Der Bestandteil „Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm dx
“ wird Differential genannt, hat aber in diesem Kontext meist nur symbolische Bedeutung. Am Differential liest man die Integrationsvariable ab.
Herkunft der Notation
Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Mitentdecker der Differential- und Integralrechnung, Gottfried Wilhelm Leibniz, zurück. Das Integralzeichen ∫ ist aus dem langen Buchstaben ſ (S) für lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)\;\mathrm{d}x
deutet an, wie sich das Integral aus Streifen der Höhe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) und der infinitesimalen Breite Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}x zusammensetzt.
Alternative Schreibweise in der Physik
In der theoretischen Physik hat sich eine leicht andere Schreibweise für Integrale durchgesetzt. Dort wird statt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b f(x)\,\mathrm dx
meistens Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b \mathrm dx f(x) geschrieben. Dies hat zwar den Nachteil, dass die zu integrierende Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) nicht mehr durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm dx eingeklammert wird, jedoch auch einige Vorteile:
- Der Ausdruck Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b \mathrm dx
hebt hervor, dass das Integral ein linearer Operator ist, der auf alles rechts von ihm wirkt.
- Oft tauchen in der Physik Integrale auf, bei denen die zu integrierende Funktion mehrere Zeilen lang ist oder es wird über mehrere Unbekannte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1,x_2,\ldots,x_n
integriert. Dann weiß man bei der Schreibweise Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b \mathrm dx f(x) schon zu Beginn des Integrals, welche Variablen überhaupt und über welche Grenzen integriert werden. Ferner ist dann die Zuweisung von Variablen zu Grenzen einfacher.
Beispiel:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_{a_1}^{a_2}\mathrm dt \int_{b_1}^{b_2}\mathrm dx_1\int_{c_1}^{c_2}\mathrm dx_2\int_{d_1}^{d_2} \mathrm dx_3 \,f(x_1,x_2,x_3,t)
statt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_{a_1}^{a_2}\int_{b_1}^{b_2}\int_{c_1}^{c_2}\int_{d_1}^{d_2} f(x_1,x_2,x_3,t)\,\mathrm dx_3\mathrm dx_2\mathrm dx_1\mathrm dt
Einfache Folgerungen aus den Axiomen
- Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)\leq g(x)
für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\leq x\leq b
, so ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^bf(x)\,\mathrm dx\leq\int_a^bg(x)\,\mathrm dx.
- Bezeichnet man mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \|f\|_\infty
das Supremum von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a,b]
, so gilt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left|\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\right|\leq (b-a)\cdot\|f\|_\infty.
- Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |f(x)-g(x)|<\varepsilon
für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\leq x\leq b mit einer festen Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon>0
, so gilt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left|\int_a^b f(x)\,\mathrm dx-\int_a^b g(x)\,\mathrm dx \right|\leq(b-a)\cdot\varepsilon.
- Daraus folgt: Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_n
eine Folge von integrierbaren Funktionen, die gleichmäßig gegen eine (integrierbare) Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f konvergiert, so ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,\mathrm dx=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.
- Mit anderen Worten: Das Integral ist ein stetiges Funktional für die Supremumsnorm.
- Integrale von Treppenfunktionen: Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
eine Treppenfunktion, das heißt, ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a,b] eine disjunkte Vereinigung von Intervallen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I_k der Längen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L_k
, so dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I_k konstant mit Wert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_k ist, so gilt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^bf(x)\,\mathrm dx=\sum_{k=1}^n L_k\cdot c_k,
- also anschaulich gleich der Summe der Flächeninhalte der Rechtecke unter dem Funktionsgraphen von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
.
Stammfunktionen und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
In gewisser Hinsicht ist Integration die Umkehrung der Differentiation.
Um dies zu präzisieren wird der Begriff der Stammfunktion benötigt: Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
eine Funktion, so heißt eine Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F eine Stammfunktion von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
, wenn die Ableitung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F
gleich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f ist:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F' = f.\,
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt die Beziehung zwischen Stammfunktionen und Integralen her. Er besagt: Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
eine stetige Funktion auf einem Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a,b]
, und ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F
eine Stammfunktion von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
, so gilt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^bf(x)\,\mathrm dx=F(b) - F(a).
Die rechte Seite wird oft abkürzend als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [F(x)]_a^b
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [F(x)]_{x=a}^{x=b}
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F(x)\Big|_a^b
o.ä.
geschrieben.
Dieser Zusammenhang ist die hauptsächliche Methode zur expliziten Auswertung von Integralen. Die Schwierigkeit liegt meist im Auffinden einer Stammfunktion.
Die bloße Existenz ist theoretisch gesichert: Die Integralfunktion
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt
ist eine Stammfunktion von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f .
Eigenschaften von Stammfunktionen
- Man kann zu einer Stammfunktion eine Konstante addieren und erhält wieder eine Stammfunktion: Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F
eine Stammfunktion zu einer Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
, und ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c\in\mathbb R
eine Konstante, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (F+c)'=F '+0=F '=f.
- Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich um eine Konstante: Sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G Stammfunktionen derselben Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (F-G)'=F '-G '=f-f=0 , also ist die Differenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F-G
eine Konstante.
Unbestimmtes Integral
Eine Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)
bezeichnet – manchmal ist damit aber auch die Menge aller Stammfunktionen gemeint. Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F(x) eine Stammfunktion, so schreibt man häufig unpräzise
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C,
um anzudeuten, dass jede Stammfunktion von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
die Form Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F(x)+C mit einer Konstante Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): C hat.
Man beachte, dass die Schreibweise
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int f(x)\,\mathrm dx
jedoch auch häufig in Formeln benutzt wird, um anzudeuten, dass Gleichungen für beliebige, konsistent gewählte Grenzen gelten; beispielsweise ist mit
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int cf(x)\,\mathrm dx=c\int f(x)\,\mathrm dx
gemeint, dass
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b cf(x)\,\mathrm dx=c\int_a^b f(x)\,\mathrm dx
für beliebige Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a,b
gilt.
Bestimmung von Stammfunktionen
siehe dazu den Artikel: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen, oder unbestimmte Integrale in der Formelsammlung Mathematik
Im Gegensatz zur Ableitungsfunktion ist die explizite Berechnung einer Stammfunktion bei vielen Funktionen sehr schwierig oder nicht möglich.
Oft schlägt man Integrale deshalb in Tabellenwerken nach. Zur händischen Berechnung einer Stammfunktion ist häufig die geschickte Anwendung der folgenden Standardtechniken hilfreich.
Partielle Integration
Hauptartikel: Partielle Integration
Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung. Sie lautet:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x = [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x
Diese Regel ist dann von Vorteil, wenn durch Ableiten von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)
eine einfachere Funktion entsteht.
Beispiel:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b x \cdot \ln \left(x \right) \,\mathrm{d}x
Setzt man
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) = \ln \left(x\right) \,
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g'(x)=x \,
, so ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f '(x) = {1 \over x} \,
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g(x)={x^2 \over 2} \,
und man erhält
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b x \cdot \ln \left( x\right) \,\mathrm{d}x Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = {b^2 \over 2} \cdot \ln \left( b \right) - {a^2 \over 2} \cdot \ln \left(a\right) - \int_a^b {x^2 \over 2} \cdot {1 \over x} \,\mathrm{d}x Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = {b^2 \over 2} \cdot \left(\ln \left( b\right) - {1 \over 2} \right) - {a^2\over 2} \cdot \left(\ln \left( a \right) - {1 \over 2} \right) \;
Integration durch Substitution
Hauptartikel: Integration durch Substitution
Die Substitutionsregel ist ein wichtiges Hilfsmittel um einige schwierige Integrale zu berechnen, da sie bestimmte Änderungen der zu integrierenden Funktion bei gleichzeitiger Änderung der Integrationsgrenzen erlaubt. Sie ist das Gegenstück zur Kettenregel in der Differentialrechnung.
Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \phi(x) = f( g(x) ) \cdot g'(x)
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F eine Stammfunktion von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Phi(x) = F( g(x) ) \,
eine Stammfunktion von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \phi \,
, denn es gilt:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\phi(x)}{g'(x)} \, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = f( g(x) ), \, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z \, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = g(x) \, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = f( z ), \, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}z \, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = g'(x)\,\mathrm{d}x
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b f( g(x) ) \cdot g'(x)\,\mathrm{d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f( z ) \cdot g'(x) \frac{\,\mathrm{d}z}{g'(x)} = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\,\mathrm{d}z=F(z)=\Phi(x)
Vereinfachung durch Partialbruchzerlegung
Bei gebrochenrationalen Funktionen führt häufig eine Polynomdivision oder eine Partialbruchzerlegung zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt, eine der Integrationsregeln anzuwenden.
Numerische Berechnung von Integralen
Oft ist es schwierig oder nicht möglich, eine Stammfunktion anzugeben. Allerdings reicht es in vielen Fällen auch aus, die Fläche näherungsweise zu berechnen. Man spricht dann von numerischer Quadratur. Verfahren zur numerischen Quadratur bauen auf einer Approximation der Funktion durch einfacher integrierbare Funktionen auf, zum Beispiel durch Polynome. Die Trapezregel oder auch die Simpsonsche Formel (deren Spezialfall als Keplersche Fassregel bekannt ist) sind Beispiele dafür.
Anwendungen
Mittelwerte stetiger Funktionen
Um den Mittelwert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m
einer gegebenen stetigen Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) auf einem Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a,b] zu berechnen, benutzt man die Formel
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x.
Man sieht leicht, dass diese Definition für Treppenfunktionen mit dem üblichen Mittelwertbegriff übereinstimmt, und daher diese Verallgemeinerung sinnvoll ist.
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass dieser Mittelwert von einer stetigen Funktion in Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a,b]
auch tatsächlich angenommen wird.
Beispiel für den Integralbegriff in der Physik
Ein physikalisches Phänomen, an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist der freie Fall eines Körpers im Schwerefeld der Erde. Bekanntlich beträgt die Beschleunigung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g
des freien Falls in Mitteleuropa ca. 9,81 m/s². Die Geschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v eines Körpers zur Zeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t lässt sich daher durch die Formel
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v = g \cdot t\,
ausdrücken.
Nun soll aber die Wegstrecke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): l
berechnet werden, die der fallende Körper innerhalb einer bestimmten Zeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T zurücklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass für eine kurze Zeitspanne Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta t die Geschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v
, die sich aus der Zeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g \cdot t
ergibt, konstant bleibt.
Die Zunahme der Wegstrecke innerhalb des kurzen Zeitraums Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta t
beträgt daher
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta l = g \cdot t\,\cdot\Delta t
Die gesamte Wegstrecke lässt sich daher als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): l = \sum \left( g \cdot t \,\cdot\Delta t \right)
ausdrücken.
Wenn man nun die Zeitdifferenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta t
gegen Null streben lässt, erhält man
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): l = \lim_{\Delta t \to 0} \left( \sum \left( g \cdot t \,\cdot \Delta t\right)\right) = \int_0^T \left( g \cdot t\;\mathrm{d}t\,\right) =\, \frac g 2 \cdot T^2
Umgekehrt lässt sich aus der Bewegungsgleichung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): l = \frac g 2 \cdot t^2\,
durch Differenzieren die Gleichung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v = g \cdot t\,
für die Geschwindigkeit und durch nochmaliges Differenzieren
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a = g\,
für die Beschleunigung herleiten.
Konstruktionen
Cauchy-Integral
Eine Regelfunktion ist eine Funktion, die sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren lässt. Aufgrund der erwähnten Kompatibilität des Integrals mit gleichmäßigen Limites kann man für eine Regelfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f , die gleichmäßiger Limes einer Folge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t_n
von Treppenfunktionen ist, das Integral definieren als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b t_n(x)\,\mathrm dx,
wobei das Integral für Treppenfunktionen durch die oben angegebene Formel definiert wird.
Die Klasse der Regelfunktionen umfasst alle stetigen Funktionen und alle monotonen Funktionen, ebenso alle Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f , für die sich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a,b]
in endlich viele Intervalle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I_k unterteilen lässt, so dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I_k die Einschränkung einer stetigen oder monotonen Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar I_k ist. Für viele praktische Zwecke ist diese Integralkonstruktion völlig ausreichend.
Riemann-Integral
Allgemeines
Hauptartikel: Riemann-Integral
Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine Treppenfunktion. Die Fläche wird durch die Summe der einzelnen Rechtecke unter den einzelnen „Treppenstufen“ angenähert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Wert jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wählen. Dies sind die nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann bezeichneten Riemann-Summen. Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das Supremum der Funktion als Zwischenwert, so ergibt sich die Obersumme, mit dem Infimum die Untersumme.
Die Differenz zwischen Ober- und Untersumme lässt sich durch das Produkt aus der – ebenfalls von Riemann eingeführten – totalen Variation und der maximalen Intervalllänge in der Zerlegung abschätzen. Somit konvergieren die Riemannschen Zwischensummen gegen ein bestimmtes Integral genannten Wert, wenn die Breite der Rechtecke gegen Null strebt und die totale Variation endlich ist.
Dieser Grenzwert kann nicht für alle Funktionen oder Integralgrenzen explizit berechnet werden.
Funktionen beschränkter totaler Variation sind alle stetigen und stückweise stetigen, sowie alle monotonen Funktionen. Umgekehrt kann man zeigen, dass es für solche Funktionen nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen geben kann, und dass deren Anzahl für jede Sprunghöhe endlich ist.
Verallgemeinerung: Integration bei nichtendlicher totaler Variation
Das oben beschriebene Verfahren wird als Riemann-Integration bezeichnet. Das Riemann-Integral kann nicht bei Integrandfunktionen unendlicher Schwankung, zum Beispiel Funktionen mit oszillierenden Singularitäten wie Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin\left(\frac1{x^2}\right)
oder der Indexfunktion der rationalen Zahlen im Intervall [0,1]
angewendet werden. Deshalb wurden erweiterte Integralbegriffe von Henri Leon Lebesgue (Lebesgue-Integral), Thomas Jean Stieltjes (Stieltjesintegral) und Alfred Haar eingeführt, die für stetige Integranden das Riemann-Integral reproduzieren.
Lebesgue-Integral
Hauptartikel: Lebesgue-Integral
Einen moderneren und – in vielerlei Hinsicht – besseren Integralbegriff liefert das Lebesgue-Integral. Es erlaubt zum Beispiel die Integration über allgemeine Maßräume. Das bedeutet, dass man Mengen ein Maß zuordnen kann, welches nicht notwendig mit ihrer geometrischen Länge bzw. ihrem Rauminhalt übereinstimmen muss, so zum Beispiel Wahrscheinlichkeits-Maße in der Wahrscheinlichkeitstheorie (siehe hierzu auch Maßtheorie). Das Maß, welches dem intuitiven Längen- bzw. Volumenbegriff entspricht ist das Lebesgue-Maß. In der Regel wird das Integral über dieses Maß als Lebesgue-Integral bezeichnet. Man kann beweisen, dass für jede Funktion, die über einem kompakten Intervall Riemann-integrierbar ist, auch das entsprechende Lebesgue-Integral existiert und die Werte beider Integrale übereinstimmen. Die Umkehrung gilt hingegen nicht. Das bekannteste Beispiel für eine Funktion, die Lebesgue- aber nicht Riemann- integrierbar ist, ist die Dirichlet-Funktion. Neben der größeren Klasse an integrierbaren Funktionen zeichnet sich das Lebesgue-Integral gegenüber dem Riemann-Integral vor allem durch die besseren Konvergenzsätze aus (Satz von der monotonen Konvergenz, Satz von der majorisierten Konvergenz).
In der modernen Mathematik versteht man unter Integral oder Integrationstheorie in der Regel den Lebesgue'schen Integralbegriff.
Integrale für nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale
Das Integral war oben stets über kompakten Mengen definiert, also beschränkten und abgeschlossenen Intervallen, wo die Integrationsgrenzen Teil der Definitionsmenge sind. Die Verallgemeinerung auf unbeschränkte Definitionsbereiche oder Funktionen mit Definitionslücken verläuft je nach gewählter Konstruktion etwas unterschiedlich. In der Lebesgue-Theorie ergibt sich die Verallgemeinerung vollkommen natürlich, in der Riemann-Theorie muss man mit Grenzwerten von Integralen über kompakte Bereiche arbeiten; man spricht in diesem Zusammenhang von uneigentlichen Integralen.
Beispiele sind das Integral
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x
, wo beide Grenzen nicht in die Stammfunktion eingesetzt werden können oder
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x
,
wo der Integrand für 0 nicht definiert ist. Die uneigentlichen Integrale werden dann wie folgt definiert, wobei wir annehmen, dass der Integrand an der Stelle b nicht ausgewertet werden kann:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{b'\to b} \int_a^{b'} f(x)\,\mathrm{d}x
,
falls der Grenzwert existiert.
Es wird also wie im eigentlichen Fall die Stammfunktion berechnet, das Integral ausgewertet und dann der Grenzwert für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b'\to b
berechnet.
Sind beide Grenzen uneigentlich wie bei der gaußschen Glockenkurve, wird das Integral in zwei Teile aufgeteilt und die obigen Schritte für beide Teile durchgeführt.
Mehrdimensionale Integration
Integration von vektorwertigen Funktionen
Die Integration von Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [a,b]\to\mathbb R^m
erfolgt komponentenweise.
Wegintegrale
Hauptartikel: siehe Kurvenintegral
Reelle Wegintegrale und Länge einer Kurve
Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n
ein Weg, also eine stetige Abbildung, und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^m eine Funktion, so ist das Wegintegral von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f entlang Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma definiert als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_\gamma f(x)\,\mathrm dx=\int_a^b f(\gamma(t))\,\|\dot\gamma(t)\|\,\mathrm dt.
Ist f = 1, so erhalten wir aus der obigen Formel die Länge der Kurve Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2
(physikalisch gesprochen) als das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L(\gamma)=\int_a^b\|\dot\gamma(t)\|\,\mathrm dt=\int_a^b\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2}\,\mathrm dt.
Reelle Wegintegrale: Mit Skalarprodukt
In der Physik werden häufig Wegintegrale der folgenden Form betrachtet: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
ist eine Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb R^n\to\mathbb R^n
, und es wird das Integral
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_\gamma f(x)\cdot\mathrm dx = \int_a^b\langle f(\gamma(t)),\dot\gamma(t)\rangle\,\mathrm dt
betrachtet.
Komplexe Wegintegrale
In der Funktionentheorie, also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben. Zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch viele Wege miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein Wegintegral. Für geschlossene Wege gilt der Residuensatz, ein wichtiges Resultat von Cauchy: Das Integral entlang einem geschlossenen Weg hängt allein von der Anzahl der umschlossenen Singularitäten ab. Es ist Null, falls sich im Integrationsgebiet keine Singularitäten befinden.
Integration über mehrdimensionale Bereiche
Den Integralbegriff kann man auf den Fall verallgemeinern, dass die Trägermenge, auf der die Integrandfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
operiert, nicht die Zahlengerade Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}
, sondern der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n -dimensionale Euklidische Raum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^n
ist. Mehrdimensionale Integrale über ein Volumen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V darf man nach dem Satz von Fubini berechnen, indem man sie in beliebiger Reihenfolge in Integrale über die einzelnen Koordinaten aufspaltet, die nacheinander abzuarbeiten sind:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_V \mathrm{d}^n r\,f \left(\vec{r} \right) = \iiint \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\, f\left(x,y,z\right)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \int \mathrm{d}x \left(\int \mathrm{d}y \left(\int \mathrm{d}z\, f\left(x,y,z\right)\right)\right)
. Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z muss man aus der Begrenzung des Volumens Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V ermitteln.
In der Funktionalanalysis und theoretischen Physik betrachtet man auch mehrdimensionale Integrale die über den gesamten, unbeschränkten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n -dimensionalen Raum laufen. Die Konvergenz der Integrale erreicht man, indem man in den Integranden eine Indikatorfunktion aufnimmt, die zum Beispiel außerhalb eines vorgegebenen Volumens Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V
überall 0 ist.
Die Verallgemeinerung der Substitutionsregel im mehrdimensionalen ist der Transformationssatz. Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Omega \subset \mathbb{R}^d
offen und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^d eine injektive, stetig differenzierbare Abbildung, für deren Funktionaldeterminante Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \det(D\Phi(x)) \neq 0 für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x \in \Omega gilt. Dann ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_{\Phi(\Omega)} f(y)\, \mathrm{d}y = \int_\Omega f(\Phi(x)) \left|\det(D\Phi(x))\right| \mathrm{d}x
.
Beispiel: Berechnung von Rauminhalten
Als Beispiel berechnen wir das Volumen zwischen dem Graphen der Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x,y) = x^2+y
über dem Einheitsquadrat Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [0,1]\times[0,1] . Wir benutzen dazu zwei Integrale, eines für die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x - und eines für die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y -Koordinate:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_0^1\int_0^1 f(x,y)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y = \int_0^1\int_0^1 (x^2+y)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y =\int_0^1 \left[ \frac{1}{3}x^3 + yx \right]_{x=0}^1\;\mathrm{d}y
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \int_0^1 \left( \frac{1}{3}+y \right) \mathrm{d}y = \left[ \frac{1}{3}y+\frac{1}{2}y^2 \right]_{y=0}^1 = \frac{5}{6}.
Oberflächenintegrale
Insbesondere in vielen physikalischen Anwendungen ist die Integration nicht über ein Volumen, sondern über die Oberfläche eines Gebiets interessant. Solche Oberflächen werden üblicherweise durch Mannigfaltigkeiten beschrieben. Diese werden durch so genannte Karten beschrieben.
Integration über ein Kartengebiet
Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
eine Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d
-dimensionalen Untermannigfaltigkeit des Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^n
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U ein Kartengebiet in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
, also eine offene Teilmenge in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M , für die es eine Karte gibt, die sie diffeomorph auf eine offene Teilmenge des Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^d
abbildet. Ferner sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma :\Omega \to U eine Parametrisierung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U
, also eine stetig differenzierbare Abbildung, deren Ableitung vollen Rang hat, die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Omega
homöomorph auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma (\Omega) abbildet. Dann ist das Integral einer Funktion auf dem Kartengebiet Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U folgerndermaßen definiert:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_U f \mathrm{d}s := \int_{\Omega} f(\gamma(u)) \cdot \sqrt{g^{\gamma}(u)} \mathrm du
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g^{\gamma}(u) = \det ((\gamma '(u))^{\mathsf{T}}\cdot \gamma '(u))
die so genannte Gramsche Determinante ist. Das rechte Integral kann mit den oben geschrieben Methoden der mehrdimensionalen Integration ausgerechnet werden. Die Gleichheit folgt im wesentlichen aus dem Transformationssatz.
Integration über eine Untermannigfaltigkeit
Ist eine Zerlegung der 1 gegeben, die mit den Karten der Untermannigfaltigkeit verträglich ist, kann einfach getrennt über die Kartengebiete integriert und aufsummiert werden.
Der gaußsche Integralsatz und der Satz von Stokes
Für spezielle Funktionen lassen sich die Integrale über die Untermannigfaltigkeiten einfacher ausrechnen. In der Physik besonders wichtig sind hierbei zwei Aussagen:
Zum einen der gaußsche Integralsatz, nach dem Volumenintegrale über eine Divergenz dasselbe sind wie Oberflächenintegrale über das Vektorfeld: Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V \subset \mathbb{R}^n
kompakt mit abschnittsweise glattem Rand Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \partial V
. Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec v . Sei ferner Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec F
ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V
. Dann gilt
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_V \operatorname{div} \vec F \; \mathrm dV = \oint_{\partial V} \vec F \cdot \mathrm d \vec S
mit der Abkürzung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm d \vec S = \vec v \mathrm dS
.
Zum zweiten der Satz von Stokes, der eine grundlegende Aussage der Differentialgeometrie ist und sich im Spezialfall des dreidimensionalen Raums schreiben lässt als:
Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen euklidischen Raumes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3
, so gilt, wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{rot}\;\mathbf{F}
die Rotation eines Vektorfeldes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F beschreibt:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_{M} (\operatorname{rot}\;\mathbf{F}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \oint_{\partial M} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}
Verallgemeinerungen
Maßtheorie
Hauptartikel: Maßtheorie
Integration auf Mannigfaltigkeiten
Siehe: Differentialform
Schließlich kann Integration auch dazu verwendet werden, Oberflächen von gegebenen Körpern zu messen. Dies führt in das Gebiet der Differentialgeometrie.
Siehe auch
- Tabelle einfacher Ableitungs- und Stammfunktionen
- Algebraische Integration
- Stochastische Integration
- Binomisches Integral
- d3x-Schreibweise
Literatur
- Schulbücher:
- Integralrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.
- Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer (Physik, Informatik):
- Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2. Springer, 1. Aufl. 1928, 4. Aufl. 1971
- Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Aufl. Vieweg-Verlag, 2004. ISBN 3-528-67224-2
- Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X
- Konrad Königsberger: Analysis. 2 Bände, Springer, Berlin 2004.
- Steffen Timmann: Repetitorium der Analysis 1, 2. 1. Auflage. Binomi Verlag, 1993,
- Lehrbücher für Studenten mit Nebenfach/Grundlagenfach Mathematik (zum Beispiel Studenten der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften):
- Rainer Ansorge und Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Band 1. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2000
- Lothar Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Band 1
- Historisches:
- Adolph Mayer: Beiträge zur Theorie der Maxima und Minima der einfachen Integrale. Teubner, Leipzig 1866 (Digitalisat)
- Bernhard Riemann: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe. Göttingen 1867 (Volltext), mit der Erstdefinition des Riemann-Integrals (Seite 12ff.)
Weblinks
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- mathe-online.at – Ressourcen zum Thema Integrieren (Sekundarstufe 2/FHS/Uni)
- Anschauliche Erklärungen
- Applet zur Darstellung von Ober- und Untersummen für beliebige Funktionen
- Applet zur Visualisierung des Begriffs der Integralfunktion
- The Integrator – Englische Seite zur Berechnung von Integralen
- Der Integrator – Deutsche Seite zur Berechnung von bestimmten Integralen mit graphischer Darstellung der Fläche
- Einführung in die Integralrechnung für Schüler
- Teil 1 einer dreiteiligen Serie über Mehrfachintegrale (anschaulich+verständlich)
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