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Hohmannbahn
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Unter der Hohmannbahn oder Hohmann-Ellipse versteht man in der Raumfahrt die energetisch günstigste Bahn, um von einer kreisförmigen Umlaufbahn in eine andere zu wechseln, bzw. von einem Planeten zu einem anderen zu gelangen. Gleichzeitig verlängert sich aber die Reisezeit um ein vielfaches. Die Übergangsbahn ist eine Ellipse, die sowohl den Anfangspunkt, als auch den Endpunkt tangential berührt.
Der Name geht zurück auf den deutschen Ingenieur Walter Hohmann und seine Schrift Die Erreichbarkeit der Himmelskörper (1925).
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Beispiel
Transferbahn zum Mars
Der Mars ist der Erde in Oppositionsstellung am nächsten. Ein Satellit kann die geometrische Nähe nur unter hohem Aufwand nutzen, da er gegen die Bahnbewegung der Erde anfliegen muss.
Nach Hohmann ist der energetisch günstigste Transfer der, wenn der Satellit den Mars in Konjunktion zur Position der Erde erreicht, die die Erde bei seinem Abflug inne hatte. In der Abbildung links startet die Sonde auf der Erde bei (1) und erreicht den Mars bei Position (3). Die Sonne steht dabei in einem der Brennpunkte der Transferbahn (gelb). Die doppelte Halbachse der Transferellipse ist die Summe aus der Entfernung Erde-Sonne und Sonne-Mars. Daraus ergibt sich nach dem dritten Keplerschen Gesetz eine halbe Umlaufzeit von knapp einem Jahr.
Das Bild rechts zeigt die Transferbahn des Mars Reconnaissance Orbiters. Sie erfordert einen höheren Energieaufwand als die Hohmann-Bahn, dafür ist die Sonde nur 7 Monate zum Mars unterwegs.
Transfer auf geostationäre Bahn
Um Satelliten in eine geostationäre Bahn (GEO) zu positionieren, werden sie zunächst auf eine niedrige kreisförmige Umlaufbahn gebracht, siehe (1) in der Zeichnung. Dort erfolgen zwei Bahnkorrekturen. Die erste weitet die Kreisbahn auf eine Ellipse mit dem Apogäum beim zu erreichenden GEO, siehe (2). Die zweite Korrektur erfolgt im Apogäum und bringt den Satelliten auf den gewünschten kreisförmigen GEO, siehe (3). Vereinfachend wird angenommen, dass eine kurzzeitige Zündung des Triebwerks für die Geschwindigkeitsänderung genügt. In Wirklichkeit wird sich der notwendige Schub nur über eine längere Brenndauer erreichen lassen, wodurch weitere Bahnkorrekturen erforderlich werden.
Nach den Keplerschen Gesetzen beträgt die Geschwindigkeit v(r) eines Körpers am Ort r auf einer Ellipsenbahn mit der großen Halbachse a um die Erde:
- (1) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v = \sqrt{\mu \cdot \left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) }
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu = M \cdot \gamma , wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
die Erdmasse und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma die Gravitationskonstante sind.
Bezeichnen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r_p
den Perigäum-Radius, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r_a
den Apogäum-Radius und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a = \frac{r_p + r_a}{2}
die große Halbachse der Transferellipse, so gilt für die Perigäums- und Apogäumsgeschwindigkeit:
- (2) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_p = \sqrt{\frac{\mu}{a} \cdot \frac{r_a}{r_p} }
- (3) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_a = \sqrt{\frac{\mu}{a} \cdot \frac{r_p}{r_a} }
und für die entsprechenden Kreisbahn-Geschwindigkeiten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v(r_p)_p
bzw Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v(r_a)_a
- (4) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v(r) = \sqrt{ \frac{\mu}{r} }
Zahlenbeispiel
Folgende Werte seien gegeben:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu = 398'600 km^3/s^2
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r_p = 6'678 km
(gemessen vom Erdmittelpunkt bei einer Flughöhe von 300km)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r_a = 42'164 km
Dann betragen die Kreis-Umlaufgeschwindigkeiten:
- (5) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_{p-kreis}=7,73 km/s
[1]
- (6) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_{a-kreis}=3,07 km/s
[2]
Und die Geschwindigkeiten im Perigäum bzw. Apogäum:
- (7) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_p=10,2 km/s
[3]
- (8) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_a=1,61 km/s
[4]
Daraus ergeben sich die beiden Geschwindigkeitsänderungen.
- Für die Änderung von der Kreisbahn auf die elliptische Bahn: (7)-(5) = 2,4 km/s
- Für die Änderung von der Ellipse auf den GEO: (6)-(8) = 1,46 km/s
Siehe auch
Weblinks
- http://www.urbin.de/next_step/next_step.htm (Das Problem der idealen Flugbahn)
- http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/hohmann1.html (Hohmann Bahn - von Planet zu Planet) - mit Java Applet
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