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Sechseck
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Ein Sechseck oder auch Hexagon [hɛksaˈgoːn] (von griech. ἑξα
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, héxa, „sechs“ und γονία, gonía, „Winkel; Ecke“) ist ein Polygon (Vieleck) bestehend aus sechs Ecken und sechs Seiten.
Inhaltsverzeichnis |
Mathematische Zusammenhänge
Die zugrundeliegenden Zusammenhänge des regulären (gleichseitigen) Sechsecks beschrieb erstmals Euklid in seinem 15. mathematischen Satz des 4. Buchs Die Elemente.
Verbindet man die gegenüberliegenden Ecken des Sechsecks ergeben sich sechs gleichseitige Dreiecke. Verbindet man dagegen alle nicht gegenüberliegenden Ecken, so erhält man ein Hexagramm.
Die Summe der Innenwinkel eines regulären Sechsecks beträgt 720° und ergibt sich aus folgender Formel, wobei die Variable n die Anzahl der Seiten, also 6, ist.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ
Der Winkel im regulären Sechseck beträgt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{2}{3} \cdot 180^\circ = 120^\circ
Die mathematischen Beziehungen zwischen dem Radius des Inkreises und der Länge einer Seite des regulären Sechsecks beschreiben die folgende Formel:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r_i = \frac{a}{2} \sqrt{3}
Die Fläche des Sechsecks ist:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A = \frac{3}{2} a^2 \sqrt{3}
Konstruktion
Ein reguläres Sechseck lässt sich sehr einfach aus einem Kreis konstruieren, indem man den Radius des Kreises sechsmal auf dem Kreisrand abträgt. Die erhaltenen Punkte sind die Ecken des Sechsecks. Alternativ reicht auch das zweimalige Abtragen auf dem Kreisrand. Die fehlenden Ecken können dann über die Sehnen durch den Mittelpunkt des Umkreises und die bereits bekannten Ecken konstruiert werden (siehe Grafik).
Vorkommen von Sechsecken und hexagonalen Strukturen
Das regelmäßige Sechseck ist neben dem gleichseitigen Dreieck und dem Quadrat das einzige gleichseitige Polygon, mit dem eine Ebene lückenlos gefüllt (parkettiert) werden kann. Dies ist einer der Gründe, warum regelmäßige Sechsecke in Kunst, Kultur, Natur und Technik häufig anzutreffen sind.
Natur
- Kristallstrukturen: Viele Kristalle bilden hexagonale Formen aus. Die bekanntesten Beispiele sind natürliches Eis und sechsstrahlige Schneeflocken.
- Bienenwabe: Die hexagonale Form der Wände ergeben ein optimales Verhältnis von Wandmaterial zu Volumen.
- Eine der wichtigsten Grundstrukturen von organischen Molekülen ist der Benzolring, der ein regelmäßiges Sechseck aus sechs Kohlenstoffatomen bildet.
- Bei der Suprafluidität von Flüssigkeiten: Anordnung von quantisierten mechanischen Wirbeln
- Der Nordpol des Planeten Saturn ist der Mittelpunkt einer stabilen Struktur in der Form eines nahezu regelmäßigen Sechsecks. Es hat einen Durchmesser von fast 25.000 Kilometern.
- Das Wintersechseck ist ein Sternenbild, das ein unregelmäßiges Sechseck bildet.
Kunst und Kultur
- Architektur: In vielen Kulturen war das Hexagon ein grundlegendes Element zur Gestaltung von Fenstern, Fliesen und Mosaiken. Beispiele sind Fresken am Dom zu Pisa oder Mauerelemente mancher Gebäude in Pompeji; ebenso befindet sich die Glastonbury Abbey innerhalb eines (gedachten) Hexagons.
- M. C. Escher: Viele seiner Mosaik-Variationen basieren auf Sechsecken.
- Davidstern: Verbindet man alternierende Eckpunkte eines Sechsecks erhält man ein Hexagramm (auch Davidstern genannt), das Symbol der israelischen Staatsflagge.
- Frankreich: Aufgrund seiner ungefähr sechseckigen Form wird das auf dem europäischen Festland gelegene Territorium Frankreichs auch als l'hexagone bezeichnet. Daher befindet sich auf der Rückseite der französischen 1- und 2-Euro-Münzen ein stilisierter Baum in einem Hexagon, und der Marschall von Frankreich trägt seine sieben Sterne auf den Schulterstücken im Sechseck angeordnet.
- Bei den kolumbianischen Desana-Indianern hatte das Sechseck fundamentale mythologische Bedeutung und umriss auch deren Territorium, wobei die sechs Ecken jeweils durch einen Wasserfall markiert waren.
- Bei vielen Spielen, besonders bei Konfliktsimulationsspielen, besteht das Spielfeld aus einem Sechseckraster auf einer Landkarte. Dadurch gibt es mehr Bewegungsrichtungen als bei einem Quadratraster (z. B. einem Schachbrett).
Technik
- Wabenförmige Strukturen, sogenannte Honeycombs, werden oft bei Konstruktionen eingesetzt, bei denen es auf eine hohe Festigkeit bei geringem Gewicht oder Materialverbrauch ankommt.
- Die Köpfe von Schrauben sind häufig sechseckig, entweder als Außensechskant oder als Innensechskant (Inbus). Das gleiche gilt für Sechskantmuttern.
Weblinks
- Euclid's Elements - Book IV Proposition 15 (engl.)
- Mathworld (engl.)
- Polygons, Tilings & Sacred Geometry - bebilderte Beispiele für Sechsecke in Kunst und Architektur (engl.)
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