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Hauptkrümmung ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie. Jedem Punkt einer gegebenen Fläche im dreidimensionalen Raum (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3 ) werden zwei Hauptkrümmungen zugeordnet.

Definition

Gegeben sei ein Punkt einer regulären Fläche im Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3 . Jeder Tangentialrichtung, also jeder Richtung, die ein Tangentialvektor in diesem Punkt annehmen kann, wird die Normalkrümmung zugeordnet: Man versteht darunter die Krümmung der ebenen Kurve, die sich durch Schnitt der gegebenen Fläche mit der durch den Flächennormalenvektor und die gegebene Tangentialrichtung bestimmten Ebene ergibt. Den Minimalwert und den Maximalwert dieser Krümmungen bezeichnet man als die beiden Hauptkrümmungen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_1

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_2

.

Beispiele

• Bei einer Kugel mit Radius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r

stimmen in jedem Punkt die beiden Hauptkrümmungen überein: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_1 = k_2 = 1/r

• Gegeben sei die gekrümmte Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Grundkreisradius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r

. In diesem Fall haben die Hauptkrümmungen in einem beliebigen Punkt der Fläche die Werte 0 (Tangentialrichtung parallel zur Achse des Zylinders) und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1/r

(Tangentialrichtung senkrecht zur Achse des Zylinders).

• Gegeben sei ein Ellipsoid mit den Halbachsen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c

. Im den Endpunkten (Scheitelpunkten) der Halbachse Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

sind die Hauptkrümmungen gleich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a/b^2
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a/c^2

.

• Anschauliches Bild von der englischen Wikipedia:

Bild:Minimal surface curvature planes-en.svg

Sattelfläche mit den Normalen-Flächen in Richtung der Hauptkrümmungen

Eigenschaften

• Die beiden Hauptkrümmungen sind die Eigenwerte der Weingartenabbildung.

• Die zu den beiden Hauptkrümmungen gehörigen Tangentialrichtungen sind zueinander senkrecht.

• Die gaußsche Krümmung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K

ist das Produkt der Hauptkrümmungen: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K \, = \, k_1 k_2

• Die mittlere Krümmung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H

ist das arithmetische Mittel der Hauptkrümmungen: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H \, = \, \frac{1}{2} (k_1 + k_2)

• Sind die gaußsche Krümmung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K

und die mittlere Krümmung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H
bekannt, so ergeben sich die Hauptkrümmungen als Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k^2 - 2 H k + K \, = \, 0

• Für eine beliebige Tangentialrichtung lässt sich die Normalkrümmung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_n

durch die beiden Hauptkrümmungen ausdrücken:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_n \, = \, k_1 \cos^2 \epsilon + k_2 \sin^2 \epsilon

(Satz von Euler) 

Dabei steht Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon

für den Winkel zwischen der gegebenen Tangentialrichtung und der zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_1
gehörigen Tangentialrichtung.

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