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Harmonischer Oszillator
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Potenzialkurve eines harmonischen Oszillators
Der harmonische Oszillator ist in der Mechanik ein System, das ein Potentialminimum besitzt und bei einer Auslenkung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
aus diesem Minimum eine der Auslenkung proportionale Rückstellkraft Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F erfährt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F(x) = - k\ x\qquad
(Hookesches Gesetz)
Dabei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k > 0
die Federkonstante des Oszillators.
Äquivalent kann man formulieren, dass ein harmonischer Oszillator ein quadratisches, also parabelförmiges Potential besitzt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V(x) = \frac{1}{2} k x^2
dies folgt aus: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F = - \nabla V \Rightarrow V = - \int F dr
In dieser Definition findet das Konzept des harmonischen Oszillators in der gesamten Physik weit über die klassische Mechanik hinaus Anwendung.
Ein Teilchen der Masse Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m
beschreibt im Oszillatorpotential eine Sinusschwingung der Frequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
. Daher formuliert man obige Gleichungen auch als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F(x) = - m\, \omega_0^2 \ x\,; \qquad V(x) = \frac{1}{2} m\ \omega_0^2 \ x^2
Auch wenn ein perfekter harmonischer Oszillator in der Natur nur selten realisiert ist (die potentielle Energie wird für große Auslenkungen beliebig groß), so hat das Konzept doch fundamentale Bedeutung in der Physik. Der Grund ist, dass in vielen physikalischen Modellen Auslenkungen aus einem Zustand minimalen Potentials betrachtet werden. Beschränkt man sich auf die Umgebung eines solchen Minimums, so kann das Potential lokal in der Regel mit einem harmonischen Oszillator approximiert werden, da das quadratische Glied das erste nichtverschwindende Glied in der Taylorentwicklung des Potentials um das Minimum ist. Der Vorteil einer solchen Näherung besteht darin, dass das Problem mit Standardmethoden handhabbar wird und einfach zu interpretierende analytische Lösungen erhalten werden.
Federpendel und Fadenpendel bei kleinen Auslenkungen sind Beispiele für harmonische Oszillatoren in der Mechanik. Der elektrische Schwingkreis ist ein Beispiel aus der Elektrizitätslehre.
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Differentialgleichung des harmonischen Oszillators
Aus dem linearen Kraftgesetz erhält man mit dem Newton-Axiom
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F = m\, \ddot x
die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ddot x + \omega_0^2 x = 0
Dieser kann noch ein geschwindigkeitsproportionaler Dämpfungsterm Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2 \Gamma \dot{x}
und eine antreibende Kraft Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F_\mathrm{ext}
hinzugefügt werden, um die Differentialgleichung eines angetriebenen, gedämpften harmonischen Oszillators
zu erhalten:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ddot x + 2 \Gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{1}{m}\;F_\mathrm{ext}
Tritt in der externen Kraft eine Fourierkomponente mit der Frequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega_0
auf, spricht man von resonanter Anregung. Ist zusätzlich die Dämpfung schwach, so kann es in einem solchen System zu einer Resonanzkatastrophe kommen, bei der die Amplitude des Oszillators bis zur Zerstörung des Systems wächst.
Der mehrdimensionale harmonische Oszillator
Ein harmonischer Oszillator in n Dimensionen hat das Potential
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V(\vec{x}) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n k_i\, x_i^2
und das Kraftgesetz
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{F}( \vec{x} ) = - \sum_{i=1}^n k_i\ x_i\, \vec{e}_i
.
Da die Kraftkomponenete in einer Dimension nur von der Auslenkung in diese Dimension abhängt, sind die Lösungen für die einzelnen Komponenten des Ortsvektors die Lösungen des entsprechenden eindimensionalen Problems.
Quantenmechanik
- Siehe Hauptartikel: Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)
Anharmonische Oszillatoren
Bei anharmonische Oszillatoren treten mehr oder minder große Abweichungen vom linearen Kraftgesetz bzw. vom quadratischen Potential auf. Ist das System stark gedämpft und die Anharmonizität klein, so macht sie sich in der Regel nur dadurch bemerkbar, dass Oberschwingungen der Grundfrequenz auftreten. Wenn das System nur schwach gedämpft ist oder der nichtlineare Term das Kraftgesetz dominiert, so kann chaotisches Verhalten auftreten. Ein Beispiel dafür ist der Toda-Oszillator.
Siehe auch
Weblinks
ChemgaPedia zu harmonischen/anharmonischem Oszillator
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