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Der Begriff Häufungspunkt (zuweilen auch Häufungswert oder Verdichtungspunkt) kommt in dem mathematischen Teilgebiet Topologie vor, in speziellerem Sinn auch in der Analysis.

Häufungspunkt einer Folge

Definition: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b\;

heißt Häufungspunkt einer Folge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=(a_n)_{n\in\mathbb N}

, falls in jeder noch so kleinen Umgebung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b\;

unendlich viele Folgenglieder liegen [1].

(Formal: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b\;

ist Häufungspunkt von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a_n)\;
genau dann, wenn

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \forall \varepsilon>0 \; \forall N\in\mathbb{N} \; \exists n>N: \;\left|a_n-b \right|<\varepsilon .)

Dies erinnert an die Eigenschaft des Grenzwerts. Allerdings kann eine Folge mehrere (auch unendlich viele) Häufungspunkte haben, zwischen denen sie in ihrem Verlauf "hin- und herspringt". Für einen Häufungspunkt reicht es aus, dass eine Teilfolge von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a_n)\;

gegen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b\;
konvergiert. (In topologischen Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, also insbesondere im Raum der reellen Zahlen, gilt auch die Umkehrung: dass es zu jedem Häufungspunkt einer Folge eine Teilfolge gibt, die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert.)

Während für den Grenzwert gilt, dass aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n\to b

folgt, dass auch für jede Teilfolge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_{n_k}\to b
gilt, dass also jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert, gilt für Häufungspunkte die umgekehrte Beziehung: ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b\;
Häufungspunkt einer Teilfolge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_{n_k}

, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b\;

auch Häufungspunkt der Ausgangsfolge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_{n}\;

Für nach oben beschränkte reelle Zahlenfolgen wird der Limes superior, bzw. größter Häufungspunkt, als das Supremum der Menge aller Häufungspunkte definiert. Man schreibt dafür Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \limsup_{n\to\infty} a_n . Analog wird der kleinste Häufungspunkt oder Limes inferior, als das Infimum definiert. Es gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \liminf_{n\to\infty} a_n=-\limsup_{n\to\infty} (-a_n) .

Dabei gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b\;

ist größter Häufungspunkt einer Folge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=(a_n)_{n\in\mathbb N}
genau dann, wenn für jedes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon > 0\;
im Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (b - \varepsilon, b]\;
unendlich viele, im Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (b + \varepsilon, \infty)
jedoch höchstens endlich viele Folgenglieder anzutreffen sind.

Häufungspunkt einer Menge

Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

Element eines topologischen Raumes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X
und sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  M
eine Teilmenge von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X

ist Häufungspunkt von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M

ein Punkt von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
liegt, der von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
verschieden ist.

Für die meisten Topologien (insbesondere für die gewöhnliche Topologie in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R} , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^2

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3

) folgt daraus sofort, dass in jeder Umgebung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

sogar unendlich viele Punkte aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
liegen.

Beispiel: Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M := ]0,1] \cup \{3\}

eine Teilmenge der reellen Zahlen. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
besteht also aus einem links halboffenen Intervall und einem einzelnen Punkt. Dann sind alle Elemente von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
- außer der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 3
- Häufungspunkte von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M

. Es ist nämlich z.B. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): ]2,4[

eine Umgebung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 3

, die keinen weiteren Punkt aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M

enthält.

Zusätzlich ist auch die Null Häufungspunkt von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M . Da das Intervall links offen ist, gibt es Punkte im Intervall, die beliebig nahe an der Null liegen. Somit muss jede Umgebung der Null auch einen Punkt des Intervalls enthalten. Aus gleichem Grund ist auch die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1

Häufungspunkt von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M

. Hier wird deutlich, dass ein Häufungspunkt von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M

der Menge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
angehören kann, aber nicht muss.

Wenn ein Punkt in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X

kein Häufungspunkt ist spricht man von einem isolierten Punkt.

Unterschied der Definitionen

Auf den ersten Blick scheinen die beiden Definitionen für Mengen und Folgen äquivalent zu sein. Dass dies nicht so ist zeigt folgendes Beispiel.

Für jede Folge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=(a_n)

ist folgende Menge eindeutig definiert:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X(a):=\left\{x: (\exists n\in\mathbb N: a_n=x ) \right\}

(das heißt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X(a)

ist die Menge aller Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

, die gleich dem Wert eines Folgenelementes sind, vgl. Bildmenge von Funktionen)

Die Folge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=(a_n)

sei folgendermaßen definiert:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n=\begin{cases} 1/n, & \mbox{wenn }n\mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{wenn }n\mbox{ ungerade} \end{cases}

Die Häufungspunkte von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1

, da zum einen eine Teilfolge existiert, welche gegen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0

geht (nämlich die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n
mit geraden Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

), zum anderen eine konstante Teilfolge mit dem Wert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1

(die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n
mit ungeraden Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

). Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0

ist auch ein Häufungspunkt von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X(a)

, die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1

jedoch nicht, da sich um sie eine Umgebung mit dem Radius von beispielsweise Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1}{3}
legen lässt, in der sich kein weiteres Element der Menge befindet. 

Der Unterschied beruht darauf, dass eine konstante Folge als konvergent definiert ist und es hierzu bei den Mengen keine Entsprechung gibt.

Um einem Missverständnis vorzubeugen, werden für den Häufungspunkt von Folgen deshalb auch die Begriffe Häufungswert oder Verdichtungspunkt verwendet.

Quellen

1. ↑ Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3. S 90, Definition 52