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Gruppe (Axiome EANI)

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Abstrakte Algebra Gruppentheorie

ist Spezialfall von

Magma (Axiom E) Halbgruppe (EA) Monoid (EAN)

umfasst als Spezialfälle

Abelsche Gruppe (EANIK) Ring Körper Vektorraum endliche Gruppe 18 Familien endlicher einfacher Gruppen Kleinsche Vierergruppe Permutationsgruppe symmetrische Gruppe alternierende Gruppe zyklische Gruppe Diedergruppe Punktgruppe 230 Raumgruppen 26 sporadische Gruppen unendliche Gruppe Lie-Gruppe allgemeine lineare Gruppe

Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik, da sie eine Entkoppelung der Repräsentation (z.B. die reellen Zahlen) von der inneren Struktur darstellt (Rechengesetze für Gruppen).

Beispielsweise folgt die Gruppe, die durch das Hintereinanderausführen von Drehungen eines regulären n-Ecks in der Ebene um Vielfache des Winkels 360°/n entsteht, denselben Gesetzen wie die Addition der ganzen Zahlen modulo n. Neutrales Element – entsprechend der Null bei der Addition – wäre hier die Nicht-Drehung oder äquivalent die Drehung um einen Winkel von 0°.

Große Beiträge zur Gruppentheorie stammen unter anderem von Evariste Galois, Niels Henrik Abel und Sophus Lie.

Eine Liste von Artikeln zum Thema Gruppentheorie ist die Liste gruppentheoretischer Artikel. Knappe Begriffsdefinitionen finden sich im Gruppentheorie-Glossar.

Inhaltsverzeichnis 1 Erklärung für Nicht-Mathematiker 2 Mathematische Definition des Gruppenbegriffs 2.1 Definition 2.2 Bemerkungen zur Notation 2.3 Abschwächung der Definition 3 Grundlegende Eigenschaften einer Gruppe 4 Grundkonzepte der Gruppentheorie 4.1 Ordnung einer Gruppe 4.2 Ordnung von Elementen 4.3 Untergruppen 4.4 Nebenklassen 4.5 Normalteiler 4.6 Faktorgruppe 4.7 Zyklische Gruppen 5 Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen 6 Ausblick 7 Anwendung in der Chemie 7.1 Beispielanwendungen aus der Chemie 8 Anwendung in der Physik 9 Siehe auch 10 Weblinks

Erklärung für Nicht-Mathematiker

Eine Gruppe wird in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit Zahlen zu abstrahieren, also um mit Symbolen statt mit Zahlen selbst zu rechnen. Entsprechend besteht eine Gruppe aus einer Menge von abstrakten Dingen oder Symbolen, und einer „Rechenvorschrift“ (Verknüpfung), die angibt, wie mit diesen Dingen umzugehen ist. Ein Beispiel sind die ganzen Zahlen (dies ist dann die Menge) zusammen mit der Addition (dies ist die Verknüpfung).

Genauer gesagt: Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung von zwei Elementen dieser Menge, etwa "a + b" oder "a × b". Des weiteren müssen die folgenden Anforderungen erfüllt sein:

1. Die Verknüpfung bildet die zwei Elemente in die selbe Menge ab, aus der sie kommen (Abgeschlossenheit).
2. Die Klammerung beim Ausrechnen ist unerheblich (Assoziativität): a × (b × c) = (a × b) × c
3. Es gibt ein Element, das nichts bewirkt (neutrales Element): a × 1 = 1 × a = a
4. Es gibt ein Spiegelbild (inverses Element) zu jedem Element: 1/a hat die Eigenschaft, beim Verknüpfen mit a das neutrale Element zu ergeben: a × 1/a = 1/a × a = 1

(Spezialfall: 5. Wenn man zudem noch die Operanden vertauschen darf, also a × b = b × a gilt (Kommutativität), dann liegt eine Abelsche Gruppe vor.)

Beispiele für (sämtliche Abelsche) Gruppen sind die ganzen Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Z

mit der Addition "+" als Verknüpfung und der Null als neutralem Element, oder die rationalen Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Bbb Q
ohne Null mit der Multiplikation "×" als Verknüpfung und der Eins als neutralem Element. Die Null muss hierbei ausgeschlossen werden, da sie kein inverses Element besitzt. ("1/0" ist nicht definiert.)

Mathematische Definition des Gruppenbegriffs

Definition

Das Tripel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (G,\circ,e)

mit einer Menge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G

, einer zweistelligen Verknüpfung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \circ:G\times G\rightarrow G

und einem Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e\in G
heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

• Abgeschlossenheit: Für alle Gruppenelemente Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a, b \in G

gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \circ b \in G

• Assoziativität: Für alle Gruppenelemente Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)

• Neutrales Element: Für alle Gruppenelemente Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\circ e = e\circ a = a

• Inverses Element: Zu jedem Gruppenelement Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

existiert ein Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a^{-1}
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\circ a^{-1} = a^{-1}\circ a = e

Eine Gruppe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (G,\circ,e)

heißt abelsch oder kommutativ, wenn die Verknüpfung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \circ
symmetrisch ist, d.h. wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

• Kommutativität: Für alle Gruppenelemente Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b
gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\circ b = b\circ a

.

Bemerkungen zur Notation

Häufig wird für die Verknüpfung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \circ

das Symbol Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cdot
benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Gruppe. Das neutrale Element heißt dann auch Einselement und wird durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1
symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden.

Eine additiv geschriebene Gruppe liegt vor, wenn für die Verknüpfung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \circ

das Symbol Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): +
benutzt wird. Das neutrale Element heißt dann auch Nullelement und wird durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0
symbolisiert. Das zum Gruppenelement Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
inverse Element wird in einer additiv geschriebenen Gruppe nicht durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a^{-1}

, sondern durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -a

symbolisiert.

Üblich ist die additive Schreibweise bei Abelschen Gruppen, während nicht Abelsche oder beliebige Gruppen zumeist multiplikativ geschrieben werden.

Wenn das neutrale Element einer Gruppe klar ist, kann anstelle von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (G,\circ,e)

auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (G,\circ)
geschrieben werden. Ist auch die Verknüpfung klar, so schreibt man für die Gruppe üblicherweise nur Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G

.

Abschwächung der Definition

Die Gruppenaxiome können formal abgeschwächt werden, indem man die Axiome für das neutrale und das inverse Element folgendermaßen ersetzt:

• Linksneutrales Element: Für alle Gruppenelemente Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e\circ a = a

.

• Linksinverses Element: Zu jedem Gruppenelement Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

existiert ein Gruppenelement Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a^{-1}
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a^{-1}\circ a = e

.

Diese formal schwächere Definition ist äquivalent zu der ursprünglichen Definition, denn es gilt:

• Das linksinverse Element ist auch rechtsinvers, denn für beliebiges Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\in G

gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\circ a^{-1} = e \circ (a \circ a^{-1}) = ((a^{-1})^{-1} \circ a^{-1}) \circ (a \circ a^{-1}) = (a^{-1})^{-1}\circ ((a^{-1} \circ a) \circ a^{-1})

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =(a^{-1})^{-1} \circ (e \circ a^{-1}) = (a^{-1})^{-1} \circ a^{-1} = e

• Das linksneutrale Element ist auch rechtsneutral, denn für beliebiges Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\in G

gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\circ e = a\circ (a^{-1}\circ a) = (a\circ a^{-1}) \circ a = e\circ a = a

Grundlegende Eigenschaften einer Gruppe

• Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt
• Das zu einem Gruppenelement Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

inverse Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a^{-1}
ist eindeutig bestimmt.

Grundkonzepte der Gruppentheorie

Ordnung einer Gruppe

Die Mächtigkeit (Kardinalität) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |G|

der Trägermenge der Gruppe nennt man Ordnung der Gruppe oder kurz Gruppenordnung. Für endliche Mengen ist dies einfach die Anzahl der Elemente.

Ordnung von Elementen

Hauptartikel: Ordnung eines Gruppenelementes

Ergibt ein Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

der Gruppe endlich viele Male mit sich selbst verknüpft das neutrale Element 1, d. h. es gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a^n = 1

, so nennt man das kleinste derartige Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

die Ordnung des Elements Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

. Falls kein solches Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

existiert, sagt man, dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
unendliche Ordnung hat. In beiden Fällen entspricht die Ordnung des Elements der Ordnung der von ihm erzeugten Untergruppe.

Davon ausgehend kann man zeigen, dass die Ordnung jedes Elements einer endlichen Gruppe endlich ist und die Gruppenordnung teilt.

Untergruppen

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H

eine Teilmenge der Trägermenge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G
einer Gruppe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (G,\circ)
und gelten für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (H,\circ)
die Gruppenaxiome, so nennt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H
eine Untergruppe von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G

.

Hierzu ein wichtiger Satz: (Satz von Lagrange) Die Kardinalität (Anzahl Elemente) jeder Untergruppe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H

einer endlichen Gruppe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G
ist Teiler der Kardinalität der Gruppe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G

. Ist speziell Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |G|

eine Primzahl, dann hat Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G
nur die (trivialen) Untergruppen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{e\}
(bestehend aus dem neutralen Element) und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G
selbst.

Nebenklassen

Definiert man auf der Menge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G

die Relation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sim
durch:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \sim b \Leftrightarrow a^{-1}b \in H ,

erhält man eine Äquivalenzrelation auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G . Die sog. Äquivalenzklasse zu einem Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \in G

(d.h. diejenigen Elemente Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b

, so dass zwischen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b
die Relation besteht), ist die Menge

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{a \circ u \mid u \in H\}

und bezeichnet sie durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \circ H

oder kurz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): aH

. Da diese Menge alle Elemente von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G

enthält, die durch Linksverknüpfung mit dem Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
mit sämtlichen Elementen aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H
entstehen, heißt sie Linksnebenklasse von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H
nach dem Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

.

Die Menge aller Linksnebenklassen von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H

bezeichnet man mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G/H

.

Definiert man eine andere Relation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \sim b

durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \sim b \leftrightarrow ab^{-1} \in H ,

so ergibt sich die Menge der zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

äquivalenten Elemente in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G
als

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{u \circ a \mid u \in H\} .

Diese Menge entsteht also durch Rechtsverknüpfung der Elemente aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H

mit dem Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

sie wird entsprechend mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H \circ a

oder kurz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Ha
bezeichnet und Rechtsnebenklasse von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H
nach dem Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
genannt.

Beispiel: Man nehme die ganzen Zahlen mit der Addition als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G . Dann ist die Menge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H

aller ganzzahligen Vielfachen von 3 eine Untergruppe. Bildet man die rechten Nebenklassen, so erhält man folgende Tabelle:

H     H+1   H+2  H+3=H  H+4=H+1 ...

...   ...   ...
-6    -5    -4
-3    -2    -1
 0     1     2
 3     4     5
 6     7     8
...   ...   ...

Man sieht, dass diese Tabelle wieder genau alle ganzen Zahlen enthält, wobei keine Zahl zweimal vorkommt. Für endliche Gruppen besagt der Satz von Lagrange: Die Anzahl der Nebenklassen multipliziert mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |H|

ergibt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |G|

.

Die Spalten sind genau die Teilungsreste bei der Division durch 3. Jetzt mag man versucht sein, hier nur mit den Nebenklassen zu rechnen, also modulo 3, und sich fragen, ob es so ein Konzept zu jeder Untergruppe für beliebige Gruppen gibt. Dies führt zur folgenden Definition:

Normalteiler

Ist für jedes Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a \in G

die linke Nebenklasse von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H
gleich der rechten, d.h. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): aH=Ha

, so nennt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H

einen Normalteiler von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G

.

Ein Sonderfall ist: In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe Normalteiler.

Faktorgruppe

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Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Gruppentheorie, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.

Damit können wir nun unser Konzept des Rechnens auf den Nebenklassen umsetzen: Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H

ein Normalteiler, dann kann man auch nur mit den Nebenklassen rechnen und erhält eine Gruppe.

Dies geht wie folgt: man nimmt irgendein Element aus der einen Nebenklasse und verknüpft es mit einem beliebigen Element aus der anderen Nebenklasse. Die Nebenklasse, in der das Ergebnis liegt, ist das Ergebnis der zu definierenden Verknüpfung. Diese Definition ist konsistent, da das Ergebnis von der Wahl der Elemente unabhängig ist.

Die mit dieser Verknüpfung und den Spalten (Nebenklassen) als Elementen definierte Gruppe nennt man die Faktorgruppe von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G

bezüglich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): H

.

Zyklische Gruppen

Gibt es in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G

ein Element Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

, so dass man jedes andere Element als Potenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a^n

(mit einer ganzen Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

, die auch negativ sein darf) schreiben kann, so nennt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G

eine zyklische Gruppe und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
erzeugendes Element.

Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen

Eine nicht-triviale Gruppe heißt einfach, wenn sie keine Normalteiler außer der trivialen Gruppe und sich selbst hat. Die einfachen Gruppen spielen eine wichtige Rolle als "Grundbausteine" von Gruppen.

Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert. Sie lassen sich in einer von 18 Familien endlicher einfacher Gruppen und 26 Ausnahmen, die sporadischen Gruppen einteilen.

Ausblick

Die Eigenschaften endlicher Gruppen lassen sich mit dem Zauberwürfel veranschaulichen, der seit seiner Erfindung vielfach als Unterrichtsmittel im akademischen Unterricht Einsatz gefunden hat, weil die Permutationen der Ecken- und Kantenelemente des Würfels ein sichtbares und handgreifliches Beispiel einer Gruppe darstellen.

Es gibt auch Verallgemeinerungen der Gruppentheorie. Eine Herangehensweise ist die Definition der Halbgruppen und Monoide: Für Halbgruppen wird nur die Assoziativität verlangt. Existiert in einer Halbgruppe ein neutrales Element, so spricht man von einem Monoid.

Eine andere Verallgemeinerung stellen die Quasigruppen dar.

Anwendung in der Chemie

Die Chemie beschäftigt sich mit Molekülen. Die Koordinaten der Atome der Moleküle in ihrer Gleichgewichtskonformation lassen sich mit Hilfe von Symmetrieoperationen (Spiegelung, Drehung, Inversion, Drehspiegelung) auf sich selbst abbilden. Die Symmetrieoperationen haben die Eigenschaften von Gruppen, die sog. Punktgruppen. Außerdem kann gezeigt werden, dass die Gruppentheorie auch für die Symmetrie von Funktionen gilt, also auch für Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.

Beispielanwendungen aus der Chemie

• Quantenchemie
  • Der Rechenaufwand von quantenchemischen Rechnungen kann unter Benutzung der Gruppentheorie erheblich verringert werden, z.B. hat ein Hamilton-Operator die gleiche Symmetrie wie sein System.
  • Weiterhin ist sie hilfreich zur Beschreibung von SALKs (Symmetrieadaptierten Linearkombinationen aus Atomorbitalen), was in der MO-Theorie und Ligandenfeldtheorie Anwendung findet.
  • Weiterhin findet die Gruppentheorie Anwendung bei der Theorie der Erhaltung der Orbitalsymmetrie (siehe: Woodward-Hoffmann-Regeln).

• Spektroskopie
  • Die Gruppentheorie ist auch für die IR-Spektroskopie von Bedeutung, IR-, Raman-Eigenschaften, Vorhandensein von Quadrupol- und Octopolmoment können direkt aus der Charaktertafel eines Moleküls abgelesen werden.
  • In der NMR-Spektroskopie sind Protonen, die sich durch Spiegelung aufeinander abbilden lassen chemisch äquivalent und ergeben darum im Spektrum die gleiche chemische Verschiebung.

• Physikalische Eigenschaften
  • Ein permanentes Dipolmoment können nur Moleküle der Punktgruppen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): C_{nv}

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): C_2
haben

• • Chiralität/optische Aktivität
    • Moleküle, die keine Drehspiegelachse Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S_n

aufweisen, sind chiral und daher optisch aktiv, z.B. Brom-chlor-iod-methan

• • • Moleküle, die eine Spiegelachse haben, sind nicht optisch aktiv, auch wenn sie chirale Zentren enthalten, z.B. Meso-Verbindungen. Chirale Katalysatoren in der enantioselektiven Synthese enthalten oft Liganden mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): C_2

-Symmetrie, damit sich definierte Komplexe bilden.

• Kristallographie
  • In der Kristallographie kommt die Gruppentheorie in Form von Kristallographischen Raumgruppen vor.

Anwendung in der Physik

Die Symmetriegruppen der Kristalle werden selbstverständlich auch für die Festkörperphysik verwandt.

Zudem baut die Quantenmechanik vielfach auf Symmetriegruppen und Lie-Gruppen auf. So werden die Elektronenspinzustände durch die Paulischen Spinmatrizen-Gruppe beschrieben. Auch in der Kernphysik werden gruppentheoretische Überlegungen zur Beschreibung des Kernaufbaus verwandt. In der Teilchenphysik und den Quantenfeldtheorien schließlich findet die Gruppentheorie Anwendung als Ordnungsschema.

Siehe auch

• Hierarchie mathematischer Strukturen
• Liste gruppentheoretischer Artikel
• Symmetrische Gruppe
• Abelsche Gruppe
• Zauberwürfel
• Liste kleiner Gruppen

Weblinks

• Gruppenzwang – eine Einführung in die Gruppentheorie auf Matroids Matheplanet

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