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Fehlerfortpflanzung
Aus Fotonexus.
Von Fehlerfortpflanzung wird gesprochen, wenn aus fehlerhaften Größen mittels einer Formel ein Ergebnis ausgerechnet wird. Die Fehler pflanzen sich in einem Fehler des Ergebnisses fort. Von diesem gilt es, die tatsächliche oder im ungünstigsten Fall mögliche oder wahrscheinliche Größe zu bestimmen.
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe
- Häufig will man ein Ergebnis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y
aus einer Größe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x oder im allgemeinen Fall aus mehreren Größen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1 , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_2 , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cdots berechnen. Mit fehlerbehafteter Bestimmung der Eingangsgröße(n) wird auch die Ausgangsgröße falsch berechnet. Nach groben Fehlern muss man neu rechnen. Sonst ist es eher angebracht, nur die Auswirkung des Fehlers bzw. der Fehler auf das Ergebnis zu bestimmen.
- Mathematisch gesagt: Hat man eine Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y= y(x_1 \,,\ x_2 \,,\ \cdots\ )
mit mehreren unabhängigen Variablen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i , die um ein kleines Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x_i falsch sind, so wird auch das Ergebnis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y falsch um ein kleines Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y
. Dieses Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y
sollte man berechnen können.
- Messtechnisch gesagt: Hat man ein Messergebnis aus Messwerten verschiedener Größen auszurechnen, wobei diese Messwerte von ihren richtigen Werten abweichen, so wird man ein Ergebnis berechnen, das entsprechend auch vom richtigen Ergebnis abweicht. Die Größe der Abweichung im Messergebnis sollte man abschätzen können.
Möglichkeiten - Einschränkungen
Systematische Fehler
Systematische Fehler sind im Prinzip bestimmbar, sie haben einen Betrag und ein Vorzeichen.
- Beispiel: Man will die in einem Verbraucher umgesetzte elektrische Leistung berechnen und dazu den Strom durch den Verbraucher messen. Dazu schaltet man einen Strommesser in die Leitung. An dem Messgerät fällt aber eine Spannung ab; dadurch wird die Spannung am Verbraucher kleiner als die Speisespannung; dadurch wird bei einem ohmschen Verbraucher der Strom auch kleiner; man misst etwas zu wenig (negativer Fehler, der sich bei bekannter Speisespannung und bei bekanntem Messgeräte-Innenwiderstand ausrechnen lässt). Die aus Speisespannung und gemessenem Strom berechnete Leistung, wird damit auch zu niedrig angegeben.
Bei systematischen Fehlern der Eingangsgrößen lässt sich mittels der Fehlerfortpflanzungs-Regeln der systematische Fehler der Ausgangsgröße berechnen.
Messgerätefehler
Ferner kann man nicht davon ausgehen, dass die vom Messgerät erfasste Größe richtig angezeigt wird. In seltenen Fällen kennt man anhand einer Fehlerkurve zu dem Messwert den zugehörigen systematischen Fehler. Im Allgemeinen kennt man von einem Messgerätefehler nur dessen Grenzwert, die Fehlergrenze.
- Beispiel: Kann man den Strom im obigen Beispiel nur mit einer Fehlergrenze von 4 % bestimmen, kann die Fehlergrenze der Leistung nicht niedriger sein.
Bei Fehlergrenzen der Eingangsgrößen lässt sich mittels der Fehlerfortpflanzungs-Regeln die Fehlergrenze der Ausgangsgröße berechnen.
Zufällige Fehler
Soweit bisher behandelt, hat man mehrere Eingangsgrößen (unabhängige Variable, Messgrößen) und davon jeweils nur einen Wert. Anders ist es bei zufälligen Fehlern, die man erkennt, wenn von einer Eingangsgröße mehrere Werte vorliegen, - gewonnen durch wiederholte Bestimmung (Messung) unter konstanten Bedingungen. Die Abschätzung zufälliger Fehler führt auf eine Komponente der Messunsicherheit. Ihre Bestimmung ist ein Ziel der Fehlerrechnung.
Bei Unsicherheiten der Eingangsgrößen lässt sich mittels der Fehlerfortpflanzungs-Regeln die Unsicherheit der Ausgangsgröße berechnen.
Bei Messgerätefehlern kann man gemäß DIN 1319 davon ausgehen, dass der Betrag des zufälligen Fehlers wesentlich kleiner ist als die Fehlergrenze (anderenfalls ist auch der zufällige Fehler bei der Festlegung der Fehlergrenze zu berücksichtigen). Bei voneinander unabhängigen Messwerten, deren Qualität von den Fehlergrenzen der Messgeräte bestimmt wird, ist die Untersuchung zufälliger Fehler dann aber nicht sinnvoll.
Regeln zur Fehlerfortpflanzung
Fehler
Eine fehlerbehaftete Größe
Der Einfluss einer fehlerbehafteten Eingangsgröße Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
auf das Ergebnis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y kann mittels der Taylorreihe abgeschätzt werden:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y = y(x)\quad \Rightarrow \quad y(x+ \Delta x)= y(x) + \frac{1}{1!}\ \frac{d y(x)}{d x} \cdot \Delta x + \frac{1}{2!}\ \frac{d^2 y(x)}{d x^2}\cdot (\Delta x)^2 + \cdots\
.
Bei genügend kleinem Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\Delta x|
kann man die Reihenentwicklung nach dem linearen Glied abbrechen, und man erhält dann die Näherungslösung
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): . \qquad \qquad \qquad \qquad y(x+ \Delta x)- y(x) = \Delta y = \frac{d y}{d x} \cdot \Delta x \; .
Dieses liefert eine Regel zur Fehlerfortpflanzung, wenn man die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta
-Werte als absolute Fehler ansieht.
- Anwendung bei Proportionalität
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y = c \cdot x \quad \ \Rightarrow \quad \Delta y=c \cdot \Delta x \quad ; \quad \frac{\Delta y}{y} = \frac{\Delta x}{x}
- Für die Ausgangsgröße Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y
enthält deren absoluter Fehler Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y die spezielle Proportionalitätskonstante Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
. Besser rechnet man mit dem relativen Fehler Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y/y , der unabhängig von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
ist und stets genauso groß wie der relative Fehler Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x/x der Eingangsgröße Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
.
- Anwendung bei umgekehrter Proportionalität (Kehrwertbildung)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y = \frac{c}{x} \quad \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta y}{y} = - \frac{\Delta x}{x}
- Die Ausgangsgröße hat denselben Betrag des relativen Fehlers wie die Eingangsgröße, aber entgegengesetztes Vorzeichen.
Mehrere fehlerbehaftete Größen
Bei mehreren voneinander unabhängigen Eingangsgrößen verwendet man den entsprechenden mathematischen Ansatz mit der Reihenentwicklung bis zum linearen Glied als Näherungslösung für kleine Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\Delta x_i|
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y = y(x_1\,,\ x_2\,,\ \dots \ )\quad \Rightarrow \quad \Delta y = \frac{\partial y}{\partial x_1} \cdot \Delta x_1 + \frac{\partial y}{\partial x_2} \cdot \Delta x_2 +\cdots \
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y
: Gesamtfehler Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F_y des Ergebnisses Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x_i
: Fehler Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F_i der Eingangsgröße Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x_i /x_i
: relativer Fehler Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_i der Eingangsgröße Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y /y
: relativer Fehler Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_y des Ergebnisses Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y
Die allgemeine Lösung vereinfacht sich für die vier Grundrechenarten:
- Bei Addition Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=x_1 +x_2 \quad \quad F_y = F_1 +F_2
- Bei Subtraktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=x_1 -x_2 \quad \quad F_y = F_1 -F_2
- Bei Multiplikation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=x_1 \cdot x_2 \quad \quad f_y = f_1 +f_2
- Bei Division Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=x_1 :x_2 \quad \quad f_y = f_1 -f_2
Die Fehler können sich ergänzen oder mehr oder weniger aufheben.
Beisp.: Wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1
um 2 % zu groß und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_2 um 3 % zu groß sind:
- Dann wird bei der Multiplikation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y
um 5 % zu groß.
- Dann wird bei der Division Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y
um 1 % zu klein.
Fehlergrenzen
Kennt man nicht die Fehler selber, sondern nur ihre Grenzen, so lässt sich derselbe mathematische Ansatz verwenden, wenn man die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta -Werte als Fehlergrenzen ansieht. Diese sind vorzeichenlos bzw. als Betrag definiert. Für das Ergebnis lässt sich so auch nur die Fehlergrenze ausrechnen; dazu muss man mit der ungünstigsten Vorzeichenkombination rechnen und Beträge addieren.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y = \left| \frac{\partial y}{\partial x_1} \right| \cdot \Delta x_1+ \left|\frac{\partial y}{\partial x_2} \right| \cdot \Delta x_2 + \cdots \
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y
: Gesamtfehlergrenze Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G_y des Ergebnisses Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x_i
: Fehlergrenze Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G_i der Eingangsgröße Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x_i /|x_i |
: relative Fehlergrenze Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_i der Eingangsgröße Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_i
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y /|y|
: relative Fehlergrenze Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_y des Ergebnisses Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y
Die allgemeine Lösung vereinfacht sich bei den vier Grundrechenarten:
- Bei Addition und Subtraktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \quad G_y = G_1 +G_2
- Bei Multiplikation und Division Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \quad g_y =g_1 +g_2
Beisp.: Wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1
um bis 2 % zu groß oder zu klein und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_2 um bis 3 % zu groß oder zu klein sein können:
- Dann kann bei der Multiplikation wie bei der Division Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y
um bis 5 % zu groß oder zu klein sein.
Messunsicherheiten
Eine fehlerbehaftete Größe
Hat man von der Größe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
mehrere mit zufälligen Fehlern behaftete Werte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_i \ mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): i=1...N , so bekommt man gegenüber dem Einzelwert zu einer verbesserten Aussage durch Bildung des arithmetischen Mittels Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar v
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{v}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N{v_i}
Ein Maß für Breite der Streuung der Einzelwerte ist die Standardabweichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s , die über die quadrierten Abweichungen der Einzelwerte vom Mittelwert berechnet wird:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s = \sqrt {\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N{(v_i-\bar{v})^2}}
Ohne systematische Fehler strebt der Mittelwert für große Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N
gegen den richtigen Wert; anschaulich sind hier näherungsweise die quadrierten zufälligen Fehler addiert worden.
Durch eine endliche Zahl der Messwerte unterliegt auch der Mittelwert noch zufälligen Fehlern. Ein Maß für die Breite der Streuung des Mittelwertes ist die Unsicherheit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u =t\cdot \frac{1}{\sqrt{N}}\cdot s
Diese wird umso kleiner, je größer Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N
wird. Der Faktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t
berücksichtigt die gewünschte statistische Sicherheit und die Anzahl der Messungen insoweit, als mit einer kleinen Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N
die statistische Behandlung noch nicht aussagekräftig ist. In der Technik wird vielfach ein Vertrauensniveau von 95 % verwendet, das aussagt, dass der Mittelwert mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % im Bereich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar {v}-u \ \cdots \ \bar {v}+u
liegt. Für dieses Vertrauensniveau und für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N
> 30 ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t
= 2,0.
Verwendet man als Eingangsgröße Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
den Mittelwert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar v
, so wirkt sich dessen Unsicherheit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_x auf die Unsicherheit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_y des Ergebnisses Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y aus. Bei genügend kleinem Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_x kann dieser Wert für die Fehlerfortpflanzung als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x in die lineare Näherung der Taylorreihe eingesetzt werden. Dabei muss man beachten, dass Unsicherheiten als Beträge definiert sind.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y = \frac{dy}{dx} \cdot \Delta x \qquad \qquad \Rightarrow \qquad \qquad u_y =\left| \frac{dy}{dx} \right| \cdot u_x
Mehrere fehlerbehaftete Größen
Bei mehreren voneinander unabhängigen Eingangsgrößen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1 \,,\ x_2 \,,\ \cdots\
seien die Mittelwerte jeweils mit einer Unsicherheit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_1 \,,\ u_2 \,,\ \cdots\ bestimmt worden. Das Ergebnis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y wird aus den Mittelwerten berechnet. Zur Berechnung seiner Unsicherheit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_y beginnt man wieder mit der linearen Näherung bei mehreren unabhängigen Variablen; allerdings muss man – wie bei der Berechnung der Standardabweichung – die quadrierten Beiträge der Einzel-Unsicherheiten einsetzen.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y = \frac{\partial y}{\partial x_1} \cdot \Delta x_1 + \frac{\partial y}{\partial x_2} \cdot \Delta x_2 +\cdots \quad \Rightarrow \quad {u_y}=\sqrt {\left (\frac{\partial y}{\partial x_1} \cdot u_1 \right)^2 +\left (\frac{\partial y}{\partial x_2} \cdot u_2 \right)^2 +\cdots }
Siehe auch
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