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Eine Funktion f mit Definitionsbereich D heißt in der Mathematik gerade Funktion, wenn für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x \in D

auch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -x \in D
ist und folgende Achsensymmetrie gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) = f(-x)\,

.

Beispiele gerader Funktionen sind

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |x|\,, x^2\,, \cos\,x, \mathrm{cosh}\,x

Gerade Funktionen können keine Bijektion darstellen.

Eine Funktion f mit Definitionsbereich D heißt ungerade Funktion, wenn die Punktsymmetrie gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(-x) = -f(x)\,

.

Beispiele ungerader Funktionen sind

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x\,, x^3\,

und andere Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin\, x, \frac{1}{x}, \mathrm{sinh}\,x

Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

eine ungerade Funktion, und ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0\in D

, so gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(0)=0 . Die Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) = 1/x

ist ein Beispiel einer ungeraden Funktion, die für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=0
nicht definiert ist.

Die einzige Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Funktion, die konstant 0 ist.

Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen

• Die Summe zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
• Die Summe zweier ungerader Funktionen ist wieder ungerade.
• Das Produkt zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
• Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
• Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.
• Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade, die Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade.
• Die Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt x = 0 einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur gerade (ungerade) Potenzen.
• Die Fourier-Reihe einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur Cosinus- (Sinus-) Terme.
• Eine beliebige Funktion lässt sich als Summe einer geraden und ungeraden Funktion wie folgt schreiben:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=f_\mathrm{g}(x)+f_\mathrm{u}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}

, mit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_\mathrm{g}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}

dem geraden Anteil der Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)
und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_\mathrm{u}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}

dem ungeraden Anteil der Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)

.

• Berechnet man das bestimmte Integral einer ungeraden Funktion, wobei die Grenzen symmetrisch um Null liegen, ergibt sich Null: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_{-a}^{a} f(x) dx=0

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