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Geosynchrone Umlaufbahn
Aus Fotonexus.
Die Umlaufbahn eines Satelliten heißt geosynchron, wenn seine Umlaufzeit um die Erde der Rotationsdauer der Erde um ihre eigene Achse (23 Stunden, 56 Minuten, 4,09 Sekunden = 1 siderischer Tag) entspricht.
Geosynchrone Umlaufbahnen können stark elliptisch sein und müssen nicht parallel zum Äquator verlaufen. Die große Halbachse der Umlaufbahn beträgt immer 42157 km, was einem Abstand von etwa 35786 km über der Erdoberfläche entspricht.
Der Sonderfall einer geosychronen Umlaufbahn, die keine Exzentrizität hat, also kreisförmig ist, und deren Bahnneigung zum Äquator Null ist, heißt geostationär. Die Bahngeschwindigkeit beträgt dabei stets 3075 Meter pro Sekunde.
Von der Erde aus betrachtet scheint ein geostationärer Satellit am Himmel still zu stehen, da sich der Beobachter auf der Erde mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit bewegt wie der Satellit. Deswegen wird diese Umlaufbahn häufig für Fernseh- und Kommunikationssatelliten verwendet, da die Antennen auf dem Boden fest auf einen bestimmten Punkt ausgerichtet werden können.
Im 1928 erschienenen Buch Das Problem der Befahrung des Weltraums – der Raketenmotor von Herman Potočnik findet sich die erste Veröffentlichung dieser Idee.
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Formeln
Um einen Körper der Masse Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m
mit der Winkelgeschwindigkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega auf einer Kreisbahn mit dem Radius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r zu halten, ist eine Zentripetalkraft der Stärke
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F_1 = m \omega^2 r
erforderlich.
Auf einer Kreisbahn um einen Planeten ist die Schwerkraft (näherungsweise) die einzig wirkende Kraft.
Im Abstand Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r
– vom Mittelpunkt des Planeten ausgehend – kann sie mit der Formel
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F_2 = \frac{G M m}{r^2}
berechnet werden.
Dabei bezeichnet Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G
die Gravitationskonstante und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M die Masse des Planeten.
Da die Schwerkraft also die einzige Kraft ist, die den Körper auf der Kreisbahn hält, muss ihr Wert der Zentripetalkraft entsprechen. Es gilt also:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F_1 = F_2
Es ergibt sich durch Einsetzen:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m \omega^2 r = \frac{G M m}{r^2}
Auflösen nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r
ergibt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r = \sqrt[3]{G \frac{M}{\omega^2}}
Die Kreisfrequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega
ergibt sich aus der Umlaufdauer Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t als:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega = \frac {2 \pi}{t}
Einsetzen in die Formel für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r
ergibt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r = \sqrt[3]{\frac{G}{4 \pi^2} M t^2}
Diese Formel bestimmt nun den Radius der geostationären Umlaufbahn eines Massenschwerpunktes vom Mittelpunkt des betrachteten Planeten ausgehend. Um die Entfernung der Bahn von der Oberfläche des Planeten – also beispielsweise die Höhe eines geostationären Satelliten über der Erdoberfläche – zu erhalten, muss dessen Radius vom Ergebnis subtrahiert werden. Somit haben wir einfach:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h = \sqrt[3]{\frac{G}{4 \pi^2} M t^2} - R_P
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R_P
den Radius des Planeten bezeichnet.
Für einen geostationären Mond oder ein anderes Objekt, welches selbst eine gewisse Ausdehnung besitzt, ist die obige Formel die selbe; um jedoch den Abstand von der Oberfläche eines Planeten zu der Oberfläche eines solchen Mondes zu erhalten, muss zusätzlich zu dem Radius des Planeten noch der Radius des Mondes subtrahiert werden. Ganz allgemein gilt also:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h = \sqrt[3]{\frac{G}{4 \pi^2} M t^2} - (R_P + R_M)
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R_M
den Radius des Mondes bezeichnet.
Berechnung
Aus
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{matrix} G = 6{,}674\cdot10^{-11}\;\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} \\ \pi \approx 3{,}1416 \end{matrix}
ergibt sich
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{G}{4 \pi^2} \approx 1{,}691\cdot10^{-12}\;\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}}
Die Formel lautet also
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r \approx \sqrt[3]{1{,}691\cdot10^{-12}\;\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}}\quad M t^2}
oder
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r \approx 1{,}191\cdot10^{-4}\ \sqrt[3]{1\ \mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}}\quad M t^2}
Für die Erde mit der ungefähren Erdmasse Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M
= 5,9736 · 1024 kg und der Rotationsdauer, also näherungsweise 23 Stunden, 56 Minuten, 4,09 Sekunden = (23 · 60 + 56) · 60 + 4,09 Sekunden = 86164,09 Sekunden gilt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r \approx 1{,}191 \cdot 10^{-4}\ \sqrt[3]{ 1\ \mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} \quad 5{,}9736 \cdot 10^{24}\ \mathrm{kg} \ (86164{,}09\ \mathrm{s})^2 }
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \approx 42157\ \mathrm{km}
vom Erdmittelpunkt. Abzüglich des Erdradiuses Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r_E\approx 6371\ \mathrm{km}
also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h\approx 35786\ \mathrm{km}
von der Erdoberfläche entfernt.
Geschichte
Im Jahr 1945 schlug der Science-Fiction-Autor Arthur C. Clarke vor, Satelliten auf einer geostationären Umlaufbahn zu positionieren. Mit drei Satelliten, jeweils um 120° versetzt, wäre eine Radiokommunikation weltweit möglich. Er nahm an, dass innerhalb der nächsten 25 Jahre Satelliten dort positioniert werden könnten.
Das Bild rechts zeigt das Diagramm, in dem Clarke seine Überlegungen in der Zeitschrift Wireless World zum ersten Mal der Öffentlichkeit vorstellte [1].
Siehe auch
Quellen
Weblinks
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