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Die Normal- oder Gaußverteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß-Funktion, Gauß-Kurve, Gauß-Glocke oder Glockenkurve genannt.

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass eine Summe von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen im Grenzwert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\rightarrow\infty
normalverteilt ist. Das bedeutet, dass man Zufallsvariablen dann als normalverteilt ansehen kann, wenn sie durch Überlagerung einer großen Zahl von Einflüssen entstehen, wobei jede einzelne Einflussgröße einen im Verhältnis zur Gesamtsumme unbedeutenden Beitrag liefert.

Viele natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftliche Vorgänge lassen sich durch die Normalverteilung entweder exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).

Zufallsgrößen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Versuche bei der Bestimmung von Geschwindigkeiten, Messfehlern, Beobachtungsfehlern wie:

• zufällige Beobachtungs- und Messfehler.
• zufällige Abweichungen vom Nennmaß bei der Fertigung von Werkstücken.
• Beschreibung der Brownschen Molekularbewegung.

In der Versicherungsmathematik ist die Normalverteilung geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im Bereich mittlerer Schadenshöhen.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X

mit der  Wahrscheinlichkeitsdichte 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f:\R\to\R,\ x\mapsto f(x)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) = \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)

heißt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu -Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma -normalverteilt, auch geschrieben als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)

oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\mu,\sigma^2)

-normalverteilt, wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu

der Erwartungswert und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma
die Standardabweichung sind. 

Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung ist gegeben durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp\left(-\frac {1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2\right) \mathrm{d}t

.

So sieht die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu=0, \sigma = 1 ) aus. Angegeben sind die Intervalle im Abstand 1, 2 und 3 Standardabweichungen vom Erwartungswert 0, die rund 68%, 95,5% und 99,7% der Fläche unter der Glockenkurve umfassen. Die gleichen Prozentsätze gelten für alle Normalverteilungen in Bezug auf die entsprechenden Erwartungswerte und Standardabweichungen.

Die Normalverteilung ist eine Grenzverteilung, die nicht direkt beobachtet werden kann. Die Annäherung verläuft aber mit wachsendem n sehr schnell, so dass schon die Verteilung einer Summe von 30 oder 40 unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen einer Normalverteilung recht ähnlich ist.

Die Glockenkurve schmückte, neben dem Portrait von Carl Friedrich Gauß platziert, von 1989 bis 2001 die 10-DM-Banknote der Bundesrepublik Deutschland.

Eigenschaften

Symmetrie

Der Graph der Wahrscheinlichkeitsdichte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f:\R\to\R

ist eine Gauß'sche Glockenkurve, welche symmetrisch zum Wert von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \mu 
ist und deren Höhe und Breite von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \sigma 
abhängt.

Mathematisch ausgedrückt wird diese Symmetrie durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(\mu -x) = f(\mu + x)

und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F(\mu -x) = 1 - F(\mu + x)

.

Maximalwert und Wendepunkte der Dichtefunktion

Mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung lassen sich der Maximalwert und die Wendepunkte bestimmen.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\operatorname{d}f(x)}{\operatorname{d}x}= -\frac{x-\mu}{\sigma^2} f(x)

Das Maximum der Dichtefunktion der Normalverteilung liegt demnach bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_{max} = \mu

und

beträgt dort Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_{max} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} .

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\operatorname{d}^2 f(x)}{\operatorname{d}x^2}= \frac 1{\sigma^2}\left(\frac 1{\sigma^2}(x-\mu)^2-1\right) f(x)

Somit liegen die Wendepunkte der Dichtefunktion bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=\mu\pm\sigma .

Normierung

Wichtig ist, dass die gesamte Fläche unter der Kurve gleich 1 ist, also der Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses entspricht. Somit folgt, dass wenn zwei Gauß'sche Glockenkurven dasselbe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu , aber unterschiedliche Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma -Werte haben, jene Kurve mit dem größeren Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma

breiter und niedriger ist (da ja beide zugehörigen Flächen jeweils den Wert von 1 haben und nur die Standardabweichung (oder „ Streuung“) höher ist). Zwei Glockenkurven mit dem gleichen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \sigma 

, aber unterschiedlichen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu

haben gleich aussehende Graphen, die jedoch auf der x-Achse um die Differenz der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \mu 

-Werte zueinander verschoben sind.

Da sich das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt, wurde für die Berechnung früher meist auf Tabellen zurückgegriffen (siehe dazu die Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung); heutzutage sind entsprechende Zellenfunktionen in üblichen Tabellenkalkulationsprogrammen stets verfügbar. Tabellen wie Zellenfunktionen gelten aber in der Regel nicht für beliebige Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu - und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma -Werte, sondern nur für die Standardnormalverteilung, bei der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu=0

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \sigma=1 
ist (man spricht auch von einer 0-1-Normalverteilung oder normierten Normalverteilung).

Die Tabellen sind also für die Wahrscheinlichkeitsfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Phi

(auch Gauß'sches Fehlerintegral genannt) mit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Phi(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^z e^{-\frac 12 t^2} \mathrm{d}t

ausgelegt. Analog dazu wird die zugehörige normierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \phi 
bezeichnet.

Ist nun eine beliebige Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu -Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma -Verteilung gegeben, so muss diese nur in eine Standardnormalverteilung transformiert werden.

Erwartungswert

Die Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{E}(X) =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\operatorname{d}x = \mu

.

Varianz und Standardabweichung

Die Varianz ergibt sich analog zu

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2 \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\operatorname{d}x = \sigma^2

.

Für die Standardabweichung ergibt sich

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt{\operatorname{Var}(X)} = \sigma

.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{VarK}(X) = \frac{\sigma}{\mu}

.

Schiefe

Die Schiefe besitzt unabhängig von den Parametern Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma
immer den Wert 0.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)

hat die Form

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi_{X}(s) = \operatorname{E}(e^{is(\sigma Z + \mu)}) = \operatorname{E}(e^{is\sigma Z}e^{is\mu}) = e^{is\mu}\operatorname{E}(e^{is\sigma Z}) = e^{is\mu}\varphi_{Z}(\sigma s) = \exp\left(is\mu-\frac{\sigma^2 s^2}2\right)

. mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z \sim \mathcal{N}(0, 1) .

Für die Standardnormalverteilung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X \sim \mathcal{N}(0,1)

vereinfacht sich die charakteristische Funktion zu

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \phi_{X}(s)	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{isx} e^{-\frac{x^2}2} \operatorname{d}x	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-is)^2}2} e^{-\frac{s^2}2} \operatorname{d}x
	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{s^2}2} \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\frac{-x^2}2} \operatorname{d}x	Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = e^{-\frac{s^2}2} .

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Normalverteilung ist

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_X(s) = \exp\left(\mu s+\frac{\sigma^2 s^2}2\right)

.

Invarianz gegenüber Faltung

Die Normalverteilung ist invariant gegenüber der Faltung, d. h. die Faltung einer Gaußkurve der Halbwertsbreite Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma_a

mit einer Gaußkurve der Halbwertsbreite Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma_b
ergibt wieder eine Gaußkurve mit der Halbwertsbreite Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma_c = \sqrt{\Gamma_a^2 + \Gamma_b^2}

.

Anders gesprochen, die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsgrößen ist wieder normalverteilt. Speziell ist das arithmetische Mittel Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

unabhängiger und normalverteilter Zufallsgrößen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2)
wieder eine normalverteilte Zufallsgröße mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z \sim \mathcal{N}(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mu_i, \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma_i^2)

.

Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist ein Fixpunkt der Fourier-Transformation, d.h. die Fourier-Transformierte einer Gaußkurve ist wieder eine Gaußkurve. Das Produkt der Standardabweichungen dieser korrespondierenden Gaußkurven ist konstant; es gilt die Heisenbergsche Unschärferelation.

Entropie

Die Normalverteilung hat unter den Verteilungen mit gleicher Varianz die größte Entropie.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s^2 = \frac 1{n- 1} \sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}

Mehrdimensionale Verallgemeinerung

Das Wahrscheinlichkeitsmaß Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{N}^n(0,1)

auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^n

, das durch die Dichtefunktion

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f: \R^n \to \R,\ (x_1,\ldots,x_n) \mapsto {1 \over \sqrt{(2\pi)^n}} \exp\bigg(-{1 \over 2} \sum_{i=1}^n x_i^2 \bigg)

definiert wird, heißt Standardnormalverteilung der Dimension Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n . Ein Zufallsvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X = (X_1,\ldots,X_n)

ist genau dann standardnormalverteilt auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R^n
, wenn seine Komponenten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_1,\ldots,X_n
standardnormalverteilt und stochastisch unabhängig sind.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P

auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \R^n
heißt 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n -dimensionale Normalverteilung, wenn eine Matrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A \in \R^{n \times n}

und ein Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b \in \R^n

existieren, so dass mit der affinen Abbildung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u: \R^n \to \R^n,\ x \mapsto Ax+b
gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u^{-1}(P) = \mathcal{N}^n(0,1) .

Die multivariate Normalverteilung ist die einzige rotationssymmetrische multivariate Verteilung, deren Komponenten stochastisch unabhängig sind.

Die Dichtefunktion der zweidimensionalen Normalverteilung mit einem Korrelationskoeffizienten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho

ist 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \, \cdot \, \exp \left[ \left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\right) \left( \left(\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 -2\rho\,\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\,\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}+ \left(\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2\right)\right]

und schließlich im Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n -dimensionalen Fall

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_X(x_1, \cdots, x_N) = \frac {1} {(2\pi)^{N/2} \left|\Sigma\right|^{1/2}} \exp \left( -\frac 12 (x-\mu)^\top \Sigma^{-1} (x-\mu) \right)

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |\Sigma|

als der Determinante der Kovarianzmatrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Sigma

.

Beziehungen zu anderen Verteilungsfunktionen

Transformation zur Standardnormalverteilung (z-Transformation)

Ist eine Normalverteilung mit beliebigen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \sigma 
gegeben, so kann diese durch eine Transformation auf eine Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{N}(0,1)

-Normalverteilung zurückgeführt werden. Dazu wird die Verteilungsfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F(x)

der allgemeinen Normalverteilung mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  u=\frac{t-\mu}{\sigma} 
substituiert und die Integralgrenzen werden angepasst:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F(x) = \frac 1{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^x e^{-\frac 12 \cdot \left( \frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm{d}t

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \frac 1{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot \int_{\frac{-\infty-\mu}{\sigma}}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} e^{-\frac 12 u^2} \mathrm{d}u \cdot \sigma

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \frac 1{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}} e^{-\frac 12 u^2} \mathrm{d}u

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =\Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)

Wird nun Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z:= \frac{x-\mu}{\sigma}

definiert und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  u 
durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  t 
ersetzt, so erhält man die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Phi(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^z e^{-\frac 12 t^2} \mathrm{d}t

Geometrisch betrachtet entspricht die durchgeführte Substition einer flächentreuen Transformation der Glockenkurve von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{N}(\mu;\sigma^2)

zur Glockenkurve von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \mathcal{N}(0;1) 

.

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Die Normalverteilung kann zur Approximation der Binomialverteilung verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

hinreichend groß und in der Grundgesamtheit der Anteil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p
der gesuchten Eigenschaft nicht zu klein ist. Als Faustregel dafür gilt: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): np(1-p)\geq 9

.

Das bedeutet für die Standardabweichung: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma\geq 3

Allgemeines

Um 1900 postulierte Max Planck das Energiequantum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h\nu , um die Energieverteilung der schwarzen Strahlung erklären zu können und es wurde daraufhin in vielen anderen Erscheinungen der Natur wiederentdeckt. Der bis dahin geltende Satz 'natura non facit saltus' - die Natur macht keine Sprünge - wurde wirksam widerlegt und zeigt auch, dass viele Phänomene, die oberflächlich für stetig gehalten werden, bei sehr genauer Betrachtung doch nichtstetig bzw. sprunghaft sind.

Die Normalverteilung liefert für diese Vorgänge eine sehr gute Approximation, denn viele endliche Zufallsvariablen sind näherungsweise normalverteilt. Eine in der Natur oft anzutreffende Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung. Auch sie lässt sich in sehr guter Näherung mit der Normalverteilung beschreiben. Mathematisch wird dies durch den Grenzwertsatz belegt. Er besagt in diesem Fall, dass sich die nichtstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die sich aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

voneinander unabhängigen Zufallsgrößen ergibt, mit steigenden Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  n 
immer besser an die Normalverteilung angleicht. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  n 
ist dabei die Anzahl der voneinander unabhängigen Zufallsversuche, von denen jeder einzelne eine Zufallsgröße ergibt.

Ein Beispiel für diese Angleichung der Häufigkeitsverteilung an die Normalverteilung ist folgender Würfelversuch: Gegeben seien zwei normale Würfel, wobei jeder eine Augenzahl von eins bis sechs aufweist. Sie sollen nun Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

mal geworfen werden, d. h. es werden Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  n 
voneinander unabhängige Zufallsversuche durchgeführt. Bei jedem Versuch berechnet sich das Ergebnis aus der Gesamtanzahl der geworfenen Augen. Insgesamt werden einige hundert Würfe gemacht, wobei die Anzahl der gleichen Ergebnisse gezählt wird. Diese Häufigkeit kann anschließend in ein Diagramm eingetragen werden. Die resultierende Verteilung ist bei sehr wenigen Würfen rein zufällig, bei sehr hohen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  n 
wird sie hingegen der Gauß'schen Glockenkurve (mit dem Erwartungswert von 7) immer ähnlicher, trotzdem ist sie immer noch diskret verteilt (d. h. der Graph besteht aus kleinen Stufen).

Approximation

Ist eine Binomialverteilung (Bernoulli-Versuch) mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

voneinander unabhängigen Stufen (bzw. Zufallsversuchen) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  p 
gegeben, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k
Erfolge allgemein durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  P(X=k)= {n \choose k} \cdot p^k\cdot q^{n-k} 
für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  k=0,1,\dots,n 
berechnen (wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  q=1-p 
ist).

Für sehr große Werte von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

kann diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden (zentraler Grenzwertsatz). Dabei ist

• der Erwartungswert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu=n\cdot p

• und die Standardabweichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma=\sqrt{n\cdot p \cdot q }

Ist nun Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma > 3 , dann ist folgende Näherung brauchbar:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(x_1 \leq X \leq x_2) = \underbrace{\sum_{k=x_1}^{x_2} {n \choose k} \cdot p^k\cdot q^{n-k}}_{\mathrm{BV}} \approx \underbrace{\Phi\left(\frac{x_2+0,5-\mu}{\sigma}\right) -\Phi\left(\frac{x_1-0,5-\mu}{\sigma}\right)}_{\mathrm{NV}}\,

Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert, um eine bessere Approximation bei einer geringen Standardabweichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma

gewährleisten zu können. Dies nennt man auch Stetigkeitskorrektur. Nur wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \sigma 
einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden.

Da die Binomialverteilung diskret ist, muss auf einige Punkte geachtet werden:

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): <

oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \leq 
(und auch größer und größer gleich) müssen beachtet werden (was ja bei der Normalverteilung nicht der Fall ist). Deshalb muss bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  P(X_{BV}<x) 
die nächstkleinere natürliche Zahl gewählt werden, d. h. 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(X_{BV}<x)=P(X_{BV}\leq x-1)

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  P(X_{BV}>x)=P(X_{BV}\geq x+1) 

damit mit der Normalverteilung weitergerechnet werden kann.

z. B. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(X_{BV}<70)=P(X_{BV}\leq 69)

• Außerdem ist

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(X_{BV} \leq x) = P(0 \leq X_{BV} \leq x)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(X_{BV} \geq x) = P(x \leq X_{BV} \leq n)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(X_{BV} = x) = P(x \leq X_{BV} \leq x)

(unbedingt mit Stetigkeitskorrektur)

und lässt sich somit durch die oben angegebene Formel berechnen.

Der große Vorteil der Approximation liegt darin, dass sehr viele Stufen einer Binomialverteilung sehr schnell und einfach bestimmt werden können.

Beziehung zur Cauchy-Verteilung

Der Quotient von zwei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{N}(0,1)

standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist Cauchy-verteilt.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

• Die Summe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_n=Z_1^2 + \ldots + Z_n^2

von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
unabhängigen quadrierten standardnormalverteilten Zufallsvariablen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z_i\sim \mathcal{N}(0,1) (i=1,\ldots,n)
genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_n\sim\chi^2_n
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
Freiheitsgraden.

• Die Summe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_{n-1}=\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n} (Z_{i}-\overline Z)^{2}

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline Z:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Z_i
von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
unabhängigen quadrierten standardnormalverteilten Zufallsvariablen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z_i\sim \mathcal{N}(0,1) (i=1,\ldots,n)
genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_{n-1}\sim\chi^2_{n-1}
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n-1
Freiheitsgraden.

Die Chi-Quadrat-Verteilung wird zur Konfidenzschätzung für die Varianz einer normalverteilten Grundgesamtheit verwendet.

Beziehung zur logarithmischen Normalverteilung

Ist die Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X

normalverteilt mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})

, dann ist die Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Y=e^{X}

logarithmisch-normalverteilt mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{LN}(\mu,\sigma^{2})

.

Die Entstehung einer logarithmischen Normalverteilung ist auf multiplikatives, die einer Normalverteilung auf additives Zusammenwirken vieler Zufallsgrößen zurückführen.

Beziehung zur F-Verteilung

Wenn die identischen normalverteilten Zufallsvariablen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_1^{(1)}, X_2^{(1)}, \dots , X_n^{(1)}

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_1^{(2)}, X_2^{(2)}, \dots , X_n^{(2)}
die Parameter

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E(X_{i}^{(1)})=\mu_{1}, \sqrt{Var(X_{i}^{(1)})}=\sigma_{1}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E(X_{i}^{(2)})=\mu_{2}, \sqrt{Var(X_{i}^{(2)})}=\sigma_{2}

mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma_{1}=\sigma_{2}=\sigma

besitzen, dann unterliegt die Zufallsvariable

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Y_{n_{1}-1,n_{2}-1}:=\frac{(n_{2}-1)\sum\limits_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}^{(1)}-\bar{{X}}^{(1)})^{2}} {(n_{1}-1)\sum\limits_{j=1}^{n_{2}}(X_{i}^{(2)}-\bar{{X}}^{(2)})^{2}}

einer F-Verteilung mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): ((n_{1}-1,n_{2}-1))

Freiheitsgraden. Dabei sind

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \bar{X}^{(1)}=\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}X_{i}^{(1)}\quad \bar{X}^{(2)}=\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}X_{i}^{(2)}

.

Beziehung zur Students-t-Verteilung

Wenn die unabhängigen Zufallsvariablen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_1, X_2, \dots , X_n

identisch normalverteilt sind mit den Parametern Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma

, dann unterliegt die stetige Zufallsgröße

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Y_{n-1}=\frac{\bar{X}-\mu}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}}{n-1}}}\sqrt{n}

einer Students t-Verteilung mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (n-1)

Freiheitsgraden.

Die Students t-Verteilung wird zur Konfidenzschätzung für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariable bei unbekannter Varianz verwendet.

Rechnen mit der Standardnormalverteilung

Bei Aufgabestellungen, bei denen die Wahrscheinlichkeit für normalverteilte Zufallsvariablen durch die Standardnormalverteilung ermittelt werden soll, ist es nicht nötig, die oben angegebene Transformation jedesmal durchzurechnen. Stattdessen wird einfach das Ergebnis der Transformation verwendet, um die Grenzen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1 , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_2

und die Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  X 
auf die Grenzen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  z_1 

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z_2

und die Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  Z 
anzugleichen. Somit kann eine Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \mathcal{N}(\mu;\sigma^2) 
Verteilung durch 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z=\frac {x-\mu}{\sigma}

   beziehungsweise   Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z=\frac {X-\mu}{\sigma}

zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{N}(0;1)

transformiert werden.

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, welches z. B. innerhalb der Werte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  x_2 
(für den Erwartungswert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \mu 
und die Standardabweichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \sigma 

) liegt, ist durch folgende Umrechnung gleich der Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung mit den neuen Grenzen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z_1

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  z_2 

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P( x_1 \leq X \leq x_2 ) = P\left( \frac {x_1-\mu}{\sigma} \leq Z= \frac {X-\mu}{\sigma} \leq \frac {x_2-\mu}{\sigma}\right)= P(z_1 \leq Z \leq z_2)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P

steht für die englische Bezeichnung „probability“ oder das französische Wort „probabilité“ der Wahrscheinlichkeit.

Grundlegende Fragestellungen

Allgemein gibt die Verteilungsfunktion die Fläche unter der Glockenkurve bis zum Wert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x

an, d. h. es wird das bestimmte Integral von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  -\infty 
bis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  x 
berechnet.

Dies entspricht in Aufgabenstellungen einer gesuchten Wahrscheinlichkeit, bei der die Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X

kleiner oder kleiner gleich einer bestimmten Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  x 
ist. Durch die Verwendung der reellen Zahlen und der Stetigkeit der Normalverteilung macht es keinen Unterschied, ob nun Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  < 
oder Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \leq 
verlangt ist, 

weil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(X = 3) = \int_3^3 f(x)dx = 0

und somit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  P(X<3) = P(X \leq 3) 

. Dasselbe gilt für größer und größer gleich.

Dadurch, dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X

nur kleiner oder größer einer Grenze (oder innerhalb oder außerhalb zweier Grenzen) liegen kann, ergeben sich für Aufgaben bei normalverteilten Wahrscheinlichkeitsberechnungen folgende zwei grundlegende Fragestellungen:

• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsversuch die normalverteilte Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z

höchstens den Wert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  z 
annimmt?

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(Z \leq z)=\Phi(z)

In der Schulmathematik wird für diese Aussage auch die Bezeichnung Linker Spitz verwendet, da die Fläche unter der Gaußkurve von links bis zur Grenze verläuft. Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z

sind auch negative Werte erlaubt, trotzdem haben viele Tabellen der Standardnormalverteilung nur positive Einträge. Durch die Symmetrie der Kurve und der Negativitätsregel des linken Spitz stellt dies aber keine Einschränkung dar: 

wird im folgenden explizit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Phi(-z)=1-\Phi(z)

• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsversuch die normalverteilte Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z

mindestens den Wert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  z 
annimmt?

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(Z \geq z) = 1 - \Phi(z)

Analog wird hier oft die Bezeichnung Rechter Spitz verwendet. Ebenso gibt es eine Negativitätsregel:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(Z \geq -z)= 1- \Phi(-z)= 1-(1-\Phi(z)) = \Phi(z)

(Da jede Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X

der allgemeinen Normalverteilung sich in die Zufallsgröße Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  Z 
der Standardnormalverteilung umwandeln lässt, gelten die Fragestellungen für beide Größen gleichbedeutend.)

Streubereich und Antistreubereich

Der Streubereich gibt die Wahrscheinlichkeit wieder, dass die normalverteilte Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z

Werte zwischen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  z_1 
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  z_2 
annimmt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(z_1 \leq Z \leq z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)

Beim Sonderfall des symmetrischen Streubereiches ( Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z_1=-z_2 , mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z_2>0

) gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(-z \leq Z \leq z ) = P (|Z| \leq z) =

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \Phi(z)-\Phi(-z) =\Phi(z)-(1-\Phi(z))=

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =2 \cdot \Phi(z)-1

Hingegen gibt der Antistreubereich die Höhe der Wahrscheinlichkeit an, dass die normalverteilte Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z

Werte außerhalb des Bereichs zwischen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  z_1 
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  z_2 
annimmt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(Z \leq z_1 \mbox{ oder } Z \geq z_2) = \Phi(z_1) + (1-\Phi(z_2))

Somit folgt bei einem symmetrischen Antistreubereich:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(Z \leq -z \mbox{ oder } Z \geq z) = P(|Z| \geq z)=

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =\Phi(-z)+1-\Phi(z)= 1-\Phi(z)+1-\Phi(z)=

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =2-2\cdot \Phi(z)

Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung

Besondere Bedeutung haben beide Streubereiche z. B. bei der Qualitätssicherung von technischen oder wirtschaftlichen Produktionsprozessen. Hier gibt es einzuhaltende Toleranzgrenzen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  x_2 
, wobei es meist einen größten noch akzeptablen Abstand Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \epsilon 
vom Erwartungswert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \mu 
(= dem optimalen Sollwert) gibt. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \sigma 
kann hingegen empirisch aus dem Produktionsprozess gewonnen werden.

Wurde Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [x_1;x_2]=[\mu-\epsilon;\mu+\epsilon]

als einzuhaltendes Toleranzintervall angegeben, so liegt (je nach Fragestellung) ein symmetrischer Streu- oder Antistreubereich vor. 

Im Falle des Streubereiches gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(x_1 \leq X \leq x_2) = P(|X-\mu|\leq\epsilon)=

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =P(\mu-\epsilon \leq X \leq \mu+\epsilon) = P\left(\frac{-\epsilon}{\sigma} \leq Z \leq \frac{\epsilon}{\sigma}\right)=

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =\Phi\left(\frac{\epsilon}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\epsilon}{\sigma}\right)=

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = 2 \cdot \Phi\left(\frac{\epsilon}{\sigma}\right)-1 =\gamma

Der Antistreubereich ergibt sich dann aus

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(|X-\mu|\geq \epsilon )= 1-\gamma

oder wenn kein Streubereich berechnet wurde durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(|X-\mu|\geq \epsilon )=2\cdot\left(1-\Phi\left(\frac{\epsilon} {\sigma}\right)\right)=\alpha

.

Das Ergebnis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma

ist also die Wahrscheinlichkeit für verkaufbare Produkte, während Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \alpha 
die Wahrscheinlichkeit für Ausschuss bedeutet, wobei beides von den Vorgaben von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \mu 

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \epsilon 
abhängig ist.

Ist bekannt, dass die maximale Abweichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon

symmetrisch um den Erwartungswert liegt, so sind auch Fragestellungen möglich, bei denen die Wahrscheinlichkeit vorgegeben und eine der anderen Größen zu berechnen ist.

Testen auf Normalverteilung

Quantile einer Normalverteilung und einer Chi-Quadrat-Verteilung

Um zu testen, ob vorliegende Daten normalverteilt sind, können unter Anderem der Kolmogorov-Smirnov-Test und der Shapiro-Wilk-Test herangezogen werden. Mit Hilfe von Normal-Quantil-Plots (auch Quantil-Quantil-Plot oder Q-Q-Plot) ist eine einfache grafische Überprüfung auf Normalverteilung möglich.

Simulation normalverteilter Zufallsvariablen

Box-Muller-Methode

Nach der Box-Muller-Methode lässt sich eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X

aus zwei gleichverteilten Zufallsvariablen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_1,u_2 \sim U(0,1)

, sogenannten Standardzufallszahlen, simulieren:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X=\sqrt{(-2\log u_1)}\;\cos(2\pi u_2)

Polar-Methode

Die Polar-Methode von Marsaglia ist auf einem Computer noch schneller, da sie nur einen Logarithmus benutzt:

1. Generiere zwei gleichverteilte Zufallsvariablen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u_1,u_2=U(0,1)

1. Berechne Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v=(2u_1-1)^2+(2u_2-1)^2

. Falls Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v \ge 1

wiederhole 1.

1. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x=(2u_1-1)(-2\log v /v)^{1/2}

Durch lineare Transformation lassen sich hieraus auch beliebige normalverteilte Zufallszahlen generieren: Ist die Zufallsvariable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X \sim \mathcal{N}(0,1) -verteilt, so ist aX+b schließlich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{N}(b,a^2) -verteilt.

Zwölferregel

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass sich die Verteilung der Summe unabhängiger identisch verteilter Zufallszahlen einer Normalverteilung nähert.

Ein Spezialfall ist die Zwölferregel, die sich auf die Summe von 12 Zufallszahlen aus einer Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1] beschränkt und bereits zu passablen Verteilungen führt.

Stark ins Gewicht fällt die Forderung der Unabhängigkeit der zwölf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_i , die von normalen Pseudozufallszahlen (LKG) nicht garantiert wird. Im Gegenteil wird vom Spektraltest meist nur die Unabhängigkeit von maximal vier bis sieben der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_i

garantiert. Für numerische Simulationen ist die Zwölferregel daher sehr bedenklich. Andere sogar leichter zu programmierende Verfahren sind daher vorzuziehen.

Verwerfungsmethode

Normalverteilungen lassen sich mit der Verwerfungsmethode (s. dort) simulieren.

Inversionsmethode

Selbstverständlich lässt sich die Normalverteilung auch mit der Inversionsmethode berechnen. Da das Fehlerintegral leider nicht explizit mit elementaren Funktionen integrierbar ist, muss man auf Reihenentwicklungen der inversen Funktion für einen Startwert (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1 ... a_{14}

weiter unten) und anschließende Korrektur mit dem Newtonverfahren zurückgreifen. Dazu werden erf(x) und erfc(x) benötigt, die ihrerseits mit Reihenentwicklungen und Kettenbruchentwicklungen berechnet werden können - insgesamt ein relativ hoher Aufwand. Die notwendigen Entwicklungen sind in der Literatur zu finden [1].

Entwicklung des inversen Fehlerintegrals (wegen des Pols nur als Startwert für das Newtonverfahren verwendbar):

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{erf}^{-1} \left(\frac{\sqrt\pi}{2}x\right) = x(a_1 + x^2 (a_2 + x^2 (\dots)))

mit den Koeffizienten

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_i= 1, {1\over 3}, {7\over 30}, {127\over 630}, {4369\over 22680}, {34807\over 178200}, {20036983\over 97297200}, {2280356863\over 10216206000}, {49020204823\over 198486288000},

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {65967241200001\over 237588086736000}, {15773461423793767\over 49893498214560000}, {655889589032992201\over 1803293578326240000},

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {94020690191035873697\over 222759794969712000000}, {655782249799531714375489\over 1329207696584271504000000},\ldots

Simulation mehrdimensionaler normalverteilter Zufallsvektoren

Die Komponenten des Zufallsvektors Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X^*

werden durch standardnormalverteilte Zufallsvariable gefüllt (diese lassen sich mit einem der obigen Verfahren erzeugen). Dann ist der Zufallsvektor

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X = U X^* + \mu

eine Realisierung der Normalverteilung mit Erwartungswertvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): mu

und Kovarianzmatrix Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Sigma=U*U^T

. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U

wird dabei durch die Cholesky-Zerlegung berechnet.

Plausibilisierung:

Erwarungswert:Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E(X) = E(U X^* + \mu) = \underbrace{E(U X^*)}_{=0} + E(\mu) = \mu

Kovarianz: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): cov(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu) (X_i-\mu)^T Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n U X_i^* X_i^{*T} U^T Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =U \underbrace{ \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^* X_i^{*T} \right)}_{=cov(X^*) = I} U^T Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = U U^T = \Sigma

Anwendungen außerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Gaußsche Normalverteilung lässt sich auch zur Beschreibung nicht direkt stochastischer Sachverhalte verwenden, etwa in der Physik für das Amplitudenprofil der Gaußstrahlen und andere Verteilungsprofile.

Zudem findet sie Verwendung in der Gabor-Transformation.

Siehe auch

• Additives weißes gaußsches Rauschen
• Wahrscheinlichkeitspapier
• Statistik

Quellen

Weblinks