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Gaußstrahl
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Das optische Konzept der Gaußstrahlen (auch Gaußsche Bündel genannt) verbindet Methoden der Strahlen- und Wellenoptik zur Beschreibung der Lichtausbreitung. Er ist eine Lösung der paraxial genäherten Helmholtz-Gleichung. Ein Gaußstrahl zeichnet sich durch ein transversales Profil gemäß einer Gaußkurve (die Amplitude des elektromagnetischen Feldes nimmt mit dem Abstand zur Ausbreitungsachse exponentiell ab) und ein longitudinales Lorentzprofil (er ist an einer Stelle, der Taille, fokussiert und "zerläuft" mit zunehmendem Abstand zu ihr) aus.
Gaußstrahlen beschreiben besonders gut die Lichtemission vieler Laser, aber sie lassen sich auch in vielen anderen Situationen elektromagnetischer Strahlung einsetzen. Besonders interessant sind sie, da sie Phasenbetrachtungen wie die Wellenoptik erlauben, aber einfachen Rechenmethoden der Strahlenoptik gehorchen.
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Formel
Für die mathematische Beschreibung eines Gaußstrahls verwendet man Zylinderkoordinaten, setzt die Ausbreitungsrichtung als z-Achse und die Strahltaille als z=0. Dann ist die komplexe Feldamplitude (die Phase berücksichtigend) in Abhängigkeit des Abstands r zur Achse und der Entfernung z zur Taille:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E(r,z) = E_0 \frac{W_0}{W(z)} e^{\frac{-r^2}{W^2(z)}} e^{ -ik \frac{r^2}{2R(z)} } e^{ -ikz +i \zeta(z) }
Die zu dieser Feldstärke gehörende Intensität ist dann:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I(r,z) = I_0 \left( \frac{W_0}{W(z)} \right)^2 e^{ \frac{-2r^2}{W^2(z)}}
Dabei sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): i = \sqrt{-1} \,
die imaginäre Einheit, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k = { 2 \pi \over \lambda } die Wellenzahl und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E_0 bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I_0 die Werte an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (r=0,z=0)
. Die Parameterfunktionen W(z), R(z) und ζ(z) werden im folgenden definiert und beschreiben die Geometrie des Gaußstrahles.
Interpretation der Parameter
Transversales Profil
Wie bereits erwähnt, hat der Gaußstrahl ein transversales Profil gemäß einer Gaußkurve. Als Strahlradius definiert man den Abstand zur z-Achse, an dem die Amplitude auf 1/e (ca. 36 %) gefallen ist. Der minimale Strahlradius, also bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z=0 , der Taille, wird Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): W_0
genannt, und in Abhängigkeit des Abstandes z entlang der Achse verhält sich der Radius dann im Nahfeld gemäß
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): W(z) = W_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_0} \right)}^2 }
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z_0 = \frac{\pi\cdot W_0^2}{\lambda}
Axiales Profil
Der Parameter
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z_0 = \frac{\pi W_0^2}{\lambda}
heißt Rayleigh-Länge. In diesem Abstand gilt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): W(\pm z_0) = W_0 \sqrt{2}
Der Abstand zwischen dem linken und rechten Punkt mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |z|=z_0
wird bi- oder konfokaler Parameter genannt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b = 2 z_0 = \frac{2 \pi W_0^2}{\lambda}
Damit ist die Amplitude Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): |E(0,z_0)| = E_0 \frac{W_0}{W(z_0)} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}
also an einer bestimmten z-Koordinate auf das Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1/\sqrt{2}
-fache abgefallen. Dies entspricht einem Lorentz-Profil.
Krümmung
Die Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten bestimmen die Phasenlage der Welle bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (r,z) . Dabei bestimmt der Parameter R(z) anschaulich, wie stark die Phase an achsfernen Punkten verzögert ist, also, wie stark die Wellenfronten gekrümmt sind, und heißt deshalb Krümmungsradius. Er berechnet sich zu
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R(z) = z \, \left( 1+ {\left( \frac{z_0}{z} \right)}^2 \right) \ .
Divergenz
Betrachtet man den Verlauf von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): W(z)
für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z \gg z_0
, nähert er sich einer Geraden - dies zeigt die Verbindung zur Strahlenoptik auf. Wie stark der Gaußstrahl verläuft, sich also transversal ausdehnt, lässt sich dann durch den Winkel zwischen dieser Geraden und der z-Achse angeben, dies nennt man die Divergenz:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \theta_{div} = \frac{\Theta}{2} = \arctan \left( { W_0 \over z_0 } \right) = \arctan \left( \frac{\lambda}{\pi W_0} \right)
Diese Beziehung führt zu dem Effekt, dass die Divergenz bei starker Fokussierung größer wird: ist die Strahltaille schmal, verläuft der Strahl in großen Entfernungen stark. Man muss also einen Kompromiss aus Fokussierung und Reichweite finden.
Gouy-Phase
In der Wellenphase taucht auch ein Term auf, der die Gouy-Phase des Gaußstrahls genannt wird:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_0} \right) \ .
Diese liefert einen Phasenunterschied von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi
beim Übergang von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z < z_0 zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z > z_0
, dies entspricht dem "Umklappen" der klassischen Strahlenoptik im Fokus.
Matrizenoptik
Der große Vorteil des Gaußstrahlen-Modells besteht darin, dass das Kalkül der Matrizenoptik sich vollständig auf sie übertragen lässt. Definiert man den Parameter Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): q(z)=z+iz_0 , so wirkt die ABCD-Matrix eines optischen Elementes auf ihn gemäß
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): q_1(z) = \frac{Aq_0+B}{Cq_0+D} \ .
Siehe auch
Literatur
- D. Meschede: Optik, Licht und Laser. Teubner-Verlag, Leipzig-Stuttgart 2005
- E. Hecht: Optik. Oldenbourg-Verlag, München-Wien 2005
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