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Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Gau%C3%9Fsche_Kr%C3%BCmmung, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.

In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen Raum (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3 ), einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die gaußsche Krümmung, benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der wichtigste Krümmungsbegriff neben der mittleren Krümmung.

Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Bemerkung

Definition

Gegeben seien eine reguläre Fläche im Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3

und ein Punkt dieser Fläche. Die gaußsche Krümmung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K
der Fläche in diesem Punkt ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_1
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_2

.

• Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K \, = \, k_1 k_2

Da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_1

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k_2
verschiedene Vorzeichen haben können, sind auch negative Werte für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K
möglich, nämlich bei sattelartig gekrümmten Flächen.

Beispiele

• Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r

ist die Gaußsche Krümmung gegeben durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K = 1 /r^2

.

• In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders ist die Gaußsche Krümmung gleich 0.

• Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X = X(u,v) = (u,v,f(u,v))

ein Graph über der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u-v
Ebene. Dann berechnet sich die Gaußsche Krümmung durch die Formel:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K = \frac{f_{uu} f_{vv} - f_{uv}^2}{\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}^{3}} .

Eigenschaften

• Sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): M , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N

die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform, so gilt folgende Formel:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}

• Die gaußsche Krümmung hängt nur von der inneren Geometrie der gegebenen Fläche ab (siehe Theorema egregium von C. F. Gauß). Dieser Satz ist ein Korollar aus der:

• Formel von Brioschi:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K = \frac{1}{(EG-F^2)^2} \left( \left|\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\ F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\ \frac{1}{2}G_v & F & G \end{pmatrix}\right| - \left|\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\ \frac{1}{2}E_v & E & F\\ \frac{1}{2}G_u & F & G \end{pmatrix}\right| \right)

Dabei sind Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G
die Koeffizienten der ersten Fundamentalform. Die Bezeichnungen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E_u

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F_{uv}

usw. stehen für erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v

, mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird. Diese Gleichung ist unter anderem eine der notwendigen Integrationsbedingungen der Gauß-Weingarten-Gleichungen.

• Wenn die erste Fundamentalform isotherm parametrisiert ist, d.h. es gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0<E=G

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F=0

, dann schreibt sich

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K = -\frac{1}{2E} \Delta \log E

mit dem Laplaceoperator

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta = \frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}

.

Bemerkung

• Einen Zusammenhang zwischen der Gaußschen Krümmung und der geodätischen Krümmung vermittelt der Satz von Gauß-Bonnet.

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