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Ganze Zahl
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Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen.
Die ganzen Zahlen umfassen alle Zahlen
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots
und enthalten damit alle natürlichen Zahlen sowie deren negative Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit dem Symbol Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Z}
abgekürzt (das „Z“ steht für „Zahlen“). Das alternative Symbol Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf{Z}
ist mittlerweile weniger verbreitet; ein Nachteil dieses Fettdruck-Symbols ist die schwierige handschriftliche Darstellbarkeit.
Die obige Aufzählung der ganzen Zahlen gibt auch gleichzeitig in aufsteigender Folge deren natürliche Anordnung wieder. Die Zahlentheorie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt.
Inhaltsverzeichnis |
Eigenschaften
Ring
Die ganzen Zahlen bilden einen Ring bezüglich der Addition und der Multiplikation, d.h. sie können ohne Einschränkung addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln wie das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation, außerdem gelten die Distributivgesetze.
Durch die Existenz der Subtraktion können lineare Gleichungen der Form
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a + x = b
mit natürlichen Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b stets gelöst werden: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x = b - a
. Beschränkt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x
auf die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist nicht jede solche Gleichung lösbar.
Abstrakt ausgedrückt heißt das, die ganzen Zahlen bilden einen kommutativen unitären Ring. Das neutrale Element der Addition ist 0, das additiv inverse Element von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -n
, das neutrale Element der Multiplikation ist 1.
Anordnung
Die Menge der ganzen Zahlen ist total geordnet, in der Reihenfolge
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ldots < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \ldots
d.h. man kann je zwei ganze Zahlen vergleichen. Man spricht von positiven Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{1, 2, 3, \ldots\} , nichtnegativen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{0, 1, 2, 3, \ldots\} , negativen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{\ldots, -2, -1\}
und nichtpositiven Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \{\ldots, -2, -1, 0\} ganzen Zahlen. Die Zahl 0 selbst ist weder positiv noch negativ. Diese Ordnung ist verträglich mit den Rechenoperationen, d.h.
- ist a < b und c ≤ d, dann ist a + c < b + d,
- ist a < b und 0 < c, dann ist ac < bc.
Wie die Menge der natürlichen Zahlen ist auch die Menge der ganzen Zahlen abzählbar.
Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, denn z. B. ist die Gleichung 2x = 1 nicht in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Z}
lösbar. Der kleinste Körper, der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Z}
enthält, sind die rationalen Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Bbb Q
.
Euklidischer Ring
Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen ist die Existenz einer Division mit Rest. Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es für zwei ganze Zahlen stets einen größten gemeinsamen Teiler, den man mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen kann. Mathematiker sagen, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Z}
ist ein Euklidischer Ring. Hieraus folgt auch der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Z}
.
Konstruktion aus den natürlichen Zahlen
Ist die Menge der natürlichen Zahlen gegeben, dann lassen sich die ganzen Zahlen daraus als Zahlbereichserweiterung konstruieren:
Wir betrachten die Menge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{N} \times \mathbb{N}
aller Paare natürlichen Zahlen, und definieren folgende Äquivalenzrelation:
- (a, b) ∼ (c, d), falls a + d = c + b
Außerdem definieren wir eine Addition und Multiplikation in dieser Menge:
- (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a, b) \cdot (c, d) = (ac + bd, ad + bc)
Die Menge der Äquivalenzklassen nennen wir Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Z} = \mathbb{N} \times \mathbb{N} / \sim
, die Äquivalenzklasse eines Paares Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a, b)
schreiben wir als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (a - b)
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (0 - b)
schreiben wir auch als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -b
.
Die Addition und Multiplikation der Paare induzieren nun wohldefinierte Verknüpfungen auf Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Z} , mit denen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Z}
zu einem Ring wird. In diesen Ring kann den man die natürlichen Zahlen so einbetten:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n \longrightarrow (n - 0)
Eine ganze Zahl heißt dann negativ, wenn sie von der Form Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (0 - n) = -n
ist mit einer natürlichen Zahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n > 0
.
Diese Konstruktion funktioniert unabhängig davon, ob Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{N}
die 0 enthält oder nicht.
Verwandte Themen
- die gaußschen Zahlen und die Eisenstein-Zahlen sind zwei verschiedene Erweiterungen der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen.
- Zahlensystem
Natürliche Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{N}
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Ganze Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Z}
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Rationale Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Q}
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Reelle Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}
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Komplexe Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{C}
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Quaternionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{H}
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p-adische Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{Z}_p,\mathbb Q_p
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