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Gabor-Transformation
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Die Gabor-Transformation (nach Dennis Gábor) ist eine spezielle (und in bestimmter Weise optimale) gefensterte Fourier-Transformation. Sie ist eng verwandt mit der Wavelet-Theorie und wird in vielen Bereichen der digitalen Bildverarbeitung eingesetzt.
Jede lokale Veränderung des Signals Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
bewirkt eine
Änderung der Fourier-Transformation (FT) über der gesamten Frequenzachse. So überdeckt zum Beispiel der Graph der FT der Delta-Distribution (Dirac-Funktion) den gesamten Frequenzbereich. Die FT enthält daher keine lokalen Informationen des Signals Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f . Dies bedeutet andererseits, dass die Information des Frequenzspektrums den Ortsbereich, in dem die Frequenz auftritt, nicht unmittelbar angibt. Eine Möglichkeit der Lokalisierung der FT im Ortsraum ist die Fensterfouriertransformation (WFT), die den lokalen Frequenzinhalt in einem Fenster Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g
um den Punkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau
beschreibt. Dabei wird für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g
üblicherweise eine schnell
auf 0 abfallende Funktion gewählt, damit sie als Fenster wirkt.
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F^{Fen}(\omega, \tau) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) g (t-\tau)e^{-i\omega t}dt
Die Fensterfouriertransformation ist somit von zwei Parametern abhängig,
der Frequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega
und dem Zentrum der Lokalisierung
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau . Man spricht deshalb auch von einer Darstellung im Orts-/Frequenzraum. Die Fensterfouriertransformation wird auch als short-time Fourier transform (STFT) bezeichnet
Die WFT mit einer Gaußfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_\alpha(t)
als Fensterfunktion wurde
von Dennis Gábor 1946 verwendet:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_\alpha(t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi\alpha}}e^{-\frac{t^2}{4\alpha}}
Diese spezielle WFT heißt Gabor-Transformation. Bezeichnet man das Ergebnis der Gabortransformation von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f
mit
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G_f
so ergibt wegen der Symmetrie von
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): g_\alpha
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G_f(\omega,\tau)= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)g_\alpha(t-\tau)e^{-i\omega t}dt
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =e^{-i\omega \tau}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)g_\alpha(\tau-t)e^{i\omega (\tau-t)}dt
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =e^{-i\omega \tau}(f(\tau) \ast (g_\alpha(\tau)e^{i\omega \tau}))
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =e^{-i\omega \tau}(f(\tau)\ast h(\tau))
Im Ortsraum stellt die Gaborfilterung daher bis auf den Faktor
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{-i\omega \tau}
eine Faltung dar. Dieser Faktor bewirkt jedoch
lediglich eine Phasenverschiebung und kann daher bei Anwendungen, die nur die Amplitude des Ergebnisses berücksichtigen, vernachlässigt werden.
Da die Fouriertransformation einer Gaußfunktion wieder eine Gaußfunktion ergibt, stellt das Ergebnis der Gabortransformation sowohl im Orts- als auch im Frequenzraum lokale Information dar. Der Filter kann jede beliebige elliptische Region des Frequenz- oder des Ortsraums überdecken. Ferner erzielt die Gabortransformation – unabhängig von der Anordnung – maximale gleichzeitige Auflösung im Orts- und Frequenzraum, das heißt die Gaußfunktion erreicht als (einzige) Fensterfunktion das Minimum der Unschärferelation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma_g^2 \cdot \sigma_G^2 \geq \frac{\pi}{2} , wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma_g^2
die Varianz der Fensterfunktion im Ortsraum
(Ortsunschärfe) und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sigma_G^2
entsprechend die im
Frequenzraum (Frequenzunschärfe) angibt. Daraus ergibt sich direkt der reziproke Zusammenhang zwischen den Unschärfen und damit ein wichtiger trade-off. Das heißt um die Auflösung im Ortsraum zu verdoppeln, muss eine halbierte Auflösung im Frequenzraum in Kauf genommen werden, und umgekehrt.
Filter mit geringer Bandbreite im Frequenzraum sind erwünscht, da sie eine feine Unterscheidung zwischen verschiedenen Texturen erlauben. Andererseits sind für eine genaue Erkennung von Texturgrenzen Filter nötig, die im Ortsraum eine geringe Bandbreite aufweisen.
Eine weitere interessante Eigenschaft von Gaborfiltern ist, dass sie eine gute Annäherung an die Empfindlichkeitsprofile von Neuronen im visuellen Kortex zu sein scheinen, in der Art, dass sie frequenz- und richtungsspezifische Signale verarbeiten.
Siehe auch
- Laplace-Transformation
- Diskrete Fourier-Transformation
- Diskrete Kosinustransformation
- Wavelet-Transformation
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