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Fresnelsche Formeln
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siehe QS: Der Artikel stellt die Fresnelschen Formeln unvollständig und nur anhand eines Speziallfalls dar. Ausserdem ist fraglich welchen Informationsgehalt das Code-Beispiel enthalten soll -- T.hellwig 20:44, 15. Feb. 2007 (CET) Cecil 12:15, 22. Feb. 2007 (CET)
Die Fresnelschen Formeln (nach Augustin Jean Fresnel) beschäftigen sich mit dem Reflexionsgrad bzw. Transmissionsgrad von Elektromagnetischen Wellen an einer dielektrischen Grenzfläche. Das heißt, sie beschreiben das Verhältnis der reflektierten bzw. der transmittierten Amplitude zu der Amplitude der einfallenden Welle. Sie können aus den Maxwellschen Gleichungen hergeleitet werden, dabei nutzt man Sonderfälle der Randbedingungen elektromagnetischer Wellen an einer ladungs- und stromfreien Grenzschicht:
Vorlage:Spalten Hierbei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{n}
die Normale auf die Grenzfläche und die anderen Größen beschreiben Magnetfeld und elektrisches Feld in den beiden Medien.
Jede beliebig polarisierte elektromagnetische Welle lässt sich als Superposition zweier linear polarisierter Wellen, die senkrecht zueinander schwingen, darstellen. Deshalb reicht es aus, die Amplitudenverhältnisse für parallel und senkrecht zur Einfallsebene linear polarisierter Wellen zu berechnen.
Inhaltsverzeichnis |
Allgemeiner Fall
Im allgemeinenen Fall haben beide Medien eine unterschiedliche Permittivität Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \epsilon_r
und Permeabilität Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_r
. Man betrachtet eine einfallende Welle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{E}=(E_{0e})_s\ \vec{e}_s\ e^{i(\vec{k}_e \cdot \vec{r}-\omega\ t +\delta_s)}+(E_{0e})_p\ \vec{e}_p\ e^{i(\vec{k}_e \cdot \vec{r}-\omega\ t +\delta_p)} . Für die beiden Basisvektoren wählt man Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ \ \vec{e}_p=\vec{k}_e\times \vec{n}\
undParser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ \ \vec{e}_s=\vec{k}_e\times(\vec{k}_e\times\vec{n})
. Die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \delta_i
entsprechen einer beliebigen Phasenverschiebung. Somit lässt sich jede beliebig polarisierte Welle in dieser Form darstellen.
senkrechte Polarisation
Bild:Reflexion senkrecht polarisiert 2.svg Als erstes betrachtet man die Komponente, die linear senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. Die Einfallsebene wird aufgespannt vom Wellenvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{k_e}
und der Flächennormalen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{n}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_s=\frac{2n_1 \cos{\alpha}}{n_1\cos{\alpha}+\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{\alpha}}}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_s=\frac{n_1\cos{\alpha}-\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{\alpha}}}{n_1\cos{\alpha}+\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{\alpha}}}
parallele Polarisation
Bild:Reflexion parallel polarisiert 2.svg Des weiteren wird die Amplitude einer in der Einfallsebene linear polarisierten Welle betrachtet:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_p=\frac{2n_1n_2 \cos{\alpha}}{n_2^2\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}\cos{\alpha}+n_1\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{\alpha}}}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_p=\frac{n_2^2\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}\cos{\alpha}-n_1\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{\alpha}}}{n_2^2\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}\cos{\alpha}+n_1\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2{\alpha}}}
Spezialfall: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_{r1}=\mu_{r2}
Für den in der Praxis häufigen Spezialfall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_{r1}=\mu_{r2}
(z.b. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_{r}=1
für nicht magnetische Materialien) vereinfachen sich die Fresnel Formeln wie folgt:
senkrechte Polarisation
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_s=\frac{2n_1 \cos{\alpha}}{n_1\cos{\alpha}+n_2\cos{\beta}}=\frac{2 \sin{\beta}\cos{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_s=\frac{n_1\cos{\alpha}-n_2\cos{\beta}}{n_1\cos{\alpha}+n_2\cos{\beta}}=\frac{\sin{(\beta-\alpha)}}{\sin{(\beta+\alpha)}}
parallele Polarisation
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_p=\frac{2n_1 \cos{\alpha}}{n_2\cos{\alpha}+n_1\cos{\beta}}=\frac{2\sin{\beta}\cos{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}}
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_p=\frac{n_2\cos{\alpha}-n_1\cos{\beta}}{n_2\cos{\alpha}+n_1\cos{\beta}}=\frac{\tan{(\alpha-\beta)}}{\tan{(\alpha+\beta)}}
Zusammenhang mit Reflexions- und Transmissionskoeffizienten
In der klassischen Elektrodynamik bezeichnet man als Reflexionskoeffizienten R:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R =\left| \frac{\vec{S}_r\cdot \vec{n}}{\vec{S}_e \cdot \vec{n}}\right|
und als Transmissionskoeffizienten T:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T =\left| \frac{\vec{S}_t\cdot \vec{n}}{\vec{S}_e \cdot \vec{n}}\right|
Hierbei bezeichnet Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{S}_i
den jeweiligen zeitgemittelten Poynting-Vektor
Die beiden Koeffizienten lassen sich nun mithilfe der Fresnelschen Formeln berechnen:
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left(E_{0i}\right)_p^2+\left(E_{0i}\right)_s^2=\left| E_{0i}\right|^2 .
Außerdem gilt die Energieströmungsbilanz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T+R=1
siehe auch
Literatur
- Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-20509-8
- Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20210-2.
- John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4.
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