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Frenetsche Formeln
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Die frenetschen Formeln (Frenet-Formeln), benannt nach dem französischen Mathematiker Jean Frédéric Frenet, sind die zentralen Gleichungen in der Theorie der Raumkurven, einem wichtigen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Die Formeln verwenden eine Orthonormalbasis aus drei Vektoren, die das lokale Verhalten der Kurve beschreiben, und drücken die Ableitungen dieser Vektoren als Linearkombinationen der genannten drei Vektoren aus.
Gegeben sei eine durch die Bogenlänge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s
natürlich parametrisierte Raumkurve:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{r} = \vec{r}(s)
Für einen Kurvenpunkt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{r}(s)
erhält man
durch Ableiten nach Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s
den
Tangenteneinheitsvektor, der die momentane Richtung der Kurve, also die Änderung der Position bei einer Änderung der Bogenlänge, angibt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{t}(s) = \vec{r}\,'(s)
Da der Tangenteneinheitsvektor mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): s
seine Richtung ändert, ergibt der Betrag der Ableitung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{t}(s)
– die Änderung der Richtung über der Bogenlänge – die Krümmung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa(s)\,
bzw. das Reziproke des Krümmungsradius Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varrho(s)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa(s)=\frac{1}{\varrho(s)}=|\vec{t}\,'(s)|=|\vec{r}\,''(s)|
Normalisierung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{t}\,'(s)
liefert den Hauptnormaleneinheitsvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{n}(s)
(Krümmungsvektor), der sich ebenfalls auf einfache Weise geometrisch deuten lässt: Man betrachtet den sogenannten Schmiegkreis, also den Kreis, der durch den gegebenen Kurvenpunkt geht, dort die gleiche Richtung hat wie die Kurve und auch in der zweiten Ableitung mit der Kurve übereinstimmt. Der Hauptnormaleneinheitsvektor gibt nun die Richtung der Verbindungsgeraden von Kurvenpunkt und Schmiegkreismittelpunkt an. Der Krümmungsvektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{n}(s)
zeigt also in die Richtung, in die sich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{t}(s)
ändert, daher sind beide orthogonal zueinander.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{n}(s) = \frac{\vec{t}\,'(s)}{|\vec{t}\,'(s)|} = \frac{ \vec{r}\,''(s)}{|\vec{r}\,''(s)|} = \varrho(s) \, \vec{t}\,'(s) = \varrho(s) \, \vec{r}\,''(s)
.
Beide Vektoren spannen eine Ebene auf, die sogenannte Schmiegungsebene. Deren Normalenvektor wird mit Hilfe des Vektorprodukts festgelegt und heißt Binormaleneinheitsvektor:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{b}(s) = \vec{t}(s) \times \vec{n}(s)
Tangenten-, Hauptnormalen- und Binormaleneinheitsvektor bilden
eine Orthonormalbasis des Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3
, d.h.
diese Vektoren haben alle den Betrag 1 und sind paarweise senkrecht
zueinander. Man bezeichnet diese Orthonormalbasis auch als
begleitendes Dreibein der Kurve.
Die frenetschen Formeln drücken die Ableitungen der genannten
Basisvektoren als Linearkombinationen dieser Basisvektoren aus:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{t}\,'(s) = \kappa(s) \, \vec{n}(s)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{n}\,'(s) = - \kappa(s) \, \vec{t}(s) + \tau(s) \, \vec{b}(s)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{b}\,'(s) = - \tau(s) \, \vec{n}(s)
Dabei stehen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa(s)\,
für die Krümmung
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau(s)\,
für die Windung (Torsion)
der Kurve im betrachteten Kurvenpunkt.
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