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Fourier-Transformation

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Bild:Disambig-dark.svg Dieser Artikel gibt eine Übersicht über die üblichen Varianten der Fourier-Transformation. Häufig wird die kontinuierliche Fourier-Transformation kurz als Fourier-Transformation bezeichnet. Für eine anschauliche Übersicht, wozu diese verwendet wird, siehe Artikel Fourieranalyse.

Die Fourier-Transformation ist eine Integraltransformation, die einer Funktion eine andere Funktion (ihre Fouriertransformierte) zuordnet. Sie ist eng mit der Laplace-Transformation verbunden. In vielen Einsatzgebieten wird sie dazu verwendet, um für zeitliche Signale (z. B. ein Sprachsignal oder einen Spannungsverlauf) das Frequenzspektrum zu berechnen (vgl. Fourieranalyse).

Allgemein umfasst der Begriff Fourier-Transformation eine Reihe sehr ähnlicher Transformationen, welche Funktionen (auch endliche und unendliche Folgen sind Funktionen) in Frequenzkomponenten oder Elementarschwingungen zerlegen. Auf diese wird weiter unten eingegangen.

Die Fourier-Transformation und ihre Varianten sind in vielen Wissenschafts– und Technikzweigen von außerordentlicher praktischer Bedeutung. Die Anwendungen reichen von der Physik (Akustik, Optik, Gezeiten, Astrophysik) über viele Teilgebiete der Mathematik (Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie), die Signalverarbeitung und Kryptographie bis zu Ozeanographie und Wirtschaftswissenschaften. Je nach Anwendungszweig erfährt die Zerlegung vielerlei Interpretationen. In der Akustik ist sie beispielsweise die Frequenz-Transformation des Schalls in Oberschwingungen.

Die Fourier-Transformation wurde von dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier 1822 in seiner Théorie analytique de la chaleur entwickelt.

Inhaltsverzeichnis

Varianten der Fourier-Transformation

Die verschiedenen Varianten der Fourier-Transformation sind in folgender Tabelle zusammengefasst. Dabei sind die Formeln als formal zu verstehen, d. h. sie sind ohne Rücksicht auf Existenz– und Konvergenzbedingungen angegeben.

Funktionstyp Art der Transformation Formel Entwicklung in Frequenzkomponenten
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x_1,\dots,x_N)\in\mathbb{C}^N Diskrete Fourier-Transformation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat x_k=\sum_{n=1}^N x_ne^{-\mathrm{i}2\pi\frac{kn}{N}} Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_n=\frac1N\sum_{k=1}^N \hat x_ke^{\mathrm{i}2\pi\frac{kn}{N}}
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x_n)_{n\in\Z}\in\mathbb{C}^\Z Fourier-Reihe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat x(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^\infty x_ne^{-\mathrm{i}\omega n} Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}\hat x(\omega)e^{\mathrm{i}\omega n}d\,\omega
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C} Fourier-Reihe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat x_k=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}x(t)e^{-\mathrm{i}\,kt}d\,t Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{k=-\infty}^\infty \hat x_ke^{\mathrm{i}\,kt}
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x:\R\to\mathbb{C} kontinuierliche Fourier-Transformation Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat x(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-\mathrm{i}\,\omega t}d\,t Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat x(\omega)e^{\mathrm{i}\,\omega t}d\,\omega

Man kann in der Transformation einen beliebigen positiven Faktor hinzufügen, muss diesen dann aber in der Entwicklungsformel wieder herausdividieren. Oft wählt man die Faktoren so, dass die Entwicklung nach einem orthonormalen System erfolgt, bzw. die Transformation und Entwicklung als lineare Abbildungen unitär sind. Dies ist in der Tabelle in den drei letzten Zeilen der Fall.

Diskrete Fourier-Transformation

Hauptartikel Diskrete Fourier-Transformation

Es gibt keine Einschränkungen in der Anwendung der Transformation und der Entwicklungsformel. Sind F, T positive Zahlen mit FT=1/N, und sind M,L beliebige ganzzahlige Verschiebungen, so kann eine allgemeinere Variante der Transformationsformeln angegeben werden. Mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t_n=nT 

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega_k=k(2\pi F)
gilt
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat x_k=T\sum_{n=-M}^{N-M-1}x_n e^{-\mathrm{i}\omega_kt_n} 
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):      x_n=F\sum_{k=-L}^{N-L-1}\hat x_k e^{-\mathrm{i}\omega_kt_n}

.

Diskrete Fourier-Transformation unendlicher Folgen

Hauptartikel Fourier-Reihe

Ist die Folge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x_n)_{n\in\Z}\in\mathbb{C}^\Z 

absolut summierbar, d.h. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_{n\in\Z}|x_n|<\infty

, so konvergiert die Fourierreihe in der Transformationsformel. Der Grenzwert der Reihe ist eine stetige Funktion, so dass auch die Integrale existieren. Da die Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e_n(\omega)=(2\pi)^{-\frac{1}{2}}\exp(\mathrm{i}\omega n) 

ein Orthonormalsystem bilden, erhält man aus der Zerlegungsformel wieder die Ausgangsfolge zurück. Verfolgt man dieses Argument weiter, so kann man diese Transformation auch für Folgen definieren, deren Reihe der Betragsquadrate endlich ist, d.h. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum_{n\in\Z}|x_n|^2<\infty

.

Für positive F, T mit FT=1 kann wieder eine allgemeinere Transformationsformel angegeben werden. Seien Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): t_n=nT 

Zeitpunkte mit Abstand T, dann gilt:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat x(\omega)=\frac{T}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^\infty x_ne^{-\mathrm{i}\omega t_n} 
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):      x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi F}^{\pi F}\hat x(\omega)e^{\mathrm{i}\omega t_n}d\,\omega

.

Fourierreihen für Funktionen auf einem Intervall

Hauptartikel Fourier-Reihe

Jede stetige Funktion, welche über einem Intervall [0,T] definiert ist, lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln, d.h. beide Seiten der Transformation existieren. Mit der Grundfrequenz F=1/T und den Kreisfrequenzen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega_k=k(2\pi F) 

gilt:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \hat x_k=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{T}x(t)e^{-\mathrm{i}\,\omega_k t}d\,t 
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):      x(t)={\sqrt{2\pi}F}\sum_{k=-\infty}^\infty \hat x_ke^{\mathrm{i}\,\omega_kt}

.

Es können allgemeinere Typen von Funktionen in eine Fourierreihe entwickelt werden, so abschnittsweise stetige, beschränkte Funktionen oder allgemeiner messbare quadratintegrable Funktionen.

Kontinuierliche Fourier-Transformation

Hauptartikel Kontinuierliche Fourier-Transformation


Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist definiert durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{F}_{t \omega}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,dt


Die Rücktransformation (Fouriersynthese) lautet analog dazu:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{F}_{\omega t}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} \,d \omega


In der Literatur findet man auch andere Definitionen, die als Vorfaktor statt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} 

nur Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1}{2 \pi}
oder 1 haben. Dies hängt von den jeweils verwendeten Normierungskonventionen ab. Die hier verwendete Variante hat nicht nur den ästhetischen Vorteil, dass der Vorfaktor bei Hin- und Rücktransformation gleich ist, sondern ist essentiell für die Aussage:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int\limits_{-\infty}^\infty \left|f(t)\right|^2 \,d t = \int\limits_{-\infty}^\infty \left|F(\omega)\right|^2 \,d \omega 
(Satz von Plancherel).

Diese Bedingung ist z.B. in der Physik wichtig für die Energieerhaltung durch die Fourier-Transformation.

Manchmal, z.B. in der Signaltheorie, bevorzugt man die – ebenfalls energieerhaltende – Version der Fourier-Transformation, bei der die – auch Spektralfunktion genannte – Fourier-Transformierte Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F(\nu) 

von der Frequenz statt der Winkelgeschwindigkeit abhängt:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{F}_{t \nu}\{f(t)\} = F(\nu)= \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} 2 \pi \nu t} \,d t.

Die Beziehung zwischen beiden Arten der Fourier-Transformation wird durch Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nu = \frac{\omega}{2 \pi} 

vermittelt.

Die Rücktransformation lautet dann

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal{F}_{\nu t}^{-1}\{G(\nu)\} = f(t)= \int\limits_{-\infty}^\infty G(\nu) e^{\mathrm{i} 2 \pi \nu t} \,d\nu

. Da hier über die Variable Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \nu 

statt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega
integriert wird, entfällt in dieser Darstellungsform der Nachfaktor.

Existenz der Fourier-Transformierten

Hinreichend aber nicht notwendig für die Konvergenz des Fourierintegrals ist die absolute Integrierbarkeit der Zeitfunktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t) , d.h. f ist Borel-messbar und Lebesgue-integrierbar, kurz: liegt in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L^1(\R) .

Dann ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \|f\|_1=\int\limits_{-\infty}^\infty \left|f(t)\right|\,dt<\infty

. Ist diese Bedingung erfüllt, so ist die Fouriertransformierte F von f eine stetige, beschränkte Funktion.

Dass die Bedingung nicht notwendig ist, sieht man zum Beispiel an der Sinc-Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin(t)/t. . Diese ist nicht absolut integrierbar, hat aber trotzdem eine Fouriertransformierte.

Rechenregeln

  • Für Linearkombinationen gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal F(f+\alpha g)=\mathcal F(f)+\alpha\mathcal F(g)

, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f,g\in L^1(\R),\;\alpha\in\mathbb C .

  • Für das Faltungsprodukt gilt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal F(f*g)=\sqrt{2\pi}\mathcal F(f)\cdot\mathcal F(g)

, bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f,g\in L^1(\R) .

  • Sind f und g sogar quadratintegrabel, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f,g\in L^1(\R)\cap L^2(\R)

, so gilt die Plancherel-Identität Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \langle f,\,g\rangle=\langle \mathcal F(f),\,\mathcal F(g)\rangle .

Da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L^1(\R)\cap L^2(\R) 

dicht in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L^2(\R)
liegt, erlaubt es die Plancherel-Identität, die Fourier-Transformation als unitären Operator auf dem Hilbertraum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L^2(\R)
zu definieren, obwohl das Fourierintegral für Funktionen aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L^2(\R)
nicht mehr in jedem Punkt konvergieren muss.

Varianten der Fourier-Transformation

Die verschiedenen Begriffe in diesem Zusammenhang werden leider in der Literatur nicht einheitlich gebraucht, und es existieren mehrere Namen für den gleichen Vorgang. So nutzt man Fourier-Transformation sehr oft als Synonym der kontinuierlichen Fourier-Transformation, und mit Fourier-Analyse wird oft die Zerlegung in eine Fourier-Reihe gemeint, manchmal aber auch die kontinuierliche Transformation.

Je nach den Eigenschaften der zu untersuchenden Funktion gibt es im wesentlichen drei Varianten (auf Grund der oben genannten Unschärfe der Begriffe erhebt die Liste keinen Anspruch auf vollständige Richtigkeit):

  1. Eine in einem endlichen Intervall periodische Funktion kann in eine Fourierreihe zerlegt werden.
  2. Ein Vorgang, der unperiodisch bis ins Unendliche reicht, erfordert die kontinuierliche Fourier-Transformation (auch Fourier-Integral).
  3. Sind von einem (unperiodischen) Vorgang nur Werte an diskreten, äquidistanten Zeitpunkten in einem endlichen Intervall bekannt, wird die diskrete Fourier-Transformation angewendet. Ein Beispiel für einen solchen Vorgang ist ein Musikstück, von welchem zur Speicherung auf einer CD für einen Zeitraum von 2 min bis 1h pro Sekunde 44100 Amplitudenwerte des Audiosignals am Ausgang eines Mikrophons abgetastet werden.

Man erhält bei allen Transformationen ein Frequenzspektrum, das je nach Variante diskret (unendlich scharfe Linien) oder kontinuierlich ist:

Variante Definitionsmenge von f Periodizität von f Frequenzspektrum
Fourier-Reihe kontinuierliches Intervall periodisch diskret
Kontinuierliche Fourier-Transformation kontinuierlich aperiodisch kontinuierlich
Diskrete Fourier-Transformation diskret, endlich periodisch diskret, endlich

Zur Berechnung der diskreten Fouriertransformation wird oft die schnelle Fourier-Transformation (FFT) verwendet, ein Algorithmus, bei dem die Anzahl der Rechenschritte zur Berechnung der Fourierkoeffizienten wesentlich kleiner ist als bei einer direkten Implementation der Integration.

Wegen der Bedeutung der Fouriertransformation in der Signalverarbeitung sind Signalprozessoren für die Berechnung der Fouriertransformation optimiert.

Mathematische Motivation

(Dieser Abschnitt setzt über die Schulmathematik des Gymnasiums hinaus nur Kenntnisse im Rechnen mit komplexen Zahlen sowie die Euler-Formel voraus.)

Mathematische Grundlagen

Wir betrachten stetige, von der Zeit t reell abhängige Funktionen bzw. Vorgänge (z.B. als vektorwertige Funktionen) f(t), die sich nach einer Zeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T 

wiederholen, also periodisch mit Periode T sind, f(t+T)=f(t).

Joseph Fourier postulierte in seiner Arbeit, dass sich f aus periodischen, harmonischen Schwingungen, also Sinus- oder Kosinusfunktionen verschiedener Phase und Amplitude und genau definierter Frequenz zusammensetzen lässt. Betrachten wir eine solche zusammengesetzte Funktion mit (N+1) Summanden:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t) = A_0 + A_1 \cos(\omega t + \varphi_1) + A_2 \cos(2 \omega t + \varphi_2) + \ldots + A_N \cos(N \omega t + \varphi_N)= \sum_{n=0}^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n).


Die einzelnen Schwingungen haben die Kreisfrequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\omega , also die Frequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\omega/2\pi . Damit hat die erste Schwingung (Grundschwingung) die Frequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1/T , die nächsten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2/T , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 3/T , ...

Weil ein Sinus nur ein phasenverschobener Kosinus ist, konnte die Reihendarstellung auf Kosinus-Funktionen beschränkt werden. Wir erhalten sofort auch die Sinusterme, wenn wir die Additionstheoreme benutzen:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t)=\sum_{n=0}^N A_n \cos (n \omega t + \varphi_n) =A_0+\sum_{n=1}^N (A_n\cos \varphi_n\cdot\cos(n \omega t)-A_n\sin \varphi_n\cdot\sin(n \omega t))


Mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_0:=A_0 , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n:=A_n\cos \varphi_n 

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b_n:=A_n\sin \varphi_n
erhalten wir eine phasenfreie Darstellung
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t) = a_0+\sum_{n=1}^N (a_n \cos(n \omega t) - b_n\sin(n\omega t)).


Im nächsten Schritt soll die Summe mit Hilfe komplexer Zahlen umgeschrieben werden. Es sind dann komplexe Koeffizienten erlaubt, und die Reihe wird komplexwertig. Sofern reelle Funktionen betrachtet werden, kann diese als Realteil der Summe zurückgewonnen werden. Aus der Euler-Formel oder auch nach der Definition der trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion folgt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \cos (x) = \frac{1}{2} \left( e^{\mathrm{i}x} + e^{-\mathrm{i}x} \right) 
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \sin (x) = \frac{1}{2 \mathrm{i}} \left( e^{\mathrm{i}x} - e^{-\mathrm{i}x} \right)

,

somit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t) = a_0+\sum_{n=1}^N \frac12 \left( a_n (e^{\mathrm{i}n \omega t} + e^{-\mathrm{i}n \omega t}) - { 1 \over \mathrm{i} } b_n (e^{\mathrm{i}n \omega t} - e^{-\mathrm{i}n \omega t})\right)
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = a_0+\sum_{n=1}^N \frac12 \left( a_n (e^{\mathrm{i}n \omega t} + e^{-\mathrm{i}n \omega t})+\mathrm{i}b_n (e^{\mathrm{i}n \omega t} - e^{-\mathrm{i}n \omega t})\right)
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = a_0+\sum_{n=1}^N \frac12\left( (a_n+\mathrm{i}b_n)e^{\mathrm{i}n \omega t}+(a_n-\mathrm{i}b_n)e^{-\mathrm{i}n \omega t}\right)

Mit den komplexen Koeffizienten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_0:=a_0 , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_n:=\frac12(a_n+\mathrm{i}b_n) 

und  Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_{-n}:=\frac12(a_n-\mathrm{i}b_n)
für n>0 erhalten wir eine Summe mit auch negativen Indizes
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t) = \sum_{n=-N}^N c_ne^{\mathrm{i}n \omega t }


Fourier-Reihe

Wir kennen jetzt also die trigonometrische Summe in verschiedenen Darstellungen. Es war aber gefragt, eine periodische stetige Funktion mittels solch einer Summe zu approximieren. Dazu stellen wir fest, dass die komplexen Koeffizienten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_n , und damit auch die der anderen Darstellungen, sich aus der Summenfunktion zurückgewinnen lassen.

Dazu wird die obige Gleichung mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{-\mathrm{i} m \omega t} 

multipliziert und sodann auf beiden Seiten über dem Intervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [0,T]

, d.h. über eine Periode, integriert. Mit Umformungen erreicht man folgende Aussage:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t) = \sum_{n=-N}^N c_n \left( e^{\mathrm{i}n \omega t} e^{-\mathrm{i} m \omega t} \right) = \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} e^{\mathrm{i} (n+m) \omega t - \mathrm{i} m\omega t} =\sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} e^{\mathrm{i} n \omega t }
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Leftrightarrow \int_0^T e^{-\mathrm{i} m \omega t} f(t) dt= \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} \int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt ,


und für das Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n -te Integral auf der rechten Seite gilt:

bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n=0
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_0^T e^{\mathrm{i} 0 \omega t } dt = T
bei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\ne0
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt = \left[ \frac1{\mathrm{i}n \omega } e^{\mathrm{i} n\omega t} \right]_0^T 
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \frac1{\mathrm{i}n \omega } (e^{\mathrm{i} n\omega T } - 1)

Wegen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega T=2\pi 

gilt nun aber Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{ \mathrm{i}n\omega T}=(e^{2\pi \mathrm{i}})^n=1

, also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_0^T e^{\mathrm{i} n \omega t } dt = 0


Insgesamt vereinfacht sich das Integral zu

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt= \sum_{n=-N-m}^{N-m} c_{n+m} \int_0^T e^{\mathrm{i}n \omega t} dt =Tc_m


Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Leftrightarrow c_m = \frac1T \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} m \omega t} dt.


Wir können nun versuchen, die trigonometrische Summe durch eine beliebige stetige periodische Funktion f zu ersetzen, die Koeffizienten nach obigen Formeln zu bestimmen und die mit diesen Koeffizienten gebildeten trigonometrischen Summen mit der Ausgangsfunktion vergleichen:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_N(t):=\sum_{n=-N}^N c_ne^{in\omega t}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =\frac1T \sum_{n=-N}^N \int_0^T f(s) e^{-\mathrm{i} n \omega s} \,ds\;e^{\mathrm{i}n\omega t}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =\frac1T \int_0^T \sum_{n=-N}^N f(s) e^{\mathrm{i} n \omega (t-s)} \,ds\;

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): =\int_0^T \frac1TS_N(\omega(t-s)) f(s) \,ds\;


Die Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): S_N(\tau)=\sum_{n=-N}^N (e^{\mathrm{i} \tau})^n=\frac{\sin((N+\frac12)\tau)}{\sin(\frac12\tau)} 

ist der Dirichlet-Kern.

Konvergenz der Fourier-Reihe

Die so definierte Reihe <fN > ist sicher schön, aber nutzlos, wenn sie nicht gegen die ursprüngliche Funktion konvergiert. Tatsächlich konvergiert sie für sehr viele Funktionen, unter anderem konvergiert sie für alle differenzierbaren Funktionen oder alle quadratintegrierbaren Funktionen. Damit sei im Rahmen dieses Artikels das Gleichheitszeichen ganz am Anfang gerechtfertigt.

Wir können also zusammenfassen:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty { e^{\mathrm{i}n \omega t} \over T } \int_0^T f(t) e^{-\mathrm{i} n \omega t} dt.


Aperiodische Vorgänge

Voraussetzung für die hergeleitete Fourier-Reihe ist die Periodizität von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t) 

über dem Zeitintervall Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T

. Selbstverständlich gibt es auch nichtperiodische Funktionen, die diese Voraussetzung für kein endliches Zeitintervall erfüllen. Wie schon gezeigt haben die Oberschwingungen die Frequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n/T 

für die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

-te Oberschwingung. Die Differenz der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n -ten Oberfrequenz von der vorherigen ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n/T - (n-1)/T = 1/T , das heißt die Oberfrequenzen haben den Abstand 1/Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T . Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T 

gegen Unendlich rücken sie infinitesimal eng zusammen - und eine Summe über solche kleinen Stücke ist genau die Definition des Riemann-Integrals.

Die Summe wird im Grenzfall zum Integral.

Das Fourier-Integral, die kontinuierliche Fourier-Transformation, ist also gegeben durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty a(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} \,d \omega


mit

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,dt.


Aus der Folge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n 

ist nun das kontinuierliche Spektrum Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a(\omega)
geworden. Man bezeichnet genau genommen die zweite Transformation als Fourier-Transformation, die erste, deren inverse, ist die Fourier-Synthese.

Die zweite Gleichung kann analog wie für die Reihe hergeleitet werden.

Differentialgleichungen

Die Fouriertransformation wird oft eingesetzt, um Differentialgleichungen zu lösen. Denn die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{inx} 

bzw. die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sin nx, \cos nx
sind Eigenfunktionen der Differentiation, und die Transformation wandelt lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten in normale algebraische Gleichungen um.

(So ist zum Beispiel in einem linearen zeitinvarianten physikalischen System die Frequenz eine Erhaltungsgröße, und das Verhalten kann für jede Frequenz einzeln gelöst werden.)

Verallgemeinerung

(Der folgende Abschnitt setzt Kenntnisse in linearer Algebra voraus.)

Allgemeine Betrachtung

Als verallgemeinerte Fouriertransformation wird jede Zerlegung einer Funktion in ein System von Basisfunktionen bezeichnet. Solche Zerlegungen finden u.a. im Apparat der Quantenmechanik eine wichtige Anwendung. Durch die folgende abstrakte Betrachtung gewinnt man wichtige Einsichten in die eigentliche Bedeutung der Fouriertransformation, die elementare Herleitung in den vorangegangenen Abschnitten erscheint in einem neuen Licht.

Man betrachte die zu transformierenden Funktionen (wie oben zunächst Funktionen mit der Periodizität T) als Elemente eines Vektorraums. Dass die Vektorraumaxiome erfüllt sind, erkennt man schon durch hinschreiben; nun steht die ganze Macht der Theorie der linearen Algebra zur Verfügung (wobei der betrachtete Raum von unendlicher Dimension ist).

Als geeignetes Inneres Produkt zweier Funktionen definiert man wie üblich das Integral des Produktes der beiden über einem von der Anwendung abhängigen Intervall. Es bietet sich an, über die Periode von 0 bis T zu integrieren:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f \cdot g = \int_0^T \overline{f(t)}g(t)dt.


Dabei ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \overline{f(t)} 

das komplex konjugierte von f(t).

So wie (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) eine Basis des dreidimensionalen reellen Anschauungsraumes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3 

ist, besitzt auch der Funktionenraum wie jeder Vektorraum eine Basis. Während im endlich-dimensionalen die Basen genau die minimalen Erzeugendensysteme sind, muss bei den unendlich-dimensionalen Funktionenräumen durch ein Funktionensystem das Kriterium der Vollständigkeit (im Sinne der Funktionalanalysis) erfüllt sein.

Gegeben sei das vollständige Basissystem B. Man kann jede Funktion aus dem Funktionenraum als Linearkombination der Basisfunktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b_n 

darstellen:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (1) \ f = \sum \lambda_n b_n.


Praktisch möglich ist die Bestimmung der Koeffizienten aber nur, wenn das Basissystem ein Orthogonalsystem ist, besonders einfach, wenn es ein Orthonormalsystem ist, d.h. für alle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b_n, b_m \in B 

gilt
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (2) \ b_n \cdot b_m = \begin{cases} 1 & \mbox{falls } m=n \\ 0 & \mbox{falls } m \neq n \end{cases} = \delta_{mn}.


Denn wie man die Komponente eines Vektors in x-Richtung im Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3 

durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r_x = b_x \cdot \vec r = \left( 1,0,0 \right) \cdot \vec r


erhält - denn auch das obige Beispiel ist eine Orthonormalbasis - so erhält allgemein man den Faktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda_n , die "Komponente in Richtung" von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b_n , durch

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (3) \ \lambda_n = b_n \cdot f,


wenn die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b_n 

ein vollständiges Orthonormalsystem, eine Orthonormalbasis, bilden. Der Beweis ist einfach: Denn unter Ausnutzung der Linearitätseigenschaften des Inneren Produkts erhält man

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b_n \cdot f =^{(1)} b_n \cdot \left( \sum_\nu \lambda_\nu b_\nu \right)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \sum_\nu \lambda_\nu ( b_n \cdot b_\nu) =^{(2)} \sum_\nu \lambda_\nu \delta_{n\nu} = \lambda_n.


Es sei angemerkt, dass der Vergleich mit dem Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^3 

hier eher didaktischer Natur ist, denn die Beispielbasis ist genau genommen eine Hamelbasis, während die Orthonormalbasis des untersuchten Funktionenraumes keine solche ist - der Raum besitzt auch eine Hamelbasis, die allerdings überabzählbar und von keinem praktischen Interesse ist. Die Orthonormalbasis hat abzählbare Dimension und sie ist vollständig, d.h. ihre lineare Hülle liegt dicht im Vektorraum, ist aber nicht notwendigerweise gleich dem Raum. Deshalb lässt sich nicht unbedingt jedes Element des Raums durch eine endliche, wohl aber eine unendliche Summe darstellen.

Zusammenfassend gilt nach (1) und (3) für eine beliebige Funktion f aus dem Funktionenraum und für jedes vollständige Orthonormalsystem B

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (4) \ f= \sum_n (b_n \cdot f) b_n.


Fouriertransformation als Beispiel

Den Weg zurück zur Fouriertransformation findet man, indem man zunächst die Funktionen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b'_n=e^{i n \omega t} 

untersucht, nach denen ja entwickelt wird.

Sie sind ein Orthogonalsystem, denn mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega = \frac{2\pi}{T} 

folgt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b'_n \cdot b'_m

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \int_0^T \overline{e^{\mathrm{i} n \omega t}} e^{\mathrm{i} m \omega t} dt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \int_0^T e^{-\mathrm{i} n \omega t} e^{\mathrm{i} m \omega t} dt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \int_0^T e^{\mathrm{i} \omega t(m-n)} dt = \begin{cases} T & \mbox{falls } m=n \\ 0 & \mbox{falls } m \neq n \end{cases} = T \delta_{mn}.


(Das Integral wurde schon in der elementaren Herleitung gelöst.)

Für die Norm findet man

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \| b'_n \| = \sqrt{ b'_n \cdot b'_n } = \sqrt T.


Offenbar sind die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b'_n 

orthogonal, orthonormal sind aber erst die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b_n={1 \over \sqrt{T}}e^{\mathrm{i} n \omega t}

. Nach der allgemeinen Herleitung (4) gilt also für eine Funktion f(t)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(t)= \sum_{n \in \mathbb{Z}} (b_n \cdot f(t)) b_n

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \sum_{n=-\infty}^\infty \left({1 \over \sqrt{T}}e^{\mathrm{i} n \omega t} \cdot f(t) \right) {1 \over \sqrt{T}}e^{\mathrm{i} n \omega t}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \sum_{n=-\infty}^\infty {1 \over T} \left(e^{\mathrm{i} n \omega t} \cdot f(t)\right) e^{\mathrm{i} n \omega t}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \sum_{n=-\infty}^\infty {1 \over T} \left(\int_0^T \overline{e^{\mathrm{i} n \omega t}} f(t) dt \right) e^{\mathrm{i} n \omega t}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): = \sum_{n=-\infty}^\infty { e^{\mathrm{i} n \omega t} \over T} \int_0^T e^{-\mathrm{i} n \omega t} f(t) dt,


was genau dem Resultat der elementaren Herleitung entspricht. Wie dort der Konvergenzbeweis, fehlt auch hier nur noch der Beweis, dass das Basissystem für weite Funktionenklassen vollständig ist.

Literatur

  • S. Bochner, K. Chandrasekharan, Fourier Transforms, Princeton Book Comp. Publ., 2001, ISBN 0-691-09578-7
  • O. Föllinger, M. Kluwe, Laplace-, Fourier- und z-Transformation, Hüthig, 2003, ISBN 3-778-52911-0
  • B. Lenze, Einführung in die Fourier-Analysis, Logos Verlag, Berlin, 2000, ISBN 3-931-21646-2
  • M.J. Lighthill, Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions, Cambridge University Press, Cambridge, 2003, ISBN 0-521-09128-4
  • A. Papoulis, The Fourier Integral and Its Applications, McGraw-Hill, New York, 1962, ISBN 0-070-48447-3
  • E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, Princeton, 2003, ISBN 0-691-11384-X

Siehe auch

Weblinks

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