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Fläche zweiter Ordnung
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Begründung:Die Wikipedia ist eine Enyzklopädie und keine Formeldsammlung. Bis auf wirren Buchtsaben- und Zeichensalat (*eg*) kein wirklicher Inhalt. Die wenigen Worte erklären das Lemma jedenfalls nicht. --Weissbier 13:16, 26. Apr. 2007 (CEST)
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Als Flächen zweiter Ordnung des Raumes bezeichnet man Flächen, welche durch ein quadratisches Polynom beschrieben werden. Diese Punktmengen erfüllen Koordinatenform folgende Gleichung:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_{11} x^2 +a_{22} y^2+a_{33} z^2 + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{23} y z + a_1 x + a_2 y + a_3 z + \beta = 0
In Matrizenschreibweise:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\vec x}^T \cdot A \cdot \vec x + {\vec a}^T \vec x + \beta = 0
mit
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec x = (x,y,z), \vec a = (a_1,a_2,a_3), A = \begin{pmatrix} a_{11} ~ a_{12} ~ a_{13} \\ a_{21} ~ a_{22} ~ a_{23} \\ a_{31} ~ a_{32} ~ a_{33} \end{pmatrix} , a_{ij} = a_{ji}
Transformation auf Normalform:
Das singuläre Gebilde S einer Fläche zweiter Ordnung ist die Menge aller Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec x , für die gilt:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec x \cdot A = - \vec a
Verschiebung des Koordinatensystems um einen Vektor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec x
aus S führt zum Verschwinden der linearen Glieder in der Gleichung der Fläche zweiter Ordnung. Die Gleichung geht über in:
- b11x'2 + b22y'2 + b33z'2 + 2b12x'y' + 2b13x'z' + 2b23y'z' + b = 0
x', y', z' sind die Koordinaten des neuen Koordinatensystems.
Der Ursprung des neuen Koordinatensystems ist der Symmetriepunkt der Fläche 2. Ordnung.
Hauptachsentransformation in ein Koordinatensystem mit festem Ursprung und Koordinatenachsen in Richtung der Eigenvektoren bringt die Gleichung der Fläche zweiter Ordnung in die Normalform:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
1x2 + Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda 2y2 + Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda 3z2 + d = 0
Klassifizierung der Flächen zweiter Ordnung
| Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
1 | Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
2 | Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
3 | d | Typ |
|---|---|---|---|---|
| >0 | >0 | >0 | <0 | Ellipsoid |
| >0 | >0 | >0 | >0 | nullteilige Fläche 2. Ordnung |
| >0 | >0 | >0 | =0 | entartetes Ellipsoid (Nullpunkt) Kegel mit nichtreellen Erzeugenden |
| >0 | >0 | <0 | <0 | einschaliges Hyperboloid |
| >0 | >0 | <0 | >0 | zweischaliges Hyperboloid |
| >0 | >0 | <0 | =0 | elliptischer Doppelkegel (Kegelachse: x3) |
| >0 | >0 | =0 | >0 | Zylinder mit nichtreellen Erzeugenden |
| >0 | >0 | =0 | <0 | elliptischer Zylinder |
| >0 | >0 | =0 | =0 | Paar einander schneidender nichtreeller Ebenen |
| >0 | <0 | =0 | Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \ne 0 | Hyperbolischer Zylinder |
| >0 | <0 | =0 | =0 | Paar sich schneidender Ebenen (beide zur z-Achse parallel) |
| >0 | =0 | =0 | <0 | 2 parallele Ebenen (zur x-Achse parallel) |
| >0 | =0 | =0 | >0 | 2 nichtreelle parallele Ebenen |
| >0 | =0 | =0 | =0 | Koordinatenebene (y,z-Ebene) |
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