Das Fotonexus-Wiki befindet sich im Testbetrieb.
Fakultät (Mathematik)
Aus Fotonexus.
Die Fakultät (manchmal auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt.
Inhaltsverzeichnis |
Definition
Für alle natürlichen Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n! = 1\cdot 2 \cdot 3\cdots (n-1)\cdot n.
Außerdem ist
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0! = 1\,
Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert; als Ersatz kann jedoch die Gammafunktion dienen.
Beispiele
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1! = 1 \,
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2! = 1 \cdot 2 = 2
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120
- Kürzen innerhalb eines Quotienten mit Fakultäten
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{n!}{(n-1)!}=n
zur Erklärung
der obige Term kann zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{(n-1)! \cdot n}{(n-1)!}
umgeschrieben werden, dabei wurde lediglich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (n-1)!
in Zähler und Nenner gekürzt
Bemerkung
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n! = n\cdot (n-1)!
für n > 0 folgt direkt aus der Definition. Zusammen mit der Eigenschaft Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 0!=1 liefert dies eine rekursive Charakterisierung der Fakultät.
Bedeutung für die Kombinatorik
In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n!
als die Zahl der Möglichkeiten interpretiert werden kann, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X eine Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
-elementige Menge ist, so ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n!
auch die Zahl der bijektiven Abbildungen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X\to X (die Anzahl der Permutationen).
Beispiel
Problem:
Bei einem Autorennen starten 6 Fahrer. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge beim Zieleinlauf dieser Fahrer, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen?
Lösung:
Für den ersten Platz kommen alle 6 Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den 3. Platz nur noch 4 Fahrer in Frage, usw. Es gibt also 6! = 720 verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.
Verwandte Begriffe
- Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {n\choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}
. Er gibt u.a. die Anzahl der Möglichkeiten an, eine k-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge zu bilden. Hier ist das beliebteste Beispiel das Zahlenlotto mit
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {49\choose 6}=\frac{49!}{6!\,(49-6)!}=13.983.816
Möglichkeiten.
- Eine Verallgemeinerung der Fakultät für nicht natürlichzahlige Argumente kann mithilfe der Gammafunktion beschrieben werden, die für komplexe Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): z
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{Re}\,z>0
durch
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t} \,\mathrm{d}t
- definiert ist. Aus der Funktionalgleichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma(z+1) = z \Gamma(z)
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma(1)=1 folgt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Gamma(n+1) = n!
für nichtnegative ganze Zahlen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
.
- Die Gammafunktion kann als meromorphe Funktion auf die gesamte komplexe Ebene fortgesetzt werden.
- Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, ist die Taylorreihe einer Funktion; insbesondere finden sich Fakultäten in den Potenzreihen der Sinusfunktion oder der Exponentialfunktion.
- Eine kombinatorische Verallgemeinerung der Fakultät stellen die fallende Faktorielle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (n)_k
und die steigende Faktorielle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (n)^k dar, es gilt nämlich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (n)_n = (1)^n = n!
.
- Die Doppelfakultät, die wesentlich seltener als die Fakultät vorkommt, ist das Produkt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n!! = \begin{cases} n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdots 2 & \mathrm{f\ddot ur}\ n\ \mathrm{gerade}\\ n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdots 1 & \mathrm{f\ddot ur}\ n\ \mathrm{ungerade}.\end{cases}
- Zum Beispiel ist (2n-1)!! die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von 2n Elementen. Sie werden auch als echt involutorische Permutationen bezeichnet. Damit meint man involutorische Permutationen ohne Fixpunkte. Häufig werden statt der Doppelfakultät die expliziten Ausdrücke
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (2k)!! = 2^k\cdot k!
bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (2k-1)!! = \frac{(2k)!}{2^k\cdot k!}
- benutzt.
- Auch die Subfakultät Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): !n
ist außerhalb der Kombinatorik wenig verbreitet. Sie steht in engem Zusammenhang mit der Fakultät Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n!
, sie bezeichnet die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von n Elementen.
Numerische Berechnung
Der numerische Wert für n! kann gut rekursiv berechnet werden, falls n nicht zu groß ist.
Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern noch ausgerechnet werden kann, ist dabei 69!, da Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 70!\approx 1,20\cdot 10^{100} > 10^{100}
schon außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches steht.
Wenn nun n sehr groß ist, kann man n! ziemlich gut durch die Stirling-Formel abschätzen:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
Dabei bedeutet Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sim , dass der Quotient aus linker und rechter Seite für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n\to\infty
gegen 1 konvergiert.
Weblinks
- Seite über Fakultäten mit Quelltexten und weiteren Referenzen
- Berechnung der Fakultät (Javascript)
- Eric W. Weisstein: Factorial auf MathWorld
| Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Fakult%C3%A4t_%28Mathematik%29, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. |
| Dieses Dokument entstammt in seiner ersten oder einer späteren Version der deutschsprachigen Wikipedia. Es ist dort zu finden unter dem Stichwort Fakult%C3%A4t_%28Mathematik%29, die Liste der bisherigen Autoren befindet sich in der Versionsliste; die Originalfassung kann dort auch bearbeitet werden. Alle Texte der Wikipedia und ihre Derivate stehen unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. |
