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Fünfeck
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Ein Fünfeck (griech. pentagon) ist eine geometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (= Polygone) und ist durch fünf Punkte definiert.
Inhaltsverzeichnis |
Mathematische Zusammenhänge
Sofern nichts anderes gesagt wird, ist von einem ebenen, regelmäßigen Fünfeck die Rede. Dieses besitzt fünf gleichlange Seiten und fünf gleichgroße Innenwinkel. Die fünf Eckpunkte liegen in einer Ebene.
Formeln
Für ein gleichseitiges Fünfeck (Pentagon) mit der Seitenlänge Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
gilt:
| Fläche | Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A = \frac{{a^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4} |
| Umkreisradius | Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r_u = \frac{{a\sqrt {50 + 10\sqrt 5 } }}{{10}} |
| Inkreisradius | Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r_i = \frac{{a\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{{10}} |
| Diagonale | Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d = \frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right) |
| Höhe | Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h = r_u+r_i=\frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } |
| Umfang | Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): u = 5 \cdot a |
Beweis siehe Weblinks unten.
Formeln für Winkelberechnungen
Die Summe der Innenwinkel eines Fünfecks beträgt stets 540° und ergibt sich aus einer allgemeinen Formel für Polygone, in der für die Variable n die Anzahl der Eckpunkte des Polygons eingesetzt werden muss (in diesem Fall: n = 5):
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ
Der Winkel, den zwei benachbarte Seitenkanten im ebenen, regelmäßigen Fünfeck miteinander einschließen, beträgt (wiederum nach einer allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone):
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ
Bild:Pentagon measures.svg
Reguläres Fünfeck
Formel für die Fläche A
Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbaren Flächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt. Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge a ist das Fünffache der Fläche eines von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Eckpunkte aufgespannten Dreiecks.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A=5 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \tan 54^\circ \cdot \frac{a}{2} = \frac{5}{4} \cdot a^2 \cdot \tan 54^\circ \approx a^2\cdot 1{,}7204774
Allgemein mit dem Umkreisradius ru
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A=\frac{5}{8}\cdot r_u^2 \cdot \sqrt{10+2\sqrt{5}}
oder auch:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A=\frac{5}{2}\cdot r_u^2 \cdot \sin{72^\circ} \approx r_u^2 \cdot 2{,}3776413
Formel für die Seitenlänge a
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=2 \cdot r_u \cdot \cos 54^\circ
oder auch:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a=r_u \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}} \approx r_u \cdot 1{,}1755705
Der Goldene Schnitt im Fünfeck
Bild:Golden ratio - Pentagram.svg
Pentagramm
Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu seiner Diagonalen. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis, d.h. AD
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verhält sich zu BD
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wie BD
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zu CD
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Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal
Für das regelmäßige Fünfeck existiert eine mathematisch exakte Konstruktion zur Bestimmung der Seitenlänge. Im Folgenden die Erläuterungen zur nebenstehenden Abbildung (Bild anklicken zeigt Vergrößerung; die Farben dienen zur besseren Veranschaulichung):
- Einen Kreis (späterer Umkreis, blau) mit beliebigem Radius r um den Mittelpunkt M zeichnen und zwei zueinander senkrechte Durchmesser (rot) einzeichnen.
- Zwei auf der Kreislinie benachbarte Schnittpunkte der Senkrechten mit dem Kreis werden mit A und E bezeichnet.
- Mit dem selben Radius r um A einen Kreisbogen zeichnen (gelb), der den ersten Kreis (blau) zweifach (Punkte B und C) schneidet.
- Die Gerade BC einzeichnen, sie schneidet die Strecke AM genau in der Hälfte im Punkt D.
- Einen Kreis (grün) mit dem Radius DE
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um D zeichnen. Er schneidet die Gerade AM
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im Punkt F. Die Strecke EF
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ist die Länge der Seite.
- Zum Abtragen auf dem Umkreis einen weiteren Kreisbogen (orange) mit Radius EF
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um E zeichnen. Er schneidet den ersten Kreis (blau) in G (und im genau gegenüberliegenden Punkt J, der hier nicht eingezeichnet ist).
- Mit zwei weiteren Kreisen um die Punkte G und J können die nicht eingezeichneten fehlenden Eckpunkte H und I konstruiert werden.
Die Seitenkanten des Dreiecks MEF entsprechen exakt den Seitenlängen des regelmäßigen Sechsecks (ME
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), des regelmäßigen Fünfecks (EF
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) und des regelmäßigen Zehnecks (FM
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) mit dem gegebenen Umkreisradius r.
Mathematisch ausgedrückt:
- Einen Kreis mit beliebigem Radius r mit dem Mittelpunkt M zeichnen und auf dem Durchmesser die Mittelsenkrechte konstruieren.
- Die Schnittpunkte des Durchmessers mit dem Kreis werden mit A und X bezeichnet, die der Mittelsenkrechten mit E und Y. (X und Y fehlen in der Darstellung)
- Zirkel in A einsetzen und AM
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=r auf dem Kreis abtragen. Die Schnittpunkte werden mit B und C bezeichnet. (gelber Kreis)
- BC
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schneidet AM
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in D.
- Zirkel in D einsetzen und DE
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auf AX
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abtragen, womit wir F erhalten.
ME
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ist die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks, EF
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die des regelmäßigen Fünfecks und FM
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die des regelmäßigen Zehnecks mit dem gegebenen Umkreisradius r.
Bedeutung des Fünfecks im Festungsbau
Der Grundriss einer neuzeitlichen bastionierten Festung hat sehr häufig die Form eines Fünfecks. Die Ursache dafür liegt in der Tatsache, dass sich eine so geformte Festung besonders leicht mit Feuerwaffen verteidigen lässt. Anschauliche Beispiele sind die vollständig erhaltene Festung Bourtange in den Niederlanden und die nur noch teilweise vorhandene Zitadelle der Festung Wesel. Eine der wichtigen pentagonalen Festungen in Nordwestdeutschland überhaupt war die im Wesentlichen noch erhaltene Festung Orsoy (Ortsteil Stadt Rheinberg).
Auch das Pentagon in Washington nutzt das Fünfeck als Grundriss und spielt damit auf diesen alten Grundsatz der Konstruktion von Festungen an. (Bei den bis zum 11. September 2001 möglichen Pentagonführungen wurde ein anderer Grund für die Formwahl genannt: Das Pentagon sollte ursprünglich an anderer Stelle errichtet werden, und die Form war durch die fünf um das vorgesehene Grundstück verlaufende Straßen vorgegeben. Allerdings konnte am vorgesehenen Platz nicht gebaut werden. Weil man in Zeitnot war, wurden die Pläne nicht mehr geändert.)
Weblinks
- Eine Möglichkeit, exakte Fünfecke mit SVG zu zeichnen, findet sich in den Wikimedia Commons
Link auf Wikibooks
| <imagemap>-Fehler: Bild ist ungültig oder nicht vorhanden | Wikibooks: Fünfeck – Lern- und Lehrmaterialien |
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Dreieck | Viereck | Fünfeck | Sechseck | Siebeneck | Achteck | Neuneck | Zehneck | Siebzehneck | 257-Eck | 65537-Eck
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