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Elektrischer Widerstand

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Dieser Artikel betrachtet Widerstand als physikalische Eigenschaft; für das elektrische Bauelement siehe Widerstand (Bauelement).

Physikalische Größe
Name		Elektrischer Widerstand
Formelzeichen der Größe		R, Z
Größen- und Einheitensystem	Einheit		Dimension
SI	Ohm (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Omega )		M·L²/(I·T³)

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Der elektrische Widerstand (Formelzeichen: R) ist ein Begriff der Elektrotechnik. Er charakterisiert die Eigenschaft von Bauteilen (bzw. Schaltungsteilen), den Stromfluss zu hemmen.

Er ist ein Maß dafür, welche Spannung erforderlich ist, um einen bestimmten Strom durch einen elektrischen Leiter fließen zu lassen.

Die Materialkonstante Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho

ist der spezifische elektrische Widerstand. Dieser Wert ermöglicht eine von der geometrischen Form des ausgeführten Leiters unabhängige Beschreibung der Widerstandseigenschaft.

Das Formelzeichen R kommt von dem englischen Wort „resistance“. Der Widerstand hat die SI-Einheit Ohm, sein Einheitenzeichen ist das große Omega (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Omega ).

Geschichte

Die elektrische Ladung war seit Coulomb bekannt, die elektrische Spannung seit Volta und die Wirkung des elektrischen Stromes seit Ampère. Ohm kannte die Kraftwirkung der elektrischen Spannung, deshalb konnte er Spannungen durch Kraftmessungen bestimmen. Die Stärke von Strömen konnte er anhand chemischer Prozesse quantitativ bestimmen. Man wusste, dass elektrische Ströme etwas mit der Bewegung der coulombschen Ladungen zu tun haben. Die gesetzmäßigen Zusammenhänge zwischen Spannung und Stromstärke waren unbekannt.

Erste Versuche ließen keine klaren Gesetzmäßigkeiten erkennen. Erst als Ohm begann, einen langen und sehr dünnen stromdurchflossenen Draht auf konstanter Temperatur zu halten, erkannte er die strenge Proportionalität zwischen Spannung und Stromstärke:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U \sim I

Diese Proportionalität zwischen Spannung und Stromstärke wird durch das von ihm formulierte und nach ihm benannte ohmsche Gesetz beschrieben:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U = R \cdot I

Der von U und I unabhängige Proportionalitätsfaktor R ist der elektrische Widerstand. Dieses sehr simpel erscheinende Gesetz wurde zu einer Zeit gefunden, als es noch keine „richtigen“ Spannungsquellen gab, geschweige denn Volt- oder Ampère-Meter. Zudem waren die Messungen von anderen physikalischen Effekten überlagert. Auch waren die Begriffe Spannung, Stromstärke und Widerstand noch nicht allgemein etabliert. Erst vor diesem Hintergrund kann man seine wissenschaftliche Leistung würdigen.

Ohm war aber in Deutschland kein angesehener Wissenschaftler, Professuren wurden ihm verweigert. Das änderte sich erst, als ihm zahlreiche Würdigungen aus dem Ausland zuteil wurden.

Ohmscher Widerstand

Ein ohmscher Widerstand ist ein elektrischer Widerstand, der unabhängig von der Spannung, der Stromstärke und der Frequenz ist. Daher gilt an einem ohmschen Widerstand das ohmsche Gesetz für beliebige Spannungen, Ströme und Frequenzen. Näherungsweise und mit Einschränkungen kann ein ohmscher Widerstand durch ein Bauelement realisiert werden, das üblicherweise auch einfach Widerstand (Bauelement) genannt wird.

Gleichstromwiderstand

In Gleichstromkreisen gilt für viele wichtige Leiter (z. B. Metalldrähte, Elektrolytlösungen) das ohmsche Gesetz, das heißt die Stromstärke Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I

ist proportional zur angelegten Spannung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U

. Der Proportionalitätsfaktor heißt elektrischer Leitwert Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G

des Leiters. Er ist der Kehrwert des elektrischen Widerstands Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R

Es gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G = \frac{1}{R}

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R=\frac{U}{I}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): U

= elektrische Spannung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): I

= elektrische Stromstärke

Die Konstante Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R

wird als Gleichstromwiderstand bezeichnet.

Berechnung des Widerstands eines Leiters

Der elektrische Widerstand eines Körpers lässt sich über seine geometrischen Abmessungen und eine materialspezifische Konstante, den spezifischen Widerstand Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho , berechnen.

Bild:Widerstand Formel.PNG

Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche A und der Länge l gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R = \rho \cdot \frac{l}{A}

Die Querschnittsfläche Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A

berechnet sich für runde Drähte mit dem Durchmesser Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d
nach der Formel:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A = d^2\cdot\frac{\pi}{4}

Bei der Berechnung sollte aber beachtet werden, dass der spezifische Widerstand von der Temperatur abhängig ist.

Temperaturabhängigkeit

**Beispiele für spezifischen Widerstand und Temperaturkoeffizient bei 20 °C**
Material	ρ₂₀ in (Ω·mm²)/m	α₂₀ in 1/K
Silber	1,6 · 10^-2	3,8 · 10^-3
Kupfer	1,7 · 10^-2	3,9 · 10^-3
Silizium	640	-7,5 · 10^-2

Der elektrische Widerstand eines Leiters ist im Wesentlichen von seiner Temperatur und der Frequenz der Spannung abhängig.

Die Frequenzabhängigkeit kann man leicht umgehen, wenn man Gleichstrom verwendet. Dafür wird auch der Begriff Gleichstromwiderstand verwendet. Wie oben beschrieben, berechnet sich der Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters durch:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R_{20}=\rho_{20} \cdot \frac{l}{A}

Dieses gilt aber nur für die Temperatur, für die der angegebene spezifische Widerstand gilt. Wenn nicht anders angegeben, gilt dieses für eine Ausgangstemperatur von 20 °C. Darauf weist auch die 20 im Index von R hin.

Grundsätzlich ist aber der Widerstand temperaturabhängig. Dieses gilt für alle Materialien.

Dieses Verhalten ist materialabhängig und wird mit dem Linear-Temperaturkoeffizienten α und der Bestimmung des Temperaturunterschieds (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta T = T - T_0 ) berechenbar. Im allgemeinen beschreibt man diese Änderung durch eine Linearisierung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R(T) = R(T_0)(1 + \alpha_{T_0} \cdot (T-T_0))

bei

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T_0 = 20\,^{\circ}\mathrm{C}.

Für die meisten Materialien und Anwendungen mit nicht zu großen Temperaturbereichen reicht diese lineare Näherung aus, da die Temperaturkoeffizienten höherer Ordnungen dann vernachlässigbar klein sind.

Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, unterscheidet man zwischen Kaltleitern oder PTC (Widerstandswert steigt, prinzipiell bei allen Metallen; PTC: positive temperature coefficient) und Heißleitern oder NTC (Widerstandswert sinkt; NTC: negative temperature coefficient).

In der Technik wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes ausgenutzt, zum Beispiel beim Thermostaten und Widerstandsthermometer (Beispiel: Thermometer mit Pt100-Fühlern) oder bei Thermo-Anemometern (Windmessgeräten).

Eine Ausnahme stellt der Konstantandraht dar, dieser zeichnet sich durch einen über weite Temperaturbereiche annähernd konstanten spezifischen elektrischen Widerstand aus.

Wechselstromwiderstand

An einem beliebigen linearen passiven Zweipol fällt nach einer häufig vernachlässigbaren Einschwingzeit eine sinusförmige Spannung ab, wenn er von einem sinusförmigen Strom durchflossen wird. Strom und Spannung sind dabei im allgemeinen in der Phase verschoben. Der Quotient aus den Amplituden oder Effektivwerten von Spannung und Strom wird als Scheinwiderstand Z bezeichnet. In der komplexen Wechselstromrechnung wird der Scheinwiderstand mit dem Phasenverschiebungswinkel φ zu dem komplexen Widerstandsoperator oder der Impedanz zusammengefasst. Durch Zerlegung in rechtwinklige Komponenten ergeben sich der Wirkwiderstand R und der Blindwiderstand X, der durch Kapazitäten beziehungsweise Induktivitäten verursacht wird. Der Wirkwiderstand wird manchmal auch als ohmscher Anteil der Impedanz bezeichnet, wobei aber zu beachten ist, dass der Wirkwiderstand als Realteil einer komplexen Impedanz frequenzabhängig sein kann, während ein ohmscher Widerstand definitionsgemäß nicht frequenzabhängig ist.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\underline {Z}} = \frac{{\underline {u}}} {{\underline {i}}}= \frac {u_{\rm max} \cdot e^{j(\omega t + \varphi_u)}}{i_{\rm max} \cdot e^{j(\omega t + \varphi_i)} } = Z \cdot e^{j(\varphi_u - \varphi_i)} = Z \cdot [\cos (\varphi_u - \varphi_i) + j \sin (\varphi_u - \varphi_i)]

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi_u - \varphi_i = \varphi_z

durch Zerlegung in rechtwinklige Komponente (siehe hier)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname {Im} ({\underline {Z}}) = Z \cdot \sin (\varphi_z) = X

(Blindwiderstand)

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname {Re} ({\underline {Z}}) = Z \cdot \cos (\varphi_z) = R

(Wirkwiderstand)

folgt für die Impedanz:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\underline {Z}} = R + jX = \sqrt {R^2 + X^2} \cdot e^{j \cdot \arctan (\frac XR)}

Es ergibt sich der Scheinwiderstand:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \frac {u_{\rm max}}{i_{\rm max}}= \frac {u_{\rm eff}}{i_{\rm eff}} = \frac {|\underline u|}{|\underline i|}

und der Phasenwinkel zwischen U und I:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi_z = \arctan \left(\frac XR\right)

Zusammenhänge

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {|\underline {Z}|}= Z

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X = X_C + X_L \,

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_C

= kapazitiver Blindwiderstand

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_L

= induktiver Blindwiderstand

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \underline {Z}

= Impedanz

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z

= Scheinwiderstand

Wirkwiderstand ist Null

Für R = 0 ergibt sich:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi_z = \arctan \left(\frac X0\right) = \arctan (\pm \infty) = \pm 90^\circ

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{j \cdot \frac{\pi}{2}} = e^{j \cdot (- \frac{\pi}{2})} = j

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\underline {Z}}= jZ = \pm jX

Spule und Kondensator sind ideal bzw. verlustfrei.

Blindwiderstand ist Null

Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_C = 0 und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_L = 0 ergibt sich:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi_z = \arctan \left(\frac 0R\right) = \arctan (0) = 0^\circ

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{j \cdot 0} = e^{j \cdot ( 2 \pi)} = 1

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\underline {Z}}= Z = \pm R

Impedanz des Zweipols ist rein ohmisch

Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_C + X_L = 0 ergibt sich:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varphi_z = \arctan \left(\frac 0R\right) = \arctan (0) = \pm 180^\circ

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): e^{j \cdot \pi} = e^{j \cdot (- \pi)} = -1

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\underline {Z}}= -Z

Spule und Kondensator sind in Resonanz, tritt also bei Resonanzfrequenz in einem Schwingkreis auf.

An einer Induktivität eilt U gegenüber I um 90° voraus, an einer Kapazität eilt U gegenüber I um 90° nach. Im stationären Zustand, also bei Gleichstrom, konstanter Temperatur usw., kann das Ohmsche Gesetz angewendet werden.

Induktiver Widerstand und kapazitiver Widerstand

Induktiver Widerstand und kapazitiver Widerstand sind Blindwiderstände. Da sie ein Zwischenspeicher für Energien sind, der Kondensator für elektrostatische Energie, die Spule für magnetische Energie, bewirken sie eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Solche idealisierten Bauelemente wandeln keine Energie in Wärme oder andere mechanisch wirksame Energien um. In der Praxis haben die Bauelemente aber immer einen (eher unerwünschten) ohmschen Anteil.

Der induktive Widerstand einer idealen Spule ist bei Gleichspannung Null und wird bei Wechselspannung proportional zu der Frequenz f größer:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_L = 2 \pi f \cdot L

Der kapazitive Widerstand eines idealen Kondensators ist bei Gleichspannung unendlich und sinkt bei Wechselspannung proportional mit der Frequenz f:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): X_C = - \frac{1}{2 \pi f \cdot C}

Bei genauer Betrachtung hat aber auch jeder Kondensator einen kleinen induktiven Anteil, so wie eine Spule auch einen kapazitiven Anteil hat. Selbst ein Stück Draht muss exakt mit R, C und L beschrieben werden. Dies zeigt sich dann im Besonderen, wenn die Bauteile mit ihren Abmessungen in den Bereich der Wellenlänge, der angelegten Wechselspannung kommen, dann besitzen sie einen nicht zu vernachlässigenden sowohl induktiven, als auch einen kapazitiven Anteil. Sie werden gegebenenfalls zum Schwingkreis, als Beispiel sei hier die Antenne genannt. Die Enden dürfen als Kondensatorplatten gesehen werden, der "Draht" dazwischen als Spule.

Schwingkreis

Durch die Parallel- beziehungsweise Reihenschaltung von Kapazität und Induktivität entsteht ein Schwingkreis. Ein Schwingkreis hat einen frequenzabhängigen elektrischen Widerstand, der nur in der Nachbarschaft der Resonanzfrequenz extremal (minimal beziehungsweise maximal) wird. Dieser Effekt wird unter anderem angewendet, um aus einem Gemisch von Signalen unterschiedlicher Frequenz eine bestimmte Frequenz herauszufiltern.

Beim realen Schwingkreis treten Kondensatorverluste und Spulenverluste durch deren ohmschen Widerstand auf. Den ohmschen Widerstand des Kondensators kann man aber meistens vernachlässigen.

Für den Resonanzwiderstand im Parallelschwingkreis ergibt sich:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): Z_{\rm r} = \frac{L}{R_L C}\,.

Dieser wird bei der Resonanzfrequenz erreicht, die folgendermaßen berechnet werden kann:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\,.

(Thomsonsche Schwingungsgleichung)

Der elektrische Widerstand im Teilchenmodell

Die physikalische Beschreibung benutzt die Vorstellung, dass sich die Valenzelektronen im Metall wie ein Gas (Elektronengas) verhalten. Im einfachsten Modell bildet das Metall ein positiv homogen geladenes Volumen, in denen sich die Elektronen frei bewegen können. In dieses Volumen sind die Atomrümpfe eingebettet, die aus dem Atomkern und den stärker gebundenen Elektronen auf den tieferen, vollbesetzten Schalen bestehen.

Ohne äußere elektrische Spannung bewegen sich die Elektronen ungeordnet im Metall (siehe: brownsche Bewegung). Legt man nun eine Spannung an die zwei Seiten an, so werden die freien Elektronen durch das elektrischen Feld in Richtung der Feldlinien beschleunigt. Es fließt ein elektrischer Strom.

Auf ihrem Weg durch das Metall kommt es zu elastischen Stößen der Elektronen mit anderen Elektronen, den Atomrümpfen und Phononen. Dabei geben die Elektronen Energie an ihre Stoßpartner ab, werden gestreut und wieder durch das elektrische Feld beschleunigt. Die Elektronen werden durch diese Wechselwirkung dauernd abgebremst und es stellt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit ein.

Die bei diesen Stößen an die Atomrümpfe beziehungsweise Phononen übertragene Energie führt zu einer größeren Eigenschwingung um ihre Gleichgewichtslage, ihre Temperatur erhöht sich. Durch die stärkeren Schwingungen erhöht sich die Querschnittsfläche für mögliche Stöße, deren Anzahl mit steigender Temperatur zunimmt und den Widerstand steigen lässt (Kaltleiter). Der Leitungsvorgang in Heißleitern kann mit diesem Modell nicht vollständig erklärt werden, da es hier mit steigender Temperatur zu einer deutlichen Ladungsträgergeneration kommt, die den eben beschriebenen Vorgang überlagern.

Bei sehr hohen Temperaturen, bei denen die Atome des Materials ionisiert werden (Plasma), ist jeder Stoff elektrisch leitend, da die vorher gebundenen Elektronen nun für den Ladungstransport zur Verfügung stehen. Umgekehrt sind Metalle und Oxide bekannt, für die der elektrische Widerstand bei sehr niedrigen Temperaturen unterhalb der so genannten Sprungtemperatur verschwindet: Supraleiter.

Durch die thermische Bewegung der Elektronen entsteht ein temperaturabhäniger Rauschstrom, der als Widerstandsrauschen bezeichnet wird.

Reihen- und Parallelschaltung

Reihenschaltung

Werden n Widerstände in Reihe geschaltet, so addieren sich die Widerstände:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {R_{\rm ges} = \sum_{k=1}^{n} R_k = R_1 + R_2 + \dots + R_n}

Veranschaulichen kann man sich dieses an zwei Widerständen, die sich nur in der Länge unterscheiden.

Bild:Widerstand R1 plus R2.PNG

Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Länge l₁ + l₂. Dann gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R = \rho \cdot {{l_1+l_2} \over A} = \rho \cdot {l_1 \over A} + \rho \cdot {l_2 \over A} = R_1 + R_2

Parallelschaltung

Bei der Parallelschaltung von n Widerständen addieren sich die Leitwerte beziehungsweise die reziproken Widerstände:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {1\over R_{\rm ges}} = \sum_{k=1}^{n} {1\over R_k} = {1\over R_1} + {1\over R_2} + \dots + {1\over R_n}

alternative Schreibweise:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R_{\rm ges}=R_1 \Vert R_2 \Vert \dots \Vert R_n

Schreibweise als Leitwerte:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): G_{\rm ges} = G_1 + G_2 + \dots + G_n

Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes, seine SI-Einheit ist das reziproke Ohm, das auch den besonderen Namen Siemens führt.

Man veranschaulicht sich diesen Zusammenhang an der Parallelschaltung zweier Widerstände, die sich nur in ihrer Querschnittsfläche A unterscheiden.

Bild:Widerstand R1 R2 parallel.PNG

Man erhält einen Widerstand vom Gesamtquerschnitt A₁ + A₂, also gilt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R = \rho \cdot { l \over {A_1 + A_2}}

und daher

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): { 1 \over R } = {{A_1 + A_2} \over {\rho \cdot l }} = {{A_1} \over {\rho \cdot l }} + {{A_2} \over {\rho \cdot l }}= {1 \over R_1} + {1 \over R_2}

Sind in einer Parallelschaltung nur Widerstände eines gleichen Wertes vorhanden, (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {R_{\rm n}} = R_1 = R_2 = R_3 \dots ) so kann der Gesamtwiderstand errechnet werden, indem man den Einzelwiderstand durch die Anzahl der Widerstände in der Schaltung dividiert.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {R_{\rm ges}} = \frac{R_n}{n}

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R_n

= Einzelwiderstand

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n

= Anzahl der Widerstände

Differentieller Widerstand

Bei nichtlinearen Strom-Spannungs-Kennlinien - wie zum Beispiel von Dioden - ist der Quotient für jedes Strom-Spannungspaar unterschiedlich. In diesem Fall gilt das ohmsche Gesetz nicht und man kann nicht von einem ohmschen Widerstand R sprechen. Kleine Spannungsänderungen sind jedoch näherungsweise proportional zu kleinen Stromänderungen. Der Quotient aus kleiner Spannungsänderung und zugehöriger Stromänderung bei einer bestimmten Spannung wird als differentieller Widerstand r bezeichnet. Er entspricht der Steigung der Tangente am betrachteten Punkt der Kennlinie.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): r = \frac{\mathrm{d}\,u}{\mathrm{d}i}

Negativer differentieller Widerstand

Der differentielle Widerstand kann in einem Teil der Kennlinie negativ sein, so dass die Stromstärke bei steigender Spannung sinkt beziehungsweise die Stromstärke bei sinkender Spannung steigt. Ein negativer differentieller Widerstand kann zum Anregen (Entdämpfen) von Schwingkreisen oder zur Erzeugung von Kippschwingungen verwendet werden. Der negative differentielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Gasentladungen, Avalanche- oder Tunneldioden auf.

Positiver differentieller Widerstand

Bei positiven differentiellen Widerständen nimmt der Strom mit zunehmender Spannung zu. Alle real existierenden Schaltungselemente besitzen in einem Teil ihrer Kennlinie, jedoch stets für sehr große Werte, einen positiven differentiellen Widerstand. Die meisten Elemente in der Schaltungstechnik besitzen einen ausschließlich positiven differentiellen Widerstand.

Beispiele: realer Widerstand, Diode, Zener-Diode, alle halbleitenden Keramiken.

Supraleitung

Unterhalb einer spezifischen Sprungtemperatur besitzt ein supraleitungsfähiges Material keinen ohmschen Widerstand. Ein solches Material wird als Supraleiter bezeichnet, weil der Strom in ihm bei dieser tiefen Temperatur ohne Verluste fließt.

Siehe auch

Weblinks

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Commons: Widerstand – Bilder, Videos und/oder Audiodateien

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