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Äquivalenz von Masse und Energie
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Die Äquivalenz von Masse und Energie ist ein wichtiges Ergebnis der Physik, welches erstmals im Jahre 1900 von dem französischen Mathematiker Henri Poincaré und 5 Jahre später von Friedrich Hasenöhrl und Albert Einstein gefunden wurde. Sie steht in direktem Zusammenhang mit der speziellen Relativitätstheorie und wurde von Albert Einstein in seiner kurzen Arbeit „Ist die Trägheit eines Körpers von dessen Energieinhalt abhängig?“ zu seiner ursprünglichen Formulierung der Theorie hinzugefügt.
Das Prinzip besagt, dass die Masse eines Körpers einer Energiemenge entspricht, dass also Masse und Energie in Wirklichkeit zwei Zustandsformen der selben Sache sind. Dies führt dazu, dass der Energieerhaltungssatz derart umformuliert werden kann, dass Masse und Energie in einem abgeschlossenen System erhalten sind; Masse und Energie bleiben nicht unabhängig voneinander erhalten, da sie ineinander umgewandelt werden können.
Inhaltsverzeichnis |
Formeln
Äquivalenz von Masse und Energie
Die Äquivalenz von Masse und Energie ist gegeben durch
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E=\gamma m_0 c^2 = m c^2
,
wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma
der Lorentzfaktor, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_0 die Masse im ruhenden Bezugssystem, m die relativistische Masse und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Hierbei ist zu beachten, dass der Begriff der relativistischen Masse heute nur noch als Kurzschreibweise verwendet und nicht mehr als physikalische Masse interpretiert wird.
Für ein ruhendes Objekt gilt hingegen
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E_0=m_0 c^2
,
da hier Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \gamma=1
ist.
kinetische Energie
Die kinetische Energie ergibt sich zu
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): T=(\gamma-1)m_0 c^2
,
was gerade der Differenz der relativistischen Gesamtenergie und Ruheenergie entspricht. Nähert sich die Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit, steigt die kinetische Energie ins Unendliche an, sodass kein massebehafteter Körper die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann.
Energie-Impuls-Beziehung
Weiter definiert man die sogenannte Energie-Impuls-Beziehung. Diese lautet
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (mc^2)^2 = (m_0 c^2)^2 + (pc)^2
oder
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E^2 = E_0^2 + (pc)^2
,
wobei p der relativistische Impuls ist.
Für masselose Teilchen, wie etwa Photonen, wird daraus
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E = pc
,
woraus auch folgt, dass Photonen einen Impuls tragen.
Diskussion
Diese an sich simple Beziehung bringt das Verständnis vieler Vorgänge in der Natur mit sich. So ist beispielsweise die abgestrahlte Energie der Sonne nichts anderes als diejenige Masse, welche bei den Kernfusionsprozessen in ihrem Innern in Energie umgewandelt wird. Da die Sonne eine Leistung von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L_\odot=3{,}86\cdot10^{26} W
abgibt, wird sie pro Sekunde um etwa 4,2 Millionen Tonnen leichter. Aufgrund ihrer enormen Masse spürt sie diesen Verlust jedoch nicht.
Die Äquivalenz von Masse und Energie findet sich in sehr vielen Bereichen der Natur. Virtuelle Teilchen, die im Vakuum entstehen und innerhalb der heisenberg'schen Unschärfe existieren, leihen sich ihre Energie aus dem Vakuum, um für kurze Augenblicke zu existieren und sich anschließend wieder gegenseitig zu vernichten. Überhaupt spielt die Umwandlung von Masse in Energie und umgekehrt in der Elementarteilchenphysik eine fundamentale Rolle. In Teilchenbeschleunigern, wie etwa am CERN, werden Teilchen mit ultra relativistischen Geschwindigkeiten, d.h. Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit, aufeinander geschossen und zur Kollision gebracht. Die hohen kinetischen Energien werden bei der Kollision in neue Teilchen umgewandelt, die dann von den Detektoren beobachtet werden.
In der Astrophysik finden sich neben den Sternen noch andere Gebilde, die eine Umwandlung von Masse in Energie herbeiführen. In den Akkretionsscheiben um aktive Galaxienkerne herum ist die Materie so heiß und dicht, dass sie beim Einfall in das schwarze Loch aufgrund der Reibung so stark erhitzt, dass sie zu einem großen Teil in Energie umgewandelt wird. Diese so genannten Gamma Ray Bursts können mit Teleskopen beobachtet und untersucht werden. Sie stellen die massivste Form von Energiefreisetzung im gesamten Universum dar.
Herleitung
Aus den im Artikel über Vierervektoren abgeleiteten Größen können sowohl die Äquivalenz von Masse und Enerige, als auch die Energie-Impuls Beziehung hergeleitet werden.
Äquivalenz von Masse und Energie
Wir benötigen dazu die Vierergeschwindigkeit
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v^\mu=\gamma(c,\mathbf v)
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_\mu=\gamma(c,-\mathbf v)
den Viererimpuls
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p^\mu=m_0 v^\mu=\gamma m_0 (c,\mathbf v)
und die Viererkraft
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F^\mu=\frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d \tau} = \gamma \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d t} = (F^0,\mathbf F)=(F^0,\gamma \mathbf F_N)
,
mit dem Zusammenhang zwischen der Eigenzeit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \tau
und der Zeit t
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm d \tau = \frac{1}{\gamma} \mathrm d t
.
Als erstes berechnen wir das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit und der Viererkraft, mit
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_\mu F^\mu = v_\mu \frac{\mathrm d}{\mathrm d \tau}(m_0 v^\mu) = \frac{1}{2}m_0 \frac{\mathrm d}{\mathrm d \tau}(v_\mu v^\mu)=\frac{1}{2}m_0 \frac{\mathrm d c^2}{\mathrm d \tau} = 0
,
da die Ableitung einer Konstanten Null ist. Hierbei wurde benutzt, dass Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_\mu v^\mu = c^2
ist (siehe Vierervektor).
Das Skalarprodukt lässt sich jedoch auch schreiben als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_\mu F^\mu = \gamma(c,-\mathbf v)(F^0,\gamma \mathbf \mathbf F_N) = \gamma c F^0 - \gamma^2 \mathbf F_N \mathbf v = 0
,
wobei wir aufgrund obiger Rechnung wissen, dass dies gleich Null ist. Das zeitliche Element der Viererkraft ergibt sich durch umstellen der letzten Gleichung zu
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F^0 = \frac{1}{c}\gamma \mathbf F_N \mathbf v
,
oder über die Definition der Viererkraft
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): F^0 = \frac{\mathrm d p^0}{\mathrm d \tau} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d \tau}(\gamma m_0 c) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\gamma^2 m_0 c)
.
Da dies beides das zeitliche Element der Viererkraft darstellt, ergibt sich die Gleichung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\gamma^2 m_0 c) = \frac{1}{c}\gamma \mathbf F_N \mathbf v
und damit schließlich
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\gamma m_0 c^2) = \mathbf F_N \mathbf v
.
Die Größe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf F_N \mathbf v
ist die zeitliche Ableitung der Energie E, d.h.
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbf F_N \mathbf v = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\mathbf F_N \mathbf x) = \frac{\mathrm dE}{\mathrm d t}
,
also
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\gamma m_0 c^2) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(\mathbf F_N \mathbf x) = \frac{\mathrm dE}{\mathrm d t}
,
und damit
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E = \gamma m_0 c^2 = mc^2
in einem mit der Geschwindigkeit v bewegten Inertialsystem. Im Ruhesystem gilt dann
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E_0 = m_0 c^2
Energie-Impuls-Beziehung
Wir berechnen das Quadrat des Viererimpulses auf zwei Weisen, mit
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_\mu p^\mu = m_0^2 v_\mu v^\mu = m_0^2 c^2
,
und
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_\mu p^\mu = \gamma^2 m_0^2 (c^2 - \mathbf v^2)= \gamma^2 m_0^2 c^2 - \gamma^2 m_0^2 \mathbf v^2 = \gamma^2 m_0^2 c^2 - \mathbf p^2
.
Damit ergibt sich die Gleichung
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_0^2 c^2 = \gamma^2 m_0^2 c^2 - \mathbf p^2
.
Multiplikation mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c^2
ergibt
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): m_0^2 c^4 = \gamma^2 m_0^2 c^4 - \mathbf p^2 c^2
Da wir bereits wissen, dass der Ausdruck Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E_0=m_0 c^2
, lässt sich dies schreiben als
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E_0^2= E^2 - (\mathbf p c)^2
Oder in der bekannten Reihenfolge
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E^2= E_0^2 + (\mathbf p c)^2
.
Folgerung für Photonen
Die relativistische Gesamtenergie E ist nichts anderes als die Hamiltonfunktion eines freien relativistischen Teilchens, mit
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E = H = \sqrt{E_0^2 + (pc)^2}
.
Aus den Hamilton'schen Bewegungsgleichungen folgt dann für die generalisierte Geschwindigkeit
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \dot q=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p c^2}{\sqrt{E_0^2 + (pc)^2}}
.
Für Photonen ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \dot q = c , was nur für E0=0 erfüllt ist - also wenn die Masse des Teilchens verschwindet. Photonen tragen demnach keine Masse und ihre Energie ergibt sich aus der Energie-Impuls-Beziehung sofort zu
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E = pc
.
Literatur
- Albert Einstein: Ist die Trägheit eines Körpers von dessen Energieinhalt abhängig?. In: Annalen der Physik 18/1905. S. 639–643
Beispiel
Wenn ein Atom von einem Neutron zertrümmert wird, ist die Masse der Bruchstücke (des Atoms plus des Neutrons) größer als die Masse des ursprünglichen Atoms plus des Neutrons. Dies ist möglich, da Energie freigesetzt wird. Auf dieser Funktionsweise bauen auch Atombomben und Atomkraftwerke auf.
Weblinks
- Eintrag (englisch) in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (inkl. Literaturangaben)
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