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Dreisatz
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Der Dreisatz (früher auch: die Regel de tri, lat. regula de tribus, manchmal auch Schlußrechnung) ist ein Berechnungsverfahren für proportionale Wertepaare ausgehend von einem bekannten Wertepaar Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x_0,y_0) .
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Herkunft und Struktur
Anders formuliert: Ausgehend von dem bekannten Verhältnis von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_0
Einheiten eines Objektes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_0 Einheiten eines anderen Objektes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B fragt man nach der Anzahl Einheiten von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B
, die in demselben Verhältnis zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1
Einheiten von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A stehen.
Der Begriff Dreisatz kommt daher, dass man dieses Proportionalitätsproblem typischerweise in drei Sätzen formuliert und löst.
I. Das Verhältnis ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_0
Einheiten von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y_0 Einheiten von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B
.
II. Das entspricht dem Verhältnis eine Einheit von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A
zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{y_0}{x_0}
Einheiten von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B
.
III. Das gesuchte Verhältnis ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1
Einheiten von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A
zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{y_0\cdot x_1}{x_0}
Einheiten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): B
.
In der Praxis werden die vorkommenden Brüche üblicherweise in jedem Schritt vollständig gekürzt.
Vor der Anwendung des Dreisatzes ist stets zu prüfen, ob die Voraussetzung einer proportionalen Zuordnung (in Beispiel 1: konstante Geschwindigkeit) gegeben ist.
Modernere Formulierung
Das Formulieren und Lösen des Dreisatzes in ganzen Sätzen stammt aus einer Zeit, bevor die Mathematik mit Hilfe der Algebra in der Lage war, solche Fragen in Symbolen auszudrücken und zu abstrahieren. Eine Methode diese Abstraktionsebene zu nutzen ist die Folgende:
Man schreibt:
- I. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_0\ \hat =\ y_0
- II. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1\ \hat =\ \frac{y_0}{x_0}
Wichtig ist bei dieser sehr verkürzten Darstellung, die Werte mit den gleichen Einheiten untereinander zu schreiben. Man erhält
- III. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1 \ \hat =\ \frac{y_0\cdot x_1}{x_0}
Der verallgemeinerte Dreisatz
Der verallgemeinerte Dreisatz, der das Verhältnis von einem Produkt von Einheiten mehrerer Objekte zu einer Anzahl von Einheiten eines Objektes als Ausgangspunkt der Fragestellung nimmt, basiert auf dieser Methode (vgl. Beispiel 2).
Einfacher formuliert: Ausgehend vom Verhältnis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_0\cdot b_0\cdot c_0\hat{=}d_0
kann man auf zweierlei Art und Weise die Lösung des Problems Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1\cdot b_1\cdot c_1\hat{=}?
bestimmen. Entweder man führt mehrfach den normalen Dreisatz aus (man geht zuerst von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_0
zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_1
über, dann von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b_0
zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b_1
und schließlich von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_0
zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_1
) oder man macht alle Schritte parallel:
- I. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_0\cdot b_0\cdot c_0\hat{=}d_0
- II. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1\hat{=}\frac{d_0}{a_0\cdot b_0\cdot c_0}
- III. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): ?=\frac{d_0\cdot a_1\cdot b_1\cdot c_1}{a_0\cdot b_0\cdot c_0}
Beispiel 1
In 3 Stunden legt ein Fahrzeug bei konstanter Geschwindigkeit 240 km zurück, wie weit kommt es in 7 Stunden? Der Schluss:
- 3 zu 240 verhält sich wie 7 zu "X"
Rechnung:
| Zeit in h | Strecke in km | Rechne: | |
| 1. | 3 | 240 | :3 |
| 2. | 1 | 80 | ·7 |
| 3. | 7 | 560 |
Lösung: In 7 Stunden kommt das Fahrzeug 560 km weit. (Die Systemkonstante ist in diesem Falle die Geschwindigkeit des Fahrzeugs, 80 km/h).
Beispiel 2
2 Kühe fressen an einem Tag 48 kg Gras. Wie viel kg Gras fressen 5 Kühe in 6 Stunden?
- 1. Satz: 2 Kühe fressen in 24 h 48 kg Gras
- 2. Satz: 1 Kuh frisst in 1 h 1 kg Gras
- 3. Satz: 5 Kühe fressen in 6 h 30 kg Gras
Beispiel 3
Diese Beispiele haben dieselben Zahlen, jedoch unterschiedliche Verhältnisse. Im ersten Beispiel beziehen sich die Mengenangaben auf einen festen Zeitraum (ein Arbeitstag). Im zweiten Beispiel beziehen sich andererseits die Zeitangaben auf eine feste Mengenangabe (eine bestimmte Menge Abraum). Bild:Dreisatz1.jpg
Anwendungen
Der Dreisatz ist für Prozentrechnungen, aber auch für viele physikalische oder chemische Formeln geeignet. Dennoch ist der Dreisatz lediglich ein sehr einfaches Hilfsmittel, da die Prozentrechnung - richtig verstanden - wie auch die Bruchrechnung auf dieses Hilfsmittel verzichten.
Nachteile
Der Dreisatz kann nicht-proportionale Vorgänge nicht erfassen:
- Ein Bauarbeiter braucht 1h, ein anderer Bauarbeiter benötigt 2h, für eine Mauer bestimmter Größe. Wie lange dauert es, wenn die beiden Bauarbeiter zusammenarbeiten?
Da die benötigte Zeit nicht direkt proportional mit der Anzahl der Bauarbeiter zusammenhängt, ist das Problem mit dem Dreisatz nicht formulierbar.
Die Lösung für dieses Beispiel würde so aussehen:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1}{t_{Mauer}} = \frac{1}{t_{Arbeiter,1}} + \frac{1}{t_{Arbeiter,2}}
Siehe auch
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