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Die Dispersion bezeichnet allgemein die Abhängigkeit der Kreisfrequenz Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega

von der Wellenzahl Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k

. Bei Phononen ergibt sich diese Beziehung aus der Newtonschen Bewegungsgleichung. Dazu nimmt man an, dass sich die Atome in einem periodischen Potential Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V

befinden, in dem sie Schwingungen ausführen. 

Zwei benachbarte Atome haben einen Phasenunterschied von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k a , wobei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a

der Abstand zweier benachbarter Atome in der Ruhelage ist. Ein Phasenunterschied von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2\pi
entspricht einem von Null; höhere Phasenunterschiede sind dementsprechend äquivalent mit einem Wert zwischen 0 und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2\pi

. Aus Symmetriegründen betrachtet man das Intervall zwischen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -\pi

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi

. Das entspricht k-Werten aus der ersten Brillouinzone, also Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k\in\lbrack -\pi/a,\pi/a \rbrack . Dadurch hat man alle physikalisch relevanten Wellenzahlen abgedeckt.

Es gibt zwei mögliche Schwingungszustände: akustische und optische Moden.

Akustische Phononen

Hierfür lautet die Dispersionsrelation

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega (k) = 2 \sqrt{\frac{f}{m}} \left| \sin \left( \frac{ka}{2}\right) \right|

, wobei f die Kraftkonstante zwischen zwei benachbarten Ebenen und m die Masse eines Atoms ist.

Für niedrige Werte von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k \left( ak \ll 1 \right)

lautet der Ausdruck näherungsweise

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega (k) \approx a \sqrt{ \frac{f}{m}} |k|=c_s k

.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_s

ist die Schallgeschwindigkeit.

An den Zonengrenzen gilt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega = 2 \sqrt{ \frac{f}{m}}=const

.

Die Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit des Energietransports im Medium, ergibt sich zu

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): v_g = \frac{ \mathrm{d} \omega}{ \mathrm{d}k}= \sqrt{ \frac{fa^2}{m}} \cos \left( \frac{1}{2}ka \right)

. Am Zonenrand ist die Gruppengeschwindigkeit Null: die Welle verhält sich wie eine stehende Welle.

Optische Phononen

Für den optischen Ast gilt bei einer zweiatomigen Basis

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \omega=\sqrt{2f \left( \frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2} \right)}

. Der optische Zweig ist höherfrequent als der akustische und nahezu dispersionslos.