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Diskriminante
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Die Diskriminante (lat. discriminare = unterscheiden) ist ein Rechenausdruck, der Aussagen über Zahl und Art der Lösungen einer algebraischen Gleichung ermöglicht. Am bekanntesten ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung.
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Diskriminante einer quadratischen Gleichung
Gegeben sei eine quadratische Gleichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a x^2 + b x + c = 0
mit reellen Koeffizienten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c
. Die Lösungen (Wurzeln) dieser Gleichung lassen sich berechnen mit der bekannten Formel
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}
Die Anzahl der reellen Lösungen hängt nun davon ab, ob der Rechenausdruck unter der Wurzel
größer als 0, gleich 0 oder kleiner als 0 ist:
- Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b^2 - 4 a c > 0
hat die Quadratwurzel in der Lösungsformel einen positiven Wert, so dass man zwei verschiedene reelle Lösungen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1 und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_2 erhält.
- Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b^2 - 4 a c = 0
hat die Quadratwurzel den Wert 0. Da es keinen Unterschied macht, ob man 0 addiert oder subtrahiert, hat man trotz des Plus-Minus-Zeichens nur eine reelle Lösung (der Vielfachheit 2).
- Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b^2 - 4 a c < 0
ist die Quadratwurzel der Lösungsformel im Körper der reellen Zahlen (Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}
) nicht definiert. Es existiert also keine reelle Lösung. Anders sieht die Situation aus, wenn man den Körper der komplexen Zahlen zugrundelegt. In diesem Fall gibt es zwei (nicht-reelle) Lösungen, die zueinander konjugiert komplex sind.
Der Rechenausdruck Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D := b^2 - 4 a c
der beschriebenen Fallunterscheidung, also der Radikand in der Formel, heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a x^2 + b x + c = 0
.
Motivation des allgemeinen Diskriminanten-Begriffs
Es sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_n=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\in\R[x]
ein Polynom mit den Nullstellen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1,x_2,\dots,x_n, von denen einige möglicherweise komplex sind.
Der Ausdruck
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x_1-x_2)(x_1-x_3)\dots(x_2-x_3)(x_2-x_4)\dots(x_3-x_4)\dots(x_{n-1}-x_n)=\prod_{i<j}(x_i-x_j),
der aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {n\choose 2}
Faktoren besteht (ein Faktor für jedes Nullstellenpaar), verschwindet genau dann,
wenn (mindestens) eine Nullstelle mehrfach auftritt. Der Ausdruck ist nicht symmetrisch in den Nullstellen, d.h. dass sich sein Wert möglicherweise verändert, wenn man die Nullstellen umnummeriert. Die Symmetrie kann man erzwingen, indem man alle Faktoren quadriert:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dots(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dots(x_3-x_4)^2\dots(x_{n-1}-x_n)^2.
Dieser Ausdruck Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D_n
ist ein homogenes symmetrisches Polynom vom Grad Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n(n-1).
Man nennt ihn die Diskriminante des Polynoms Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_n.
(Die Bedeutung des Normierungstermes Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n^{2n-2}
wird weiter unten erläutert.)
Beispiele
Quadratisches Polynom
Ein allgemeines Polynom vom Grad 2 hat die Form Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_2=ax^2+bx+c
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\neq0.
Seine Diskriminante ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D_2=a^2(x_1-x_2)^2=a^2(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2).
Mit dem Satz von Vieta lässt sie sich umformen in
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D_2=a^2\left((x_1+x_2)^2-4x_1x_2\right)=a^2\left(\left(\frac{-b}{a}\right)^2-4\cdot\frac{c}{a}\right)=b^2-4ac.
Das quadratische Polynom Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_2
hat also genau dann eine doppelte Nullstelle, wenn Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): b^2-4ac=0 gilt.
Kubisches Polynom
Ein allgemeines Polynom vom Grad 3 hat die Form Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_3=ax^3+bx^2+cx+d
mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a\neq 0.
Seine Diskriminante ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D_3=a^4(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2.
Mit dem Satz von Vieta lässt sie sich (mit aufwändiger Rechnung) umformen in
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D_3=b^2c^2-4ac^3-4b^3d+18abcd-27a^2d^2.
Dieser Ausdruck ist unhandlich und lässt sich schwer merken. Berücksichtigt man, dass sich jede kubische Gleichung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): ax^3+bx^2+cx+d=0
nach Division
durch a und anschließender Substitution y=x+b/3a auf eine Gleichung der Form Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y^3+3py+2q=0
bringen lässt, so erhält man eine besser merkbare Formel für die Diskriminante:
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D_3=-108(p^3+q^2)
Ein reduziertes kubisches Polynom Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_3=y^3+3py+2q
besitzt also genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p^3+q^2=0
gilt. In Schulbüchern wird häufig dieser Ausdruck als Diskriminante bezeichnet, der
Faktor -108 wird also ignoriert.
Polynome höheren Grades
Das oben beschriebene Verfahren funktioniert für Polynome beliebigen Grades. Aus der Theorie der symmetrischen Funktionen und dem Satz von Vieta folgt, dass der Ausdruck
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dots(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dots(x_3-x_4)^2\dots(x_{n-1}-x_n)^2.
stets auf eine eindeutige Art als (polynomiale) Funktion der Koeffizienten des Polynoms Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_n
dargestellt werden kann.
Bemerkungen zum Vorzeichen der Diskriminante
- Sind alle Nullstellen eines Polynoms reell, so ist die Diskriminante Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D\ge 0.
Das folgt sofort aus der Definition.
- Für quadratische und kubische Polynome gilt auch die Umkehrung: Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D\ge 0,
so sind alle Nullstellen reell.
- Das Polynom Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): p_4=x^4+4
besitzt die vier Nullstellen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1+i
, Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1-i , Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -1+i
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): -1-i
. Die Diskriminante hat den Wert 16384, ist also positiv. Dennoch sind die Nullstellen nicht reell.
Normierungsfaktor
In der oben verwendeten Definition tritt der Faktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n^{2n-2}
auf. Er bewirkt, dass beim Verwenden des Satzes von Vieta die Nenner verschwinden, dass also die Diskriminante als Polynom in den Koeffizienten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_0,a_1,\ldots,a_n erscheint.
Je nach Kontext und Verwendungszweck der Diskriminante wird die Definition leicht abgeändert:
- Anstelle von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n^{2n-2}
wird der Faktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{2n-2}
gesetzt.
- Anstelle von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n^{2n-2}
wird der Faktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{2n-1}
gesetzt.
- Anstelle von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n^{2n-2}
wird der Faktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n^{2n-1}
gesetzt.
- Der Faktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a_n^{2n-2}
wird weggelassen.
Bei den ersten drei Varianten ist Vorsicht geboten mit Aussagen, wie sie im Abschnitt "Bemerkungen zum Vorzeichen der Diskriminante" gemacht werden.
Allgemeine Definition
Sei Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f=f_0+f_1X+\dots+f_nX^n\in R[X]
ein univariates Polynom über einem kommutativen unitären Ring. Die Diskriminante von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f ist definiert als die um Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_n reduzierte Resultante von f mit seiner Ableitung f′:
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_n\operatorname{Disk}(f)=(-1)^{n(n-1)/2}\operatorname{Res}(f,f')
. Die Diskriminante wird auch mit dem Symbol Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta (f)
bezeichnet.
Ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R=K
ein Körper und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_n=1
, so gilt wie oben
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \operatorname{Disk}(f)=\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2;
dabei seien Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_1,\ldots,x_n
die Nullstellen von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f in einem algebraischen Abschluss von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): K
.
Hinweis: Oft wird die Diskriminante ohne den zusätzlichen Faktor Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (-1)^{n(n-1)/2}
definiert; der entsprechende Vorfaktor ist dann in der oben angegebenen Formel zur Berechnung der Diskriminante aus den Nullstellen zu ergänzen.
Bemerkung
Ausgeschrieben ist die Resultante eines Polynoms Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)=f_0+f_1 x +\dots + f_n x^n
mit seiner Ableitung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f'(x)=f_1 +\dots + nf_n x^{n-1}
gleich der Determinante der Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (2n-1)\times (2n-1) -Matrix
- Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \begin{pmatrix} f_{n} & f_{n-1} & \cdots & f_{1} & f_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & f_{n} & f_{n-1} & \cdots & f_{1} & f_0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & 0\\ 0 & 0 & 0 & f_{n} & f_{n-1} & \cdots & f_{1} & f_0 \\ n f_n & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 & 0 & 0 & \cdots& 0\\ 0 & n f_n & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & n f_n & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & n f_{n} & (n-1) f_{n-1} & \cdots & 1 f_1 \\ \end{pmatrix}
. Da die erste Spalte aus Vielfachen von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f_n
besteht, kann dieses als Faktor von der Determinante abgespalten werden.
Siehe auch
Diskriminante (algebraische Zahlentheorie)
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