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Historisch war der Begriff des Differentials bzw. Differenzials der Kern der Entwicklung der Differentialrechnung. Das Differential war der Versuch, die anschauliche Vorstellung unendlich kleiner Änderungen ("Differenz") mathematisch zu fassen. Ab dem 19. Jahrhundert wurde die Analysis durch A. L. Cauchy und K. Weierstraß auf der Grundlage des Grenzwertbegriffes streng mathematisch korrekt neu aufgebaut, und der Begriff des Differentials verlor an Bedeutung. Heute taucht die Differentialschreibweise dx noch in folgenden Begriffsbildungen auf:

• der Differentialquotient, auch Ableitung genannt, und sein höherdimensionales Analogon, das (totale) Differential einer Abbildung, auch Totalableitung genannt
• die Integralrechnung
• Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten
• Kähler-Differentiale

Lediglich im Kontext der letzten beiden Begriffsbildungen hat die Schreibweise dx eine eigenständige Bedeutung.

• und bei den Physikern besonders kryptisch.

Der Differentialquotient

Die Motivation für diese Begriffsbildung lag mit Sicherheit in der Physik, vermutlich im Begriff der Momentangeschwindigkeit: Wird beispielsweise ein fallender Körper immer schneller, so muss man zur Definition seiner momentanen Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt möglichst kleine Zeitintervalle dt betrachten und die entsprechend zurückgelegte Wegstrecke ds messen. Im Idealfall sind beide "unendlich klein", aber ihr "Quotient"

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}

ist die Momentangeschwindigkeit.

Genau dasselbe Problem tritt auf, wenn man die Steigung der Tangente an einen Funktionsgraphen bestimmen will: sie ist der Quotient aus der "unendlich kleinen" Änderung df, die der Funktionswert erfährt, und der "unendlich kleinen" Änderung dx des Argumentes.

Die moderne, präzise Fassung dieses Begriffes ist der Grenzwert des Differenzenquotienten

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

für x → x₀.

Differentiale in der Integralrechnung

Um den Flächeninhalt eines Bereiches zu berechnen, der von dem Graphen einer Funktion f, der x-Achse und zwei dazu senkrechten Geraden x = a und x = b eingeschlossen wird, unterteilte man die Fläche in "unendlich schmale" Rechtecke der Breite dx und der Höhe f(x). Ihr jeweiliger Flächeninhalt ist das "Produkt"

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x) \cdot\mathrm dx

, der gesamte Flächeninhalt also die Summe

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_a^b f(x)\cdot \mathrm dx

.

Das erste Symbol ist ein stilisiertes S für "Summe".

In der modernen Fassung dieses Zugangs zur Integralrechnung nach Bernhard Riemann ist das "Integral" ein Grenzwert der Flächeninhalte endlich vieler Rechtecke endlicher Breite für immer feinere Unterteilungen des "x-Bereichs".

Differentialformen

Differentialformen fassen die folgende Überlegung in eine mathematische Form: Wie schnell sich der Wert einer Funktion f ändert, hängt davon ab, wie schnell sich das Argument ändert. Eine Differentialform df ist also etwas, das ausgehend von einer Änderungsrate X des Arguments (einem Tangentialvektor) angibt, wie rasch sich die Werte von f ändern, wenn man sich so schnell und in die Richtung bewegt, wie X angibt.

In diesem Kontext ist beispielsweise auch die Gleichung

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm df = \frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\cdot\mathrm dx

korrekt.

Formal gesehen ist dies nichts anderes als der Begriff der Totalableitung, aber die Sichtweise ist eine andere.

Kähler-Differentiale

Aus der Beobachtung der Differentialgeometrie heraus, dass Tangentialvektoren Derivationen des Raumes der differenzierbaren Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit sind, entwickelte sich der Begriff der Kähler-Differentiale: Differentiale werden hier darüber definiert, "dual" zu den Derivationen zu sein.

Das Differential des Differentialquotienten

Für eine in einem Intervall differenzierbare Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f(x)

ist die Differenz zwischen Differenzen- und Differentialquotient an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x_0
eine Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \phi (\Delta x)
von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x

.

Aus Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}-f'(x_0)= \phi(\Delta x)

ergibt sich der Funktionszuwachs

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)= f'(x_0) \cdot \Delta x + \phi ( \Delta x) \cdot \Delta x

.

Er besteht aus einem in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x

linearen Anteil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  f'(x_0) \cdot \Delta x

, der von der gleichen Ordnung wie Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x

gegen Null konvergiert, und aus einem Anteil Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \phi (\Delta x) \cdot \Delta x

, der für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x \to 0

von höherer Ordnung als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \Delta x
gegen Null konvergiert. Den linearen Anteil des Zuwachses Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \Delta y
bezeichnet man als  Differential der Funktion an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  x_0
und schreibt dafür Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm {d} y = \mathrm {d}f(x_0) = f'(x_0) \cdot \mathrm {d} x

. Die Größe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm {d} x =\Delta x

heißt Differential der unabhängigen Variablen.

Differential der Funktion Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y =f(x)

an der Stelle Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  x_0
: Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \mathrm {d} y =f' (x_0) \cdot \mathrm {d} x

.

Das Differential des Integrals

Das Differential ist wesentlicher Bestandteil der symbolischen Notation von Integralen und heißt dort Integrationsvariable.

Das Differential Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}x

hinter dem Integral

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x

bezeichnet ein Intervall innerhalb einer Unterteilung von [a;b] (dem Integrationsintervall). Das Gesamtintervall [a;b] des Integrals muss nicht gleichmäßig unterteilt sein. Falls also die Differentiale an unterschiedlichen Unterteilungsstellen verschieden groß gewählt sind, so bietet sich manchmal beispielsweise eine geometrische Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( \frac {1} {n} \right)

Unterteilung des Integrationsintervalls an (Das hängt oft von der Art des Integrationsproblems ab, siehe zum Beispiel die Unterteilung des Archimedes, für das Flächenstück unter der Parabel in Streifen der Größe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \left( \frac {1} {n} \right)

). Zusammen mit dem Funktionswert innerhalb des "differentiellen" Intervalls (beziehungsweise dem Maximal- oder Minimalwert darinnen entsprechend Ober- und Untersumme) bildet sich eine Flächengröße, wie dann auch das Integral schließlich eine Definition für eine Fläche mit Begrenzung durch ein Kurvenstück ergibt, wenn man den Grenzwertübergang in dem Sinne macht, dass man die Unterteilung von[a;b] immer größer macht, die Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}x

kleiner werden und sie alle gegen 0 strebende Größen sind.

Ordnung der Differentiale

Die Differentiale lassen sich auch einfach und übersichtlich in ihrer Ordnung darstellen, je nach ihrer Abhängigkeit. So steht Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}x^2

für das Differential  zweiter Ordnung (entsprechend zweiter Ableitung) der unabhängigen Variable und ist durchaus als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}x\cdot\mathrm{d}x
gemeint und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d^2}y
(auch als Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{dd}y
und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}y'
geschrieben) für das Differential  zweiter Ordnung  der abhängigen Variable, was etwas völlig anderes ist als  das Quadrat des Differentials Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{d}y

, weil es natürlich den von Leibniz in dieser Form aufgestellten Rechenregeln folgt.

Erklärung des Differentials zweiter Ordnung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d^2y

Denkt man sich jetzt h = dx = Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta

x irgendwie gewählt, und zwar denselben Wert h für verschiedene x, so wird Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): dy = hf'(x)
eine Funktion von x und man kann von ihr wieder ein Differential bilden. s.Abb.

Man kann für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d^2y = df(x)

dann formal modern auch schreiben, dann ist dies auch haltbar: Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): dx = h
und h derselbe Wert für verschiedene x, ist diese Größe der lineare Anteil des Zuwachses Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): h f'(x+h)-hf'(x)

, das heißt es wird Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): d^2y = h^2 f''(x) . Für höhere Ableitungen respektive.

Historisches

Das lateinische Original enthält einen Rechenfehler:

• G.G.L. Nova Methodus Pro Maximis & minimis, itemque tangentibus, ..., acta eruditorum, 1684, (pdf-Datei)

Hier kann sich jeder mit Lateinkenntnissen ein Bild machen, ob die Verwirrung nicht eher eine sprachliche als eine mathematische ist. Differenz heißt auf Latein diferentia und differentiell diferentialis.

acta eruditorum

Neue Methode der Maxima, Minima sowie der Tangenten, die sich weder an gebrochenen, noch an irrationalen Größen stößt, und eine eigentümliche darauf bezügliche Rechnungsart. (acta eruditorum 1684)

Gegeben sei eine Achse AX und mehrere Kurven wie VV, WW, YY, ZZ. Ihre zur Achse senkrechten Ordinaten, VX, WX, YX, ZX mögen bezüglich v, w, y, z heißen. Der Abschnitt AX auf der Achse möge x heißen. VB, WC, YD, ZE seien die Tangenten und B, C, D, E ihre bezüglichen Schnittpunkte mit der Achse. Nun wähle man nach Belieben eine Strecke und nenne sie dx. Dann soll diejenige Strecke welche sich zu dx verhält wie v (oder w oder y oder z) zu XB (oder XC oder XD oder XE ) mit dv (oder dw oder dy oder dz) bezeichnet werden und Differenz der v (oder w oder y oder z) heißen. Nach diesen Festsetzungen werden die Rechenregeln folgende sein.

Wenn a eine gegebene konstante Größe ist, so wird da gleich 0 und d(ax) gleich adx. Wenn y gleich v ist (d.h .jede Ordinate der Kurve YY gleich der entsprechenden Ordinate der Kurve VV), so wird dy gleich dv. Nun Addition und Subtraktion: Wenn z - y + w + x gleich v ist, so wird d(z - y + w + x) oder dv gleich dz - dy + dw + dx. Multiplikation: d(xv) ist gleich xdv + vdx, das heißt wenn man y gleich xv setzt, so wird dy gleich xdv + vdx. Es ist nämlich gleichgültig, ob man den Ausdruck xv oder als Abkürzung dafür den Buchstaben y anwendet. Zu beachten ist, dass bei dieser Rechnung x und dx in derselben Weise behandelt werden wie y und dy oder ein anderer unbestimmter Buchstabe mit seinem Differential. Zu beachten ist auch, dass es nur mit einer gewissen Vorsicht eine Rückkehr von der Differentialgleichung gibt: darüber werden wir an einer anderen Stelle reden. Nun zur Division Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\rm d} \frac{v} {y} oder (wenn z gleich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{v} {y}

gesetzt wird) dz ist gleich Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \frac {\pm v{\rm d}y \mp y{\rm d}v} {y y}

. Was die Zeichen anbetrifft so ist folgendes wohl zu beachten. Wenn bei der Rechnung für einen Buchstaben einfach sein Differential eingesetzt wird, so werden dieselben Zeichen beibehalten, und für +z wird + dz, für - z wird - dz geschrieben, wie aus der eben vorhin behandelten Addition und Subtraktion erhellt. Schreitet man aber zur Entwicklung der Werte, das heißt betrachtet man die Beziehung von z zu x, dann kommt es zum Vorschein, ob der Wert von dz eine positive Größe ist oder kleiner als Null, das heißt negativ. Tritt der letztere Fall ein, dann wird die Tangente ZE vom Punkte Z aus nicht nach A hin gezogen, sondern in der entgegengesetzten Richtung, die von X nach unten weist; dies findet statt, wenn die Ordinaten z mit zunehmenden x abnehmen. Und da die Ordinaten v bald zunehmen, bald abnehmen, so wird dv bald positiv, bald negativ sein. Im ersten falle wird die Tangente V1B1 nach A hin, im zweiten V2B2 nach der entgegengesetzten Seite gezogen. Keins von beiden gilt aber an der Zwischenstelle M, in dem Augenblick, wo die v weder zunehmen noch abnehmen, sondern im Stillstand begriffen sind. dv wird alsdann gleich 0, und es kommt nicht darauf an, ob die Größe positiv oder negativ ist; denn + 0 ist gleich - 0. An dieser Stelle ist v, das heißt die Ordinate LM, ein Maximum (oder, wenn die konvexe Seite der Achse zugekehrt ist ein Minimum), und die Tangente der Kurve in M wird weder in der Richtung von X nach A hinauf gezogen, um sich der Achse zu nähern, noch auch in der entgegengesetzten Richtung, die von X nach unten weist; sie ist vielmehr parallel zur Achse. Wenn dv in bezug auf dx unendlich ist, dann steht die Tangente senkrecht auf der Achse, das heißt sie ist Ordinate. Wenn dv und dx gleich sind, so bildet die Tangente mit der Achse einen halben rechten Winkel. Wenn bei zunehmenden Ordinaten auch ihre Inkremente oder Differenzen dv zunehmen (d.h. wenn bei postiv gesetztem dv auch die ddv, die Differenzen der Differenzen, positiv sind oder bei negativ gesetztem dv auch die ddv negativ), so kehrt die Kurve der Achse ihre konvexe Seite, sonst ihre konkave Seite zu. Wo aber das Inkrement ein Maximum oder Minimum ist, also die Inkremente aus abnehmenden zunehmende werden oder umgekehrt, da ist ein Wendepunkt, und Konkavität und Konvexität vertauschen sich, vorausgesetzt, dass nicht auch die Ordinaten dort aus zunehmenden abnehmende werden oder umgekehrt; dann würde nämlich die Konkavität oder Konvexität bleiben. Dass aber die Inkremente fortfahren zuzunehmen oder abzunehmen, die Ordinaten jedoch aus zunehmenden abnehmende werden oder umgekehrt, das ist unmöglich. (hier irrt sich Leibniz) Ein Wendepunkt ist daher vorhanden, wenn weder v, noch dv gleich 0 ist, wohl aber ddv gleich 0. Deshalb hat auch das Problem d es Wendepunktes nicht wie das Problem des Maximums zwei, sondern gleich drei Wurzeln. Dies alles hängt vom richtigen Gebrauch der Zeichen ab.

Manchmal aber sind, wie vorhin bei der Division, zweideutige Zeichen anzuwenden, bevor es nämlich feststeht, wie sie entwickelt werden sollen. Und zwar müssen, wenn mit zunehmenden x dieParser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{v} {y}

zunehmen (abnehmen), die zweideutigen Zeichen Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  {\rm d} \frac{v} {y}
in, das heißt in Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  \frac {\pm v{\rm d}y \mp y{\rm d}v} {y y}
so entwickelt werden, dass dieser Bruch eine positive (negative) Größe wird. Es bedeutet aber Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mp 
das Entgegengesetzte von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pm 

, so dass, wenn dieses + ist, jenes – oder umgekehrt. Es können auch in derselben Rechnung mehrere Zweideutigkeiten vorkommen, die ich durch Klammern unterscheide. Wenn z. B.

wäre, so würde sein

sein, damit nicht die von den verschiedenen Gliedern herrührenden Zweideutigkeiten vermischt werden. Dabei ist zu beachten, dass ein zweideutiges Zeichen mit sich selbst + gibt, mit seinem entgegengesetzten -, während es mit anderen eine neue Zweideutigkeit bildet, die von beiden abhängt. Potenzen:

Z.B. ist

Z.B. wird, wenn

ist,

Wurzeln:

(Hieraus folgt

denn a ist in diesem Falle 1, und b ist 2, also

gleich

nun ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y^{-1}

dasselbe wie Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac {1} {y}
nach der Natur der Exponenten einer geometrischen Reihe, und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \sqrt[2]{\frac{1} {y}},
ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{1} {\sqrt[2]{ y}}\;.
)

Es hätte aber die Regel der ganzen Potenz genügt, um sowohl die Brüche als auch die Wurzeln zu erledigen; denn eine Potenz wird ein Bruch, wenn der Exponent negativ ist, und sie verwandelt sich in eine Wurzel, wenn der Exponent gebrochen ist. Ich habe aber jene Folgerungen lieber selbst gezogen, als sie anderen zu ziehen überlassen, da sie sehr allgemein sind und häufig vorkommen. Auch ist es bei einer an sich verwickelten Sache besser, für Leichtigkeit zu sorgen. Kennt man, wenn ich so sagen soll, den obigen Algorithmus dieses Kalküls, den ich Differentialrechnung nenne, so lassen sich alle anderen Differentialgleichungen durch ein gemeinsames Rechnungsverfahren finden, es lassen sich die Maxima und Minima sowie die Tangenten erhalten, ohne dass es dabei nötig ist, Brüche oder Irrationalitäten oder andere Verwicklungen zu beseitigen, was nach den bisher bekannt gegebenen Methoden doch geschehen musste, Der Beweis alles dessen wird für einen in diesen Dingen Erfahrenen leicht sein, wenn er nur den bisher nicht genug erwogenen Umstand beachtet, dass man dx, dy, dv, dw, dz als proportional zu den augenblicklichen Differenzen, das heißt Inkrementen oder Dekrementen der x, y, v, w, z (eines jeden in seiner Reihe) betrachten kann. So kommt es, dass man zu jeder vorgelegten Gleichung ihre Differentialgleichung aufschreiben kann. Dies geschieht indem man für jedes Glied (d.h. jeden Bestandteil, der durch bloße Addition oder Subtraktion zur Herstellung der Gleichung beiträgt) einfach das Differential des Gliedes einsetzt, für eine andere Größe jedoch (die nicht selbst ein Glied ist, sondern zur Bildung eines Gliedes beiträgt) ihr Differential anwendet, um das Differential des Gliedes selbst zu bilden, und zwar nicht ohne weiteres,sondern nach dem oben vorgeschriebenen Algorithmus. Die bisher bekannt gemachten Methoden haben aber einen solchen Übergang nicht. Sie wenden nämlich meistens eine Strecke wie DX oder eine andere von dieser Art an, nicht aber die Stecke dy, die die vierte Proportionale zu DX, DY, dx ist, und dadurch wird alles verwirrt. Daher schreiben sie vor, dass Brüche und Irrationalitäten (worin Unbestimmte vorkommen) zuvor beseitigt werden. Es ist auch klar, dass unsere Methode die transzendenten Linien beherrscht, die sich nicht auf die algebraische Rechnung zurückführen lassen oder von keinem bestimmten Grade sind, und zwar gilt das ganz allgemein, ohne besondere nicht immer zutreffende Voraussetzungen, Man muss nur ein für allemal festhalten, dass eine Tangente zu finden so viel ist wie eine Gerade zeichnen, die zwei Kurvenpunkte mit unendlich kleiner Entfernung verbindet, oder eine verlängerte Seite des undendlicheckigen Polygons, welches für uns mit der Kurve gleichbedeutend ist. Jene unendlich kleine Entfernung lässt sich aber immer durch irgendein bekanntes Differential, wie dv, oder durch eine Beziehung zu demselben ausdrücken, das heißt durch eine gewisse bekannte Tangente. Wäre insbesondere y eine transzendente Größe, zum Beispiel die Ordinate der Zykloide und käme sie in der Rechnung vor, mit deren Hilfe z, die Ordinate einer anderen Kurve bestimmt wäre, und verlangte man dz oder durch dessen Vermittlung die Tangente der zweiten Kurve, so wäre unter allen Umständen dz durch dy zu bestimmen, weil man die Tangente der Zykloide hat. Die Tangente der Zykloide selbst aber ließe sich, wenn wir annehmen, dass wir sie noch nicht hätten, in ähnlicher Weise durch Rechnung finden aus der gegebenen Eigenschaft der Kreistangenten...

Es folgen ein formales Beispiel, ein dioptrisches der Lichtbrechung, ein den Pythagoras ausführlich nutzendes und ein im Logarithmus endendes, die ich aber nicht mehr abschreibe, obwohl es sehr schöne Beispiele sind.

^[1]

Notiz von Newton

Hier noch eine aufschlussreiche Notiz von Newton: (Abhandlung über die Quadratur der Kurven, 1704, 10. Absatz):

Die Größe x möge gleichförmig fließen, und es sei die Fluxion (das Differential d f)der Größe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x^n

zu finden. In der Zeit, in der  x beim Fließen zu  x + o wird, wird Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x^n
zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (x+o)^n

(o bedeutet bei Newton dx oder das infinitesimale Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x

oder in moderner Notation h, allerdings ist bei ihm durch den Begriff des Fließens das Zeitliche eingegangen und es ist die unabhängige Variable nicht x sondern t und so kommt sein Differential d t} zustande.) d.h. nach der Methode der unendlichen Reihen zu

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x^n + nox^{n-1} + \frac {n^2 - n} {2} o^2 x^{n-2} + \dots

Die Zunahmen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): o

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  nox^{n-1} + \frac {n^2 - n} {2} o^2 x^{n-2} + \mathrm \dots 

verhalten sich zueinander wie:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.):  nx^{n-1} + \frac {n^2 - n} {2} o x^{n-2} + \dots 

Nun mögen jene Zunahmen verschwinden. Dann wird ihr letztes Verhältnis Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 1 \mathrm{\;und\;} nx^{n-1}

sein. Es verhält sich daher die Fluxion

der Größe x (das Differntial d x oder d t) zu der Fluxion der Größe Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): x^n

wie 1 zu Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): nx^{n-1}

. Oder:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac {\mathrm{Fluxion}(x)} {\mathrm{Fluxion}(x^n)} = \frac {1} {nx^{n-1}}.

^[1]

Bemerkungen:

1. Hier findet eine Normierung von Fluxion( x) auf 1 statt.
2. Dies geschieht unter Vernachläßigung der infinitesimalen Größen höherer Ordnung: Es wird gesetzt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm (d x)^n = 0 \;\mathrm{f\ddot ur}\; n = 2,3,4,5,...

Cauchys Differentialbegriff

In den 1980er Jahren fand in Deutschland eine Auseinandersetzung statt, inwieweit die Grundlegung der Analysis bei Cauchy logisch einwandfrei ist. D. Laugwitz versucht mit Hilfe einer historischen Lesart Cauchys, den Begriff unendlich kleiner Größen für seine Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Omega

Zahlen fruchtbar zu machen, findet aber daraus resultierend bei Cauchy Unstimmigkeiten. D. Spalt korrigiert den (ersten!) historischen Lesansatz der cauchyschen Arbeiten und fordert die Verwendung von Begriffen aus Cauchys Zeit und nicht heutigen Begriffen zum Nachweis seiner Sätze und kommt zu dem Ergebnis, dass Cauchys Grundlegung der Analysis logisch einwandfrei ist, jedoch bleiben weiterhin die Fragen nach der Behandlung unendlich kleiner Größen offen.

Die Differentiale bei Cauchy sind endlich und konstant Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm d x =h

(h endlich). Der Wert der Konstanten ist nicht näher bestimmt.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x

ist bei Cauchy unendlichklein und veränderlich. 

Die Beziehung zu h ist Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Delta x=i=\alpha h , wobei h endlich und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \alpha

 infinitesimal (unendlich klein) ist.

Ihr geometrisches Verhältnis ist als

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\lim_{\alpha=0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

bestimmt. Dieses Verhältnis unendlich kleiner Größen, oder genauer die Grenze geometrischer Differenzenverhältnisse abhängiger Zahlgrößen, einen Quotienten, kann Cauchy auf endliche Größen übertragen.

Differentiale sind endliche Zahlgrößen, deren geometrische Verhältnisse streng gleich den Grenzen der geometrischen Verhältnisse sind, welche aus den unendlich kleinen Zuwächsen der vorgelegten unabhängigen Veränderlichen oder der Veränderlichen der Funktionen gebildet sind. Cauchy hält es für wichtig Differentiale als endliche Zahlgrößen zu betrachten.

Der Rechner bedient sich der Unendlich kleinen als Vermittelnden, welche ihn zu der Kenntnis der Beziehung führen müssen, die zwischen den endlichen Zahlgrößen bestehen; und nach Cauchys Meinung dürfen die Unendlich kleinen in den Schlussgleichungen, wo ihre Anwesenheit sinnlos, zwecklos und nutzlos bliebe, nie zugelassen werden. Außerdem: Wenn man die Differentiale als beständig sehr kleine Zahlgrößen betrachtete, dann gäbe man dadurch den Vorteil auf, der darin besteht, dass man unter den Differentialen von mehreren Veränderlichen das eine als Einheit nehmen kann. Denn um eine klare Vorstellung einer beliebigen Zahlgröße auszubilden, ist es wichtig, sie auf die Einheit ihrer Gattung zu beziehen. Es ist also wichtig, unter den Differentialen eine Einheit auszuwählen.

Anmerkung 1: Leibniz macht das mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm d x=const.

bzw. Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm{dd}x=0

.

Anmerkung 2: Genauso wird, wenn man x mit der identischen Funktion identifiziert, das Differential von x die "Einheit".

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm d f(x):h\mapsto f'(x)h

ist ein Differential als lineare Funktion für die Ableitung f'(x) der Funktion f an der Stelle x.

Für Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f:x\mapsto x

ist insbesondere

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm d(f(x(h))=\mathrm dx(h)=h

weshalb die Schreibweise

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm df(x)=f'(x) \mathrm dx

oder

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): f'(x)=\frac {\mathrm d f(x)}{\mathrm d x}

und die Bezeichnung Differentialquotient berechtigt sind. 

Insbesondere fällt für Cauchy die Schwierigkeit weg, höhere Differentiale zu definieren. Denn Cauchy setzt Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm d x=h

nachdem er die Rechenregeln der Differentiale durch Übergang zu den Grenzen erhalten hat. Und da das

Differential einer Funktion der Veränderlichen x eine andere Funktion dieser Veränderlichen ist, kann er y mehrmals differenzieren und erhält in dieser Weise die Differentiale verschiedener Ordnungen.

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm d y=\mathrm d y = h \cdot y'=y'\mathrm d x

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm {dd} y=\mathrm d^2 y = h\mathrm d y'=y''h^2

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm {ddd} y=\mathrm d^3 y = h^2\mathrm d y''=y'''h^3

...

^[2]

Anmerkung 3: Die Tatsache, dass bei jeder der zwei differentiellen Schreibweisen

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathrm d y=y'\mathrm d x

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): y=\int y'\mathrm d x

dx stehenbleibt und erst verschwindet, nachdem man explizit die Differentiation oder Integration (nach Definition und Grenzwertübergang) ausgeführt hat, legt den Gedanken des dx als einer Einheit nahe. Heute wird das gemacht, indem man dx mit der identischen Funktion y=x identifiziert. Cauchys Auseinandersetzung mit Descartes, Leibniz, Euler, Lagrange führt ihn dazu dx mit der Einheit zu identifizieren, einer Einheit im differentiellen Formenkreis mit den Regeln der Differential- und Integralrechnung, den man erst nach Ausführen des Grenzwertübergangs nach den Definitionen der Ableitung oder des Integrals wieder verlässt.

Notation

Konstante und konstanter Faktor

• d(const.) = 0 und
• d(ax) = adx (d.i. eine Hälfte der Produktregel, s.u.)

Addition und Subtraktion

Wenn z - y + w + x gleich v ist, so wird d(z - y + w + x) oder dv gleich dz - dy + dw + dx.

Multiplikation

d(xv) ist gleich xdv + vdx, d.h. wenn man y gleich xv setzt,

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac {{\mathrm d}\left( xv \right)} {xv} = \frac {{\mathrm d} v} {v} + \frac {{\mathrm d} x} {x}

Division

Also nach der Produktregel:

und somit

womit

Sehr schön, mit richtigem Zähler in Übereinstimmung mit meiner Regel:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac {\mathrm{Nenner\ mal\ Ableitung\ Z\ddot{a}hler} - \mathrm{Z\ddot{a}hler\ mal\ Ableitung\ Nenner}} {\mathrm{Nenner\ zum\ Quadrat}}

Kettenregel

(bei Leibniz auch erklärt, aber sehr dunkel.) Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\mathrm f}(x)={\mathrm g}\left(\phi(x)\right)

und

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\mathrm f'}(x)={\mathrm g'}(\phi)\cdot \phi '(x)

in der suggestiven Leibniz 'schen Bezeichnung Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac {{\mathrm d}y} {{\mathrm d}x}=\frac {{\mathrm d}y} {{\mathrm d}\phi}\cdot\frac {{\mathrm d}\phi} {{\mathrm d}x}

Die Ableitung

etc.

werden weggelassen.

(sprich: f Strich von x)

(sprich: f Zweistrich von x)

Quellen

1. . ^{a b} Gottfried Leibniz, Sir Isaac Newton: Über die Analysis des Unendlichen - Abhandlung über die Quadratur der Kurven. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 162, Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-8171-3162-3 Copyright
2. ↑ Detlef Spalt: Die Vernunft im Cauchy-Mythos. Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-8171-1480-X (zu modernen Begriffsproblemen, und ob Cauchy es nun verstanden hat oder nicht, und einiges andere, unter anderem virtuelle Diskussionen mit verstorbenen Mathematikern Abel etc.)

Literatur

• Gottfried Leibniz, Sir Isaac Newton: Über die Analysis des Unendlichen - Abhandlung über die Quadratur der Kurven. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 162, Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-8171-3162-3
• Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik. Suhrkamp Verlag, ISBN 3-518-07714-7
• Detlef Spalt: Die Vernunft im Cauchy-Mythos. Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-8171-1480-X (zu modernen Begriffsproblemen, und ob Cauchy es nun verstanden hat oder nicht, und einiges andere, unter anderem virtuelle Diskussionen mit verstorbenen Mathematikern Abel etc.)
• K. Popp, E. Stein (Hrsg.): Gottfried Wilhelm Leibniz, Philosoph, Mathematiker, Physiker, Techniker. Schlütersche GmbH & Co. KG, Verlag und Duckerei, Hannover 2000, ISBN 3-87706-609-7
• Bos, Henk, Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus, Archive for History of Exact Sciences 14, 1–90. Heftig diskutierte Veröffentlichung aus den 1970ern, um Kontinuum und Unendlichkeit.

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