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Permittivität

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Die Permittivität (v. lat.: permittere = erlauben, überlassen, durchlassen), auch dielektrische Leitfähigkeit genannt, gibt die Durchlässigkeit von Materie für elektrische Felder an. Im einfachsten, statischen Fall gibt sie den Faktor an, um den die Spannung an einem Kondensator sinkt, wenn man zwischen den Kondensatorplatten nicht nur Vakuum (oder mit wenig Fehler auch einfach Luft), sondern ein dielektrisches, nicht leitendes Material anordnet.

Die Permittivität in Materie setzt sich zusammen aus der Permittivität des Vakuums ε0, auch als Dielektrizitätskonstante des Vakuums, elektrische Feldkonstante oder Influenzkonstante bezeichnet, und der dielektrischen Funktion εr, auch relative Permittivität genannt (εr wird vor allem im Englischen auch mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \kappa 

oder K bezeichnet, siehe Low-k-Dielektrikum bzw. High-k-Dielektrikum).

Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r


Im Allgemeinen ist εr ein Tensor zweiter Stufe, der sowohl von der Frequenz (also bei Betrachtung von Licht von dessen Wellenlänge) als auch vom äußeren elektrischen Feld und magnetischen Feldern abhängig ist. In isotropen Medien ist εr ein Skalar und wird dann im statischen Fall auch als Dielektrizitätskonstante, Dielektrizitätszahl oder Permittivitätszahl bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Materialgleichungen

In der Elektrodynamik wird die Permittivität als Proportionalitätsfaktor im Zusammenhang zwischen elektrischer Verschiebung und elektrischer Feldstärke verwendet

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{D} = \varepsilon \vec{E}

In Materie stellt diese Gleichung nur die niedrigste Ordnung eines im allgemeinen nichtlinearen Zusammenhangs dar: im Falle großer Feldstärken fasst man entweder die Permittivität als feldstärkeabhängig auf und schreibt ε(E), oder man führt neben ε=ε(1) weitere Taylor-Koeffizienten ein, ε(2) usw., die die Feldstärkeabhängigkeit von D beschreibt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{D} = \frac{\vec{E}}{\|\vec{E}\|} \left( \varepsilon^{(1)}\cdot \|\vec{E}\| + \varepsilon^{(2)}\cdot \|\vec{E}\|^2 + \varepsilon^{(3)}\cdot \|\vec{E}\|^3 + \cdots \right)


Permittivität des Vakuums

Im Vakuum besteht zwischen der magnetischen Permeabilität μ0, der elektrischen Permittivität ε0 und der Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 der folgende von Maxwell vorhergesagte und 1857 von Wilhelm Eduard Weber und Rudolf Kohlrausch experimentell bestätigte Zusammenhang:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_0^2 = \frac {1} {\varepsilon_0 \mu_0}

.

Mit den (durch Definition) exakt bekannten Naturkonstanten Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}~\frac{H}{m} 

und Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): c_0 = 2{,}997\,924\,58\cdot 10^8\,~\frac{\rm m}{\rm s}
sowie der Kreiszahl Pi mit Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi = 3{,}141592654...

, lässt sich daraus die Permittivität des Vakuums mit beliebiger Genauigkeit berechnen:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon_0 = \frac{1}{\mu_0 c_0^{2}} = \mathrm{8{,}854\,187\,817\,62... \cdot 10^{-12}~\frac{As}{Vm}}

Neben dem Coulomb-Gesetz, dem ampèreschen Gesetz und dem faradayschen Induktionsgesetz stellt dieser Zusammenhang eine weitere Verknüpfung elektromagnetischer und mechanischer Einheiten dar, die bei der Wahl eines elektromagnetischen Einheitensystems zu berücksichtigen ist.

In Einheitensystemen, die die elektromagnetischen Größen explizit auf mechanische Basisgrößen zurückführen, namentlich den verschiedenen Varianten des CGS-Einheitensystems, wird ε0 als dimensionslose Zahl gewählt:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon_0 := 1

(Heaviside-Lorentz-Einheitensystem),

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon_0 := \frac {1} {4 \pi}

(elektrostatisches, elektromagnetisches oder gaußsches Einheitensystem; in diesen System kürzt sich das 4π aus dem Coulomb-Gesetz heraus).

Im SI-System geschieht die Rückführung der elektromagnetischen auf die mechanischen Größen in der Definition der Stromstärke (Ampere), die darauf hinausläuft, dass die magnetische Permeabilität des Vakuums als

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_0 := 4 \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{N\,A^{-2}}

definiert wird, woraus folgt

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon_0 := \mathrm{8{,}854\,187\,817... \cdot 10^{-12}\ F\,m^{-1} } = \mathrm{8{,}854\,187\,817... \cdot 10^{-12}\ A^2\,s^4\,kg^{-1}\,m^{-3} } = \mathrm{8{,}854\,187\,817... \cdot 10^{-12}\ As\,V^{-1}\,m^{-1} }
Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \varepsilon_0 := \mathrm{8{,}854\,187\,817... \cdot 10^{-12}\ C\,V^{-1}m^{-1}}


Permittivitätszahl von Materie

Die Permittivität von Materie, obwohl üblicherweise durch eine Permittivitätszahl ausgedrückt, ist im allgemeinen kein Skalar, sondern ein Tensor zweiter Stufe, der die kristalline (oder anders geordnete) Struktur der Materie widerspiegelt. Die Tensoreigenschaft der Permittivität ist Grundlage für die Kristalloptik.

Die Permittivität, obwohl häufig Dielektrizitätskonstante genannt, ist ferner nicht konstant, sondern in Materie stets frequenzabhängig und kann beispielsweise über das einfache Modell des Lorentzoszillators recht gut modelliert werden. Diese Frequenzabhängigkeit wird Dispersion genannt. In Tabellenwerken angegeben ist in der Regel der Zahlenwert bei niedrigen Frequenzen (Größenordnung Hz-kHz, je nach Messmethode allenfalls MHz), bei denen die molekularen Dipole (und a forteriori die atomaren Elektronenorbitale) dem äußeren Feld folgen können.

Aus den Maxwell-Gleichungen folgt ein Zusammenhang zwischen der Brechzahl, der elektrischen Permittivität und der magnetischen Permeabilität,

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n^2 = \varepsilon_r \mu_r

Hier sind ε und μ bei der einschlägigen optischen Frequenz, größenordnungsmäßig also 1015s-1 gemeint.

Relative Permittivität einiger Stoffe
bei 18 °C und einer Frequenz von 50 Hz, sofern nicht anders angegeben
Medium εr Medium εr
Vakuum 1,0 Luft 1,00059
Acrylbutadienstyrol (ABS) (30 °C) 4,3 Aluminiumoxid (Tonerde) 7
Ammoniak (0 °C) 1,007 Bariumtitanat 103 - 104
Benzol 2,28 Trockene Erde 3,9
Feuchte Erde 29 Glas 6 - 8
Glycerin 42,5 Gummi 2,5 - 3
darrtrockenes Holz 2 - 3,5 Kaliumchlorid 4,94
spezielle Keramik bis 10000 Methanol 32,6
Petroleum 2 Polyethylen (PE) (90 °C) 2,4
Polypropylen (PP) (90 °C) 2,1 Porzellan 2-6
Propanol 18,3 Paraffin 2,2
Papier 1-4 Polytetrafluorethylen
(PTFE oder auch Teflon) 		2
Pertinax FR4 (Epoxidharz) 4,3 - 5,4 Polystyrol-Schaum
(Styropor ® BASF) 		1,03
Tantalpentoxid 27 Wasser 80,1
Wasser (f = 2,54 GHz) 77 Wasser (sichtbarer Bereich) 1,77
Eis (-20 °C) ≈ 100 Eis (-20 °C, f > 100 kHz) 3,2

Für gasförmige, flüssige und feste Materie ist εr größer eins, wie man aus obigen Daten erkennen kann. Allerdings gibt es in anderen Materiezuständen, z. B. im Plasma (sog. „vierter Aggregatzustand“), auch Werte, die kleiner als eins sein können.

Verallgemeinerungen: Dispersion, Richtungsabhängigkeit, Magnetfeld

In dispersiven Materialien hat man es mit der Reaktion des Materials auf elektromagnetische Felder mit der Frequenz von Licht zu tun, also sehr hohen Frequenzen über einen weiten Frequenzbereich. Hier muss man den Zusammenhang zwischen n und den bei niedrigen Frequenzen gemessenen ε wesentlich allgemeiner fassen und die Frequenzabhängigkeit berücksichtigen (siehe Lorentzoszillator). Damit können im Endeffekt Absorptions- und Reflexionsspektren von Materialien gut dargestellt werden.

Die Dielektrizitätskonstante wird dabei als komplexe Größe verwendet, mit einem Realteil ε1 (auch ε’ oder εr , nicht zu verwechseln mit r für relativ) und einem Imaginärteil ε2 (auch ε’’ oder εi). Dabei können in diesen beiden Komponenten direkt die Beiträge verschiedener Mechanismen im Material (z. B. Bandübergänge) angegeben und in ihrer Frequenzabhängigkeit addiert werden, siehe eine detailliertere Darstellung beim Stichwort elektrische Suszeptibilität. Über die Kramers-Kronig-Relation kann dann der (dispergierende) Zusammenhang zwischen der komplexen Dielektrizitätskonstanten und den optischen Kenngrößen Brechzahl n und Absorptionskoeffizient k dargestellt werden. Dies führt dann zu den theoretischen Spektren von Absorption und Reflexion, die man mit gemessenen Spektren vergleichen und anpassen kann.

Wenn man solche Spektren (von Reflexion oder auch Absorption) berechnen will, kann man im Fall von Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mu_r \approx 1 

direkt aus den Real- und Imaginärteilen der Permittivität die Größen n und k berechnen:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n^2 = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{(\varepsilon_1^2 + \varepsilon_2^2)} + \varepsilon_1)


Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): k^2 = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{(\varepsilon_1^2 + \varepsilon_2^2)} - \varepsilon_1)


Und damit kann direkt u. a. der Reflexionsgrad R ausgerechnet werden, immer ggf. für alle Frequenzen im interessierenden Teil des Spektrums:

Parser-Fehler (Das temporäre Verzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): R = \frac{(n-1)^2 + k^2}{(n+1)^2 + k^2}


Gewisse Materialien sind von Natur aus richtungsabhängig in ihren Eigenschaften, siehe z. B. bei Verzögerungsplatte und Doppelbrechung. Dies kann man mathematisch durch Darstellung in Tensor-Form erfassen, mit Komponenten für die einzelnen Richtungen. Diese sind wiederum als frequenzabhängig anzusetzen und sogar je nach Richtung in verschiedenem Maße.

Genauso kann ein außen angelegtes Magnetfeld eine ähnliche Richtungsabhängigkeit bewirken. Dies wird unter dem Stichwort Magnetooptik weiter behandelt.

Siehe auch

Weblinks

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